根据不变子群的表示来得到群的表示.
{:.info}

诱导表示

假设 $\mathbf{K}_1$ 是 $\mathbf{G}$ 的子群,不一定是不变子群,比如 $\mathbf{G}$ 是空间群, $\mathbf{K}_1$ 是某个波矢 $\mathbf{k}_1$ 的小群;将 $\mathbf{K}_1$ 中的元素标记为 $k_\alpha(\alpha=1,\rvert\mathbf{K}_1\rvert)$ ,将群进行陪集分解

$\mathbf{G}=\sum_\alpha p_\alpha\mathbf{K}_1$

这里的 $p_\alpha$ 就是左陪集表示, $\alpha=1,\cdots,\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert$ ,这个方程表明群 $\mathbf{G}$ 中的每一个元素 $g$ 都可以表示为 $p_\lambda k_s$ 的形式.
这里的 $p_\lambda$ 是分解中的一个陪集表示,而且 $p_\lambda.k_s\in\mathbf{K}_1$ 都是由 $g$ 唯一确定的.

群 $\mathbf{G}$ 中的每个元素 $g$ 都可以表示为 $g=k_bp_\lambda^{-1}$ ,这里的 $b,\lambda$ 都是由 $g$ 唯一确定的.
{:.success}

从上面的陪集分解中可以知道 $g^{-1}=p_\lambda k_s$ ,这里 $\lambda,s$ 都是由 $g^{-1}$ 唯一确定.因此可以有

$g=k_s^{-1}p_\lambda^{-1}=k_bp_\lambda^{-1}$

这里因为 $\mathbf{K}_1$ 是个群,所以 $k_b=k_s^{-1}\in\mathbf{K}_1$ ,而且 $b$ 是被唯一确定的.但是这里需要注意的是 $p_\lambda^{-1}$ 并不是上面陪集分解中的一员,因为上面的陪集并不一定是个群,只有当 $\mathbf{K}_1$ 是 $\mathbf{G}$ 的不变子群的时候,陪集才构成一个群,就是所谓的商群.

让 $\Omega_1$ 是子群 $\mathbf{K}_1$ 的不可约矢量空间,维度为 $d_i$ ,选择基矢为 $\langle\phi_r\rvert,r=1,\cdots,d_i$ ,对于每个 $k_\alpha\in\mathbf{K}_1$ 都有

$k_\alpha\phi_r=\sum_{p=1}^{d_j}\phi_p\Gamma^j(k_\alpha)_{pr}$ $k_\alpha$$对应的特征标为$$\chi^j(k_\alpha)$$,令$$\Omega$$是由$$d_j\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert$$个函数$$\phi_{\alpha r}$$张开的矢量空间 $$\phi_{\alpha r}=p_\alpha\phi_r$

这里的 $p_\alpha$ 是群 $\mathbf{G}$ 分解的左陪集表示,数目为 $\rvert\mathbf{G}\rvert/\mathbf{K}_1$ ,而这里的 $d_i$ 则是子群

$\mathbf{K}_1$$的一个不可约矢量空间的维度,从而相当于将每个陪集表示分别作用在子群$$\mathbf{K}_1$$的基矢上,从而得到了 $$d_j\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert$$个函数构成的一个矢量空间$$\Omega$$,它的维数就是基函数的个数. $$\Omega$$在$$\mathbf{G}$$操作下是不变的. {:.success} 已知$$g=p_\lambda k_s$$,那么$$g\phi_{\tau r}=p_\lambda k_sp_\tau\phi_r=p_\gamma k_t\phi_r$$(还是没有太想清楚这里为什么可以相等,先接受这个事实),从这里就可以发现$$\gamma,t$$可以通过$$g,\tau$$唯一的确定,再结合上面的方程可以得到 $$g\phi_{\tau r}=p_\lambda\sum_p\phi_p\Gamma^j(k_t)_{pr}=\sum_p\phi_{\gamma p}\Gamma^j(k_t)_{pr}\label{eq1}$

从这里就可以看到,从子群 $\Gamma$ 的表示,可以得到 $\Omega$ 矢量空间中的表示,而且从 $\phi_{\alpha r}=p_\alpha\phi_r$ 可以看到,这些函数正是群 $\mathbf{G}$ 的基矢,也就是说从子群的不可约表示可以得到群 $\mathbf{G}$ 的不可约表示,上面的这种表示方法称为 $\Gamma^j$ 在 $\mathbf{G}$ 中的诱导表示,记作 $\Gamma^j\uparrow\mathbf{G}$ ,它的特征标记为 $\chi(g)$ .
{:.warning}

