这里整理一下如何从Dirac方程出发,来衍生出Majorana费米子.

Dirac方程

对于一个自旋半整数的费米子,其满足Dirac方程

$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0$

这里的$\gamma$是$4\times 4$的Dirac矩阵,满足Clifford代数关系$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2g^{\mu\nu}$,而$g^{\mu\nu}$则是Minkowski空间中的量满足$\{-1,+1,+1,+1\},m$是真空中电子的质量,光速$c=1$选择为自然单位.这里Dirac矩阵为

$\gamma^0=\sigma\otimes\tau^3,\qquad\gamma^{\mu=1,2,3}=i\sigma^\mu\otimes\tau^2$

这里Pauli矩阵$\sigma,\tau$分别表示自旋和电荷自由度.在量子场论的语言中,如果一个场产生了一个粒子并且消灭了它的反粒子,那么这个场的复数共轭就对应着产生一个反粒子并且消灭一个粒子.也就说$\psi\neq\psi^*$,粒子和反粒子是不相同的对应.

即从Dirac方程出发,对于任意满足Dirac方程的粒子,那么一定存在一个与之相关联的反粒子具有相同的质量和相反的电荷,这也就是提出了反粒子的概念.相对论费米子粒子都是由Dirac方程来描述的,并称为Dirac费米子.

Majorana费米子

Ettore Majorana在Dirac方程中发现了另外一种表现形式,当四个Dirac矩阵都是纯虚数的时候

$\tilde{\gamma}^0=\sigma^2\otimes\tau^1,\quad\tilde{\gamma}^1=i\sigma^3\otimes\tau^0,\quad\tilde{\gamma}^2=-i\sigma^2\otimes\tau^2,\quad\tilde{\gamma}^3=-i\sigma^1\otimes\tau^0$

此时可以发现Dirac方程在Majorana表象下是实数(所有的$i\tilde{\gamma}$都是实数),因此方程描述的是实费米子场的运动,也就是说$\psi$可以是实费米子粒子,可以得到一个很惊奇的结果,它的反粒子就是其本身$\psi=\psi^*$,这也就是Majorana费米子.

一个Dirac费米子总是可以写成两个Majorana费米子的叠加,就像一个复数总可以写成实部和虚部.而且这两个分开的Majorana费米子对抵抗局域微扰具有一定的鲁棒性.