之前学习用WannierTools来计算一些拓扑性质,其中也涉及到了利用它来研究一个紧束缚模型的问题,这里主要是详细分析一下我们如何从紧束缚模型出发来造出WannierTools所需要的数据结构.

紧束缚模型哈密顿量

这是一个2D量子自旋霍尔效应, 在其中加上一个Zeeman场$h_z$. 参数选取为$m_0=1.5, t_x=t_y=1.0, A_x=A_y=1.0, h_z=0.2.$ 紧束缚模型哈密顿量的做法就是将三角函数改写成指数函数形式

这里假设了晶格常数$a=1$

接下来可以将(\ref{ham1})中的每一项都改写成关于指数形式的矩阵, 这里矩阵的直积顺序为$s_i\otimes\sigma_i$.

这里的$h_z$与$m_0$中并不涉及hopping, 最后代表的是onsite能量, 即就是$(000)$方向的跃迁.

构建WannierTools紧束缚数据

接下来就是结合(\ref{tri},\ref{ax},\ref{ay},\ref{tx},\ref{ty})来构建WannierTools计算所需要的紧束缚模型数据.
其中最主要的结构如下

下面给一个具体的例子来写这个数据, 比如要写$x$负方向的一个矩阵

产生程序

最后把自己写的构建这个模型数据的Fortran程序附上

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! Chern insulator
! usage:
! compile and run
! gfortran writeHmnR.f90 -o writehmnr
! ./writehmnr
! H  = Ax sin(kx)sigma_x s_z + Ay sin(ky) sigma_y s_0 + (m0 - tx cos(kx) - ty cos(ky))sigma_z s_0 + lam1 sigma_0 s_x 

program writeHmnR
implicit none
integer, parameter :: dp=kind(1d0) ! 双精度计算
complex(dp), parameter :: im = (0d0, 1d0) ! 虚数单位i
complex(dp), parameter :: zzero = (0d0, 0d0)
integer :: i, j
integer :: ir
integer :: nwann
!> arrays for hamiltonian storage
integer :: nrpts
integer, allocatable :: ndegen(:)
integer, allocatable :: irvec(:, :)
complex(dp), allocatable :: hmnr(:, :, :)

!> three lattice constants
real(dp) :: Ax,Ay,m0,tx,ty,lamc
Ax = 1d0
Ay = 1d0
m0 = 1.5d0
tx = 1d0
ty = 1d0
lamc = 0.2d0  ! 层间耦合大小

nwann = 2 ! 构建紧束缚模型时候Wannier轨道的数目,这个模型中有4个轨道,化学式为零时占据两个 
nrpts = 17
allocate(irvec(3, nrpts)) ! 该模型时2D的,所以hopping的方向也就只有2个,所以在之后的设置中保持第三个方向上恒为0
allocate(ndegen(nrpts))
allocate(hmnr(nwann*2, nwann*2, nrpts))
irvec = 0
ndegen = 1 ! 手动设置紧束缚模型数据所需要
hmnr = zzero ! 矩阵初始化


! 0 0 onsite能量
ir = 1  ! ir用来记录这里一共会有多少个hopping的方位(包括了onsite)
irvec(1, ir) =  0
irvec(2, ir) =  0
hmnr(1, 1, ir) = m0 
hmnr(2, 2, ir) = m0
hmnr(3, 3, ir) = -m0
hmnr(4, 4, ir) = -m0

hmnr(1 ,2, ir) = lamc
hmnr(2 ,1, ir) = lamc
hmnr(3 ,4, ir) = lamc
hmnr(4 ,3, ir) = lamc

!1 0 x正反向hopping
ir = ir + 1
irvec(1, ir) =  1
irvec(2, ir) =  0


hmnr(1, 1, ir) = tx/2.0
hmnr(2, 2, ir) = tx/2.0
hmnr(3, 3, ir) = -tx/2.0
hmnr(4, 4, ir) = -tx/2.0

hmnr(1, 3, ir) = ax/(2.0*im)
hmnr(2, 4, ir) = -ax/(2.0*im)
hmnr(3, 1, ir) = ax/(2.0*im)
hmnr(4, 2, ir) = -ax/(2.0*im)


!-1 0 x负方向hopping
ir = ir+ 1
irvec(1, ir) = -1
irvec(2, ir) =  0

hmnr(1, 1, ir) = tx/2.0
hmnr(2, 2, ir) = tx/2.0
hmnr(3, 3, ir) = -tx/2.0
hmnr(4, 4, ir) = -tx/2.0

hmnr(1, 3, ir) = -ax/(2.0*im)
hmnr(2, 4, ir) = ax/(2.0*im)
hmnr(3, 1, ir) = -ax/(2.0*im)
hmnr(4, 2, ir) = ax/(2.0*im)

! 0 1 y正方向hopping
ir = ir + 1
irvec(1, ir) =  0 
irvec(2, ir) =  1

hmnr(1, 1, ir) = ty/2.0
hmnr(2, 2, ir) = ty/2.0
hmnr(3, 3, ir) = -ty/2.0
hmnr(4, 4, ir) = -ty/2.0

hmnr(1, 3, ir) = -im*ay/(2.0*im)
hmnr(2, 4, ir) = -im*ay/(2.0*im)
hmnr(3, 1, ir) = im*ay/(2.0*im)
hmnr(4, 2, ir) = im*ay/(2.0*im)

!0 -1  y负方向hopping
ir = ir + 1
irvec(1, ir) =  0 
irvec(2, ir) = -1

hmnr(1, 1, ir) = ty/2.0
hmnr(2, 2, ir) = ty/2.0
hmnr(3, 3, ir) = -ty/2.0
hmnr(4, 4, ir) = -ty/2.0

hmnr(1, 3, ir) = im*ay/(2.0*im)
hmnr(2, 4, ir) = im*ay/(2.0*im)
hmnr(3, 1, ir) = -im*ay/(2.0*im)
hmnr(4, 2, ir) = -im*ay/(2.0*im)

nrpts = ir

!> write to new_hr.dat
open(unit=105, file='ChernInsulator2L_hr.dat')
write(105, *)'Two Layers Chern Insulator couple'
write(105, *)nwann*2
write(105, *)nrpts
write(105, '(15I5)')(ndegen(i), i=1, nrpts)
do ir = 1, nrpts
   do i = 1, nwann*2
      do j = 1, nwann*2
         write(105, '(5I5, 2f16.8)')irvec(:, ir), i, j, HmnR(i, j, ir)
      end do
   end do
end do
close(105)
stop
end ! end of program

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