方程(\ref{eq1})的含义就是如果 $gp_\tau=p_\lambda k_t(k_t=p^{-1}_\lambda gp_\tau)$ ,那么对于元素 $g$ 在诱导表示 $\Gamma\uparrow\mathbf{G}$ 中就有 $(\gamma,\tau)$ 的块矩阵,维度为 $d_i$ ,表示为 $\Gamma^j(p_\lambda^{-1}gp_\tau)$ ,而且因为 $\gamma$ 是由 $g,\tau$ 共同决定的且唯一,因此这里在列指标中,唯一非零的块矩阵就可以由 $\tau$ 来标记.

将上面的描述利用公式(\ref{eq})来重新解读一下,可以发现它是一个操作元作用在一个基函数上,等于一个矩阵乘以一些函数,这很明显就是通常在群论中求表示的方法.接下来再看每个元素的下标,在方程左边的下表是 $(\tau r)$ 方程右边的指标是 $\sum_p(\gamma p)(pr)$ ,这里可以看到矩阵 $\Gamma^j$ 完全是由子群 $\mathbf{K}_1$ 中的元素决定的,即只要 $k_t$ 确定了,那么这个矩阵就确定了,无论左右两边的 $(\tau,\gamma)$ 如何变化,对应的表示都是相同的,也就是说在 $\Omega$ 矢量空间中,其由 $\Omega_1$ 的表示来得到的诱导表示中,一定会有 $(\gamma,\tau)$ 个块矩阵是完全相同的 $\Gamma^j(k_t)$ ,但是这里的 $\gamma,\tau$ 之间是通过 $g$ 联系起来的,从而在上面的 $(\gamma,\tau)$ 块的矩阵中,有一些块是等于零的,在满足联系关系的情况下,这些块矩阵对应的才是 $\Omega_i$ 的表示矩阵 $\Gamma^j(k_t)_{pr}$ .

如果表示 $\Gamma^j$ 是幺正的,那么对应的诱导表示也是幺正的;但如果表示 $\Gamma^j$ 是不可约的,则诱导表示 $\Gamma\uparrow\mathbf{G}$ 并不一定也是不可约的.

空间群的表示其实就是小群的诱导表示.
{:.info}

接下来就是如何得到每个小群的表示,从而就可以得到对应空间群的表示,也就是在学习过程中,将上面的群 $\mathbf{G}$ 视作空间群,而 $\mathbf{K}_1$ 视作小群 $\mathbf{G}^{\mathbf{k}_1},\Gamma^j$ 是小群的小表示 $\Gamma_p^{\mathbf{k}_1}$ .

如果空间群 $\rvert\mathbf{G}\rvert=N_1N_2N_3h$ ,小群 $\rvert\mathbf{K}_1\rvert=N_1N_2N_3b$ ,那么对于一个给定的维度为 $t$ 的小表示,对应空间群表示的维数 $d=th/b=qt$ =(star上的波矢数量) $\times$ (小表示的维数).

定义 $\Omega_\alpha$ 是由 $d_j$ 个函数 $\phi_{\alpha r},(r=1,d_j)$ 构成的矢量空间,对于固定的 $\alpha,\Omega_\alpha$ 在子群 $\mathbf{K}_\alpha$ 下是不变的, $\mathbf{K}_\alpha=p_\alpha k_\alpha p_\alpha,k_\alpha\in\mathbf{K}_1$ .
{:.success}

利用前面的变换,可以得到

$p_\alpha k_\alpha p_\alpha\phi_{\alpha r}=p_\alpha k_\alpha\phi_r=\sum_s\phi_{\alpha s}\Gamma^j(k_\alpha)_{sr}$

这里利用了 $\phi_{\alpha r}=p_\alpha\phi_r$ ,着也就表明在基函数 $\langle\phi_{\alpha r}\rvert$ 下, $p_\alpha k_\alpha p_\alpha$ 的表示为 $\Gamma^j(k_\alpha)$ ,这里的表示是个不可约的,从而也就证明了上面的定理.

可以将一个子群 $\mathbf{K}_\alpha$ 可以表示为 $p_\alpha\mathbf{K}_1p_\alpha$ ,这里的 $p_\alpha$ 是陪集分解中的陪集表示,因此对于每个子群 $\mathbf{K}_\alpha$ 都有如下性质

1.它与 $\mathbf{K}_1$ 具有相同的阶数.
2.在 $\mathbf{G}$ 下与 $\mathbf{K}_1$ 是共轭的,同时对于其他的 $\mathbf{K}_\alpha$ 也是共轭的,共轭也就代表着等价关系.
3.这里的每个子群都与陪集分解中的 $p_\alpha\mathbf{K}_1$ 是一一对应的.

