最近在学习各种方式的边界态理论求解，这个博客就整理一下如何在一个2D的环面上求解边界态理论。
这里就采用最熟悉的BHZ模型，再考虑一项Zeeman场$h_0s_x$。
\[H(\mathbf{k})=(m_0-t_x\cos k_x-t_y\cos k_y)\sigma_z+\lambda_x\sin k_x\sigma_xs_z+\lambda_y\sin k_y\sigma_y+h_0s_x\]首先分析哈密顿量发生能带反转的位置，将哈密顿量在能带反转点$\Gamma=(0,0)$处展开
\[H(\mathbf{k})=(m_t-\frac{1}{2}tk_x^2-\frac{1}{2}tk_y^2)\sigma_z+\lambda k_x\sigma_xs_z+\lambda k_y\sigma_y+h_0s_x\]首先将问题转换到实空间$k_{x,y}\rightarrow -i\partial_{x,y}$，在实空间中，将问题转换到极坐标中进行处理
\[r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad\theta=\arctan\frac{y}{x},\quad x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\]利用函数的链式求导
\[\begin{aligned} x&=x(r,\theta),\quad\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial r }{\partial x }+\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\partial \theta }{\partial x }\\ y&=y(r,\theta),\quad\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial r }{\partial y }+\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\partial \theta }{\partial y } \end{aligned}\]最终可以得到
\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}&=\cos\theta\partial_{r}-\frac{1}{r}\sin\theta\partial_{\theta}\\ \frac{\partial}{\partial y}&=\sin\theta\partial_{r}+\frac{1}{r}\cos\theta\partial_{\theta}\\ \end{aligned}\]将哈密顿量分解为独立的两部分
\[\begin{aligned} H(r,\theta)&=H_0(r,\theta)+H_p(r,\theta)\\ H_{0}(r,\theta)&=m(r)\sigma_z-i\lambda(\cos\theta\sigma_xs_z+\sin\theta\sigma_y)\frac{\partial}{\partial r}-i\lambda\frac{1}{r}(-\sin\theta\sigma_xs_z+\cos\theta\sigma_y)\frac{\partial}{\partial \theta} \end{aligned}\]这里简记
\[\sigma_1(\theta)=(\cos\theta\sigma_xs_z+\sin\theta\sigma_y),\quad\sigma_2(\theta)=(-\sin\theta\sigma_xs_z+\cos\theta\sigma_y)\]哈密顿量改写为
\[H_0(r,\theta)=m(r)\sigma_z-i\lambda\sigma_1(\theta)\frac{\partial}{\partial r}-i\frac{\lambda}{r}\sigma_2(\theta)\frac{\partial}{\partial \theta}\]在$r=R$的位置处存在domain wall满足$m(R)=0$，且在两侧$m(r)$的符号是相反的。
求解当$r=R$时本征方程
\[H_{0}(r,\theta)\psi=E\psi\]对应的$E=0$的本征解
\[[m(r)\sigma_z-i\lambda\sigma_1(\theta)\frac{\partial}{\partial r}]\psi=i\frac{\lambda}{r}\sigma_2(\theta)\frac{\partial}{\partial \theta}\psi\label{eq1}\]$R$是质量项$m(r)$发生反号的位置处，当$r»a$时，这里的$a$表示晶格常数，通常$\lambda$所代表的hopping也只是在有限的几个lattice之间，所以可以得到$\lambda/r«0$，可将(\ref{eq1})的右边近似为零，从而得到
\[[m(r)\sigma_z-i\lambda\sigma_1(\theta)\frac{\partial}{\partial r}]\psi\eqsim 0\label{eq2}\]将波函数表示为空间部分与spinor部分
\[\psi=\phi\otimes\xi\]可以将(\ref{eq2})改写为
\[[m(r)\sigma_z\sigma_x-i\lambda\sigma_1(\theta)\sigma_x\frac{\partial}{\partial r}]\phi\otimes\xi=0\]分别可以得到空间部分和spinor部分对应的方程
\[\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial r}\phi=-\frac{m(r)}{r}\phi\\ &-i\sigma_1(\theta)\sigma_z\xi=\xi \end{aligned}\]得到边界态本征波函数为
\[\psi_i=\frac{1}{\sqrt{N}}e^{-\frac{1}{\lambda}\int_r^Rm(r^{'})dr^{'} }\xi_i\]当求解得到$H_{0}$的本征态之后，即可以利用其进行微扰计算，将$H_{p}$对应的项在零能本征态子空间进行投影可以得到
\[\langle\psi_i\rvert h_0s_x\rvert\psi_j\rangle=\left[\begin{array}{cc} 0&\frac{1}{2}(1-e^{-2i\theta})\\ \frac{1}{2}(1-e^{2i\theta})&0 \end{array}\right]\]从这里可以看到，$h_0s_x$这一项在零能边界态上诱导出了质量，当且仅当$\theta=\pm\pi$的时候，其对应的质量项为零，而且在这个临界角度$\theta_c$的两侧，质量项是反号的，从而在这两个位置处束缚了corner态。
参考
1.Strong and fragile topological Dirac semimetals with higher-order Fermi arcs
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