之前学习用WannierTools来计算一些拓扑性质,其中也涉及到了利用它来研究一个紧束缚模型的问题,这里主要是详细分析一下我们如何从紧束缚模型出发来造出WannierTools所需要的数据结构.

紧束缚模型哈密顿量

\[\begin{equation} H(\mathbf{k})=A_x \sin(k_x)\sigma_x s_z + A_y \sin(k_y) \sigma_y s_0 + (m_0 - t_x \cos(k_x) - t_y \cos(k_y))\sigma_z s_0 + h_z \sigma_0 s_x\label{ham1} \end{equation}\]

这是一个2D量子自旋霍尔效应, 在其中加上一个Zeeman场$h_z$. 参数选取为$m_0=1.5, t_x=t_y=1.0, A_x=A_y=1.0, h_z=0.2.$ 紧束缚模型哈密顿量的做法就是将三角函数改写成指数函数形式

\[\begin{equation} \sin(k_x)=\frac{1}{2i}(e^{ik_x}-e^{-ik_x})\qquad \cos(k_x)=\frac{1}{2}(e^{ik_x}+e^{-ik_x}) \end{equation}\]

这里假设了晶格常数$a=1$

\[\begin{equation} \begin{aligned} &e^{ik_x}\rightarrow(100)\text{hopping}\qquad e^{-ik_x}\rightarrow(-100)\text{hopping}\\ &e^{ik_y}\rightarrow(010)\text{hopping}\qquad e^{-ik_y}\rightarrow(0-10)\text{hopping}\\ &e^{ik_x+ik_y}\rightarrow(110)\text{hopping}\qquad e^{-ik_x-ik_y}\rightarrow(-1-10)\text{hopping}\\ &e^{ik_x-ik_y}\rightarrow(1-10)\text{hopping}\qquad e^{-ik_x+ik_y}\rightarrow(-110)\text{hopping}\\ \end{aligned} \end{equation}\label{tri}\]

接下来可以将(\ref{ham1})中的每一项都改写成关于指数形式的矩阵, 这里矩阵的直积顺序为$s_i\otimes\sigma_i$.

\[\begin{equation} {\color{blue}A_x\sin(k_x)\sigma_xs_z=\frac{A_x}{2i}e^{ik_x} \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \right)-\frac{A_x}{2i}e^{-ik_x} \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \right)}\label{ax} \end{equation}\] \[\begin{equation} {\color{purple}A_y\sin(k_y)\sigma_ys_0=\frac{A_y}{2i}e^{ik_y}\left( \begin{array}{cccc} 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ \end{array} \right)-\frac{A_y}{2i}e^{-ik_y}\left( \begin{array}{cccc} 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ \end{array} \right)}\label{ay} \end{equation}\] \[\begin{equation} t_x\cos(k_x)\sigma_zs_0=\frac{t_x}{2}e^{ik_x}\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right)+\frac{t_x}{2}e^{-ik_x}\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right)\label{tx} \end{equation}\] \[\begin{equation} t_y\cos(k_y)\sigma_zs_0=\frac{t_y}{2}e^{ik_y}\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right)+\frac{t_y}{2}e^{-ik_y}\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right)\label{ty} \end{equation}\] \[\begin{equation} m_0\sigma_zs_0=m_0\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right)\qquad h_z\sigma_0s_x=h_z\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\label{on} \end{equation}\]

这里的$h_z$与$m_0$中并不涉及hopping, 最后代表的是onsite能量, 即就是$(000)$方向的跃迁.

构建WannierTools紧束缚数据

接下来就是结合(\ref{tri},\ref{ax},\ref{ay},\ref{tx},\ref{ty})来构建WannierTools计算所需要的紧束缚模型数据. 其中最主要的结构如下

\[\begin{equation} x\quad y\quad z\quad m\quad n\quad\text{Re}\quad\text{Im} \end{equation}\] \[\begin{equation*} \begin{aligned} &x\rightarrow\text{$x$方向跃迁取向, 可以取(0,1,-1)}\quad y\rightarrow\text{$y$方向跃迁取向, 可以取(0,1,-1)}\\ &z\rightarrow\text{$z$方向跃迁取向, 可以取(0,1,-1)}\quad m,n\text{对应的就是具体某一个取向下,对应的矩阵的元素坐索引}\\ &\text{Re}(m,n)\text{矩阵位置上值的实部}\quad \text{Im}(m,n)\text{矩阵位置上值的实部} \end{aligned} \end{equation*}\]

下面给一个具体的例子来写这个数据, 比如要写$x$负方向的一个矩阵

\[\begin{equation} \frac{A_x}{2i}e^{-ik_x} \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation}\] \[\begin{equation} \left( \begin{array}{ccccccc} -1&0&0&1&1&0&0\\ -1&0&0&1&2&0&\frac{A_x}{2i}\\ -1&0&0&1&3&0&0\\ -1&0&0&1&3&0&0\\ -1&0&0&2&1&0&\frac{A_x}{2i}\\ -1&0&0&2&2&0&0\\ -1&0&0&2&3&0&0\\ -1&0&0&2&4&0&0\\ -1&0&0&3&1&0&0\\ -1&0&0&3&2&0&0\\ -1&0&0&3&3&0&0\\ -1&0&0&3&4&0&-\frac{A_x}{2i}\\ -1&0&0&4&1&0&0\\ -1&0&0&4&2&0&0\\ -1&0&0&4&3&0&0\\ -1&0&0&4&4&0&-\frac{A_x}{2i}\\ \end{array} \right) \end{equation}\]

产生程序

最后把自己写的构建这个模型数据的Fortran程序附上

所有这些内容可以点击这里下载

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