如果将上面的 $\mathbf{G}$ 识别为空年间群的同形点群(isogonal point group) $\mathbf{F},\mathbf{K}_1$ 为小共群 $\mathbf{k}_1$ ,那么 $\mathbf{K}_\alpha$ 就是小共群 $\mathbf{k}_\alpha$ ,这里的 $\mathbf{k}_\alpha$ 是由小群 $\mathbf{k}_1$ 定义的star中的元素,满足 $\mathbf{k}_\alpha=p_\alpha\mathbf{k}_1$ .

元素 $g$ 在 $\Omega_\alpha$ 中的特征标为 $\chi(g)$ ,那么它在诱导表示 $\Gamma^j\uparrow\mathbf{G}$ 中的特征标为 $\sum_\alpha\chi_\alpha(g)$ ,那么 $\Omega$ 是群 $\mathbf{G}$ 的不可约表示满足

$\sum_t\chi_\alpha(t)\chi_\beta(t)=0,\quad\alpha\neq\beta$

这里的 $t\in\mathbf{K}_\alpha\cap\mathbf{K}_\beta$ .

如果 $\mathbf{K}_1$ 在 $\mathbf{G}$ 是不变的,那么对所有的 $\alpha$ 都有 $\mathbf{K}_\alpha=\mathbf{K}_1$ ,可以有下面的关系

$\sum_a\chi_\alpha^*(k_a)\chi_\beta(k_a)=0,\quad\alpha\neq\beta$

当由基函数 $\langle\phi_{\alpha r}\rvert,\alpha=1,\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert$ 张开的 $\mathbf{K}_1$ 的不可约表示是相互等价的.(这里的 $\alpha$ 就可以认为是陪集分解中的陪集表示的index)

对 $\mathbf{K}_\alpha\cap\mathbf{K}_\beta$ 的任何一个子群 $\mathbf{H}_{\alpha\beta}$ 一定满足

$\sum_h\chi^*_\alpha(h)\chi_\beta(h),\quad h\in\mathbf{H}_{\alpha\beta}\label{eq2}$

上面这个等式的意思也就是, $\mathbf{H}_{\alpha\beta}$ 两个表示之间是正交关系,二者之间没有不可约的公共元素,而且上面的求和之中只会包含零和正数,非零项的出现表明这里存在一个 $\Omega_\alpha$ 和 $\Omega_\beta$ 的不可约子空间,它同时也可以生成 $\mathbf{H}_{\alpha\beta}$ 的表示.

方程(\ref{eq2})等于 $n\rvert\mathbf{H}_{\alpha\beta}\rvert$ ,这里的 $n$ 表示上面描述的满足 $\Omega_\alpha,\Omega_\beta$ 的不可约子空间的数目,有时候也被称为 $\Omega_\alpha,\Omega_\beta$ 在 $\rvert\mathbf{H}_{\alpha\beta}$ 下的缠绕数(intertwinding number),而对于前面的介绍,可以看到 $n=0$ .

当 $\mathbf{K}_\alpha,\alpha=1,\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert$ 是一个star的小群时,且 $\mathbf{H}_{\alpha\beta}$ 对所有的 $\alpha,\beta$ 对取为空间群的平移群 $\mathbf{T}$ ,作为所有的 $\mathbf{K}_\alpha$ 的子群,那么

$\mathbf{H]_{\alpha\beta}$$是所有$$\mathbf{K}_\alpha\cap\mathbf{K}_\beta$$的子群. 不同的star产生的$$\mathbf{T}$$的表示是不等价的,从而可以看到(\ref{eq2})等于零的结果,这也就确保了从小群的小表示诱导得到的空间群的诱导表示$$\Gamma^j\uparrow\mathbf{G}$$是不可约的. 假设$\Gamma$是群$\mathbf{G}$的一个表示,特征标为$\chi^\Gamma(g)$,将诱导表示$\Gamma^j\uparrow\mathbf{G}$分解到群$\mathbf{G}$的不可约表示上时,$\Gamma$出现的次数就等于表示$\Gamma^j$出现在$$\Gamma\downarrow\mathbf{K}_1$$.这里的$$\Gamma\downarrow\mathbf{K}_1$$表示的是将$\Gamma$限制到子群$$\mathbf{K}_1$$的元素上(我理解为就是用这个来作为子群的表示),这个通常称为$\Gamma$子诱导的$$\mathbf{K}_1$$的表示;因为$$\mathbf{K}_1$$是$\mathbf{G}$的子群,那么很明显$$\Gamma\downarrow\mathbf{K}_1$$是群$$\mathbf{K}_1$$的一个维度与$\Gamma$相同的表示. {:.success} # 群的不变子群将群$\mathbf{G}$根据不变子群$\mathbf{T}$进行陪集分解,如果这些陪集表示$r_\alpha$可以构成一个子群$\mathbf{F}$,那么群$\mathbf{G}$就是平移群和子群$\mathbf{F}$的半直积$\mathbf{G}=\mathbf{T}\land\mathbf{F}$. 将$\mathbf{G}$中的元素表示为$$(r_\alpha t_a)$$,它们的乘法规则为 $$(r_\alpha t_a)(r_\beta t_b)=(r_{\alpha\beta}t_{\alpha\beta}[t_\alpha]_\beta t_b)\label{eq5}$

这里的 $r_\alpha$ 是陪集表示, $[t_\alpha]_\beta=r^{-1}_\beta t_\alpha r_\beta\in\mathbf{T}$ ,因为$\mathbf{T}$是个不变子群有

$r_\alpha r_\beta=r_{\alpha\beta}t_{\alpha\beta}\label{eq4}$

(\ref{eq4})中右端的分解时唯一的,群元 $r_\alpha r_\beta\in\mathbf{G}$ 可以被分解为左陪集表示$r_{\alpha\beta}$和 $t_{\alpha\beta}\in\mathbf{T}$ 的乘积.对于一个半直积群,对所有的$\alpha,\beta$,存在$t_{\alpha\beta}=1$.

利用群$\mathbf{G}$中的单位元 $(r_1t_1)$ 并结合(\ref{eq4}-\ref{eq5})可以得到

$\begin{equation}\begin{aligned}&[t_\alpha]_1=t_\alpha,\quad [t_1]_\alpha=t_1,\quad r_{\alpha 1}=r_{1\alpha}=r_\alpha,\quad t_{\alpha 1}=t_{1\alpha}=t_1\\ &[t_a]_\alpha[t_b]_\alpha=[t_at_b]_\alpha,\quad [t_a^{-1}]_\alpha=([t_a]_\alpha)^{-1}\end{aligned}\end{equation}$

对所有的$\alpha,\beta,a,\gamma$存在

$r_{\alpha\beta,\gamma}=r_{\alpha,\beta\gamma},\quad t_{\alpha\beta,\gamma}[t_{\alpha\beta}]_\gamma[[t_a]_\beta]_\gamma=t_{\alpha,\beta\gamma}[t_a]_{\beta\gamma}t_{\beta\gamma}\label{eq6}$

利用上面的关系可以得到

$r_{\alpha,\beta 1}=r_{\alpha\beta,1}=r_{\alpha\beta}=r_{1,\alpha\beta}=r_{\alpha,1\beta}=r_{\alpha 1,\beta}$ $t_{\alpha,\beta 1}=t_{1\alpha,\beta}=t_{\alpha,1\beta}=t_{\alpha 1,\beta}=t_{\alpha\beta},\quad t_{\alpha\beta,1}=t_{1,\alpha\beta}=t_1$

将方程(\ref{eq6})中令$a=1$可以得到对所有的$\alpha,\beta,\gamma$存在

$t_{\alpha\beta,\gamma}[t_{\alpha\beta}]_\gamma=t_{\alpha,\beta\gamma}t_{\beta\gamma}$ $(r_1t_\alpha)$$的逆为$$(r_1t_\alpha^{-1})$$.给定一个$r_\alpha$一定存在一个唯一的陪集表示$$r_{\alpha\bar{\alpha}}=r_{\bar{\alpha}\alpha}=r_1$$,$$(r_\alpha t_1)$$的逆是$$(r_\alpha t_{\alpha\alpha}^{-1})$$,还有下面的一些关系 $$t_{\bar{\alpha}\alpha}=[t_{\alpha\bar{\alpha}}]_\alpha$ $[[t_a]_\alpha]_\bar{\alpha}=t_{\alpha\bar{\alpha}}^{-1}t_at_{\alpha\bar{\alpha}}$

上面的这些恒等式和方程我自己也并没有证明,而且看得是云里雾里,不是很明白它的具体含义是什么,就暂时从书上抄了下来.
{:.warning}