这里想通过最简单的BdG哈密顿量来推导出实空间局域电子态密度的计算公式。
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Bogoliubov变换

这里想通过最简单的BdG哈密顿量来推导出实空间局域电子态密度的计算公式，首先最简单的一个超导BdG哈密顿量为

$\begin{equation} \mathcal{H}=-\sum_{ij\sigma}(t_{ij}c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma}+\text{h.c.})+\sum_{ij}(\Delta_{ij}c^\dagger_{i\uparrow}c^\dagger_{j\downarrow}+\text{h.c.})\label{e1} \end{equation}$

如果将其表示为矩阵形式则有

$\begin{equation} \mathcal{H}=\sum_{ij}\psi_i^\dagger H_{ij}\psi_j \end{equation}$

这里$\psi^\dagger_i=(c^\dagger_{i\uparrow},c^\dagger_{i\downarrow},c_{i\uparrow},c_{i\downarrow})$是Nambu表象下的基矢，为了将超导哈密顿量(\ref{e1})对角化，使用Bogoliubov变化

$\begin{equation} \begin{aligned} c_{i\sigma}&=\sum_n(u_{i\sigma}^n\gamma_n-\sigma v_{i\sigma}^{n*}\gamma_n^\dagger)\\ c^\dagger_{i\sigma}&=\sum_n(u_{i\sigma}^{n*}\gamma_n^\dagger-\sigma v_{i\sigma}^{n}\gamma_n)\\ \end{aligned}\label{e3} \end{equation}$

这里的$\sigma=\pm 1$表示自旋向上(向下)，$\gamma_n(\gamma_n^\dagger)$表示湮灭(产生)一个Bogoliubov准粒子，其满足费米子反对易关系

$\begin{equation} \begin{aligned} &\{\gamma_n,\gamma^\dagger_n\}=\delta_{mn}\\ &\{\gamma_n,\gamma_m\}=\{\gamma_n^\dagger,\gamma_m^\dagger\}=0 \end{aligned} \end{equation}$

通过上面的变化可以将哈密顿量变成对角形式

$\begin{equation} \mathcal{H}=\sum_nE_n\gamma_n^\dagger\gamma_n+E_\text{const}\label{eq5} \end{equation}$

利用算符之间的对易关系可以得到

$\begin{equation} \begin{aligned} &[\gamma_m^\dagger,\mathcal{H}]=-E_m\gamma^\dagger_m &[\gamma_m,\mathcal{H}]=E_m\gamma_m\label{e2} \end{aligned} \end{equation}$

利用(\ref{e2})可以得到

$\begin{equation} \begin{aligned} &[c_{i\uparrow},\mathcal{H}]=\sum_n[\gamma_n,\mathcal{H}]u^n_{i\uparrow}-\sum_n[\gamma_n^\dagger,\mathcal{H}]v_{i\uparrow}^{n*}=\sum_nE_n(\gamma_n u_{i\uparrow}^n+\gamma^\dagger_nv_{i\uparrow}^{n*})\\ &[c_{i\downarrow},\mathcal{H}]=\sum_n[\gamma_n,\mathcal{H}]u^n_{i\downarrow}-\sum_n[\gamma_n^\dagger,\mathcal{H}]v_{i\downarrow}^{n*}=\sum_nE_n(\gamma_n u_{i\downarrow}^n-\gamma^\dagger_nv_{i\downarrow}^{n*})\label{e5} \end{aligned} \end{equation}$

同样的利用电子算符的对易关系可以得到

$\begin{equation} \begin{aligned} &[c_{i\uparrow},\mathcal{H}]=-\sum_jt_{ij}c_{j\uparrow}+\sum_j\Delta_{ij}c^\dagger_{j\downarrow}\\ &[c_{i\downarrow},\mathcal{H}]=-\sum_jt_{ij}c_{j\downarrow}+\sum_j\Delta_{ij}c^\dagger_{j\uparrow}\label{e4} \end{aligned} \end{equation}$

结合Bogoliubov变换(\ref{e3})和费米子算符之间的对易关系(\ref{e4})可以得到

$\begin{equation} \begin{aligned} [c_{i\uparrow},\mathcal{H}]&=\sum_n[\sum_j-t_{ij}(u_{j\uparrow}^n\gamma_n-v_{j\uparrow}^{n*})+\sum_j\Delta_{ij}(u_{j\downarrow}^{n*}\gamma_n^\dagger+v_{j\downarrow}^n\gamma_n)]\\ &=\sum_{nj}[-t_{ij}u_{j\uparrow}^n+\Delta_{ij}v_{j\downarrow}^n]\gamma_n+\sum_{nj}[t_{ij}v_{j\uparrow}^{n*}+\Delta_{ij}u_{j\downarrow}^{n*}]\gamma^\dagger_n\\ [c_{i\downarrow},\mathcal{H}]&=\sum_n[\sum_j-t_{ij}(u_{j\downarrow}^n\gamma_n+v_{j\downarrow}^{n*})-\sum_j\Delta_{ij}(u_{j\uparrow}^{n*}\gamma_n^\dagger-v_{j\uparrow}^n\gamma_n)]\\ &=\sum_{nj}[-t_{ij}u_{j\downarrow}^n+\Delta_{ij}v_{j\uparrow}^n]\gamma_n+\sum_{nj}[t_{ij}v_{j\downarrow}^{n*}-\Delta_{ij}u_{j\downarrow}^{n*}]\gamma^\dagger_n\\\label{e6} \end{aligned} \end{equation}$

方程(\ref{e5})和(\ref{e6})是相同的，所以就可以得到

$\begin{equation} E_nu_{i\uparrow}^n=\sum_j-t_{ij}u_{j\uparrow}^n+\sum_j\Delta_{ij}v_{j\downarrow}^n\label{b1} \end{equation}$ $\begin{equation} E_nv_{i\uparrow}^{n*}=\sum_jt_{ij}v_{j\uparrow}^{n*}+\sum_j\Delta_{ij}u_{j\downarrow}^{n*}\label{b2} \end{equation}$ $\begin{equation} E_nu_{i\downarrow}^n=\sum_j-t_{ij}u_{j\downarrow}^n+\sum_j\Delta_{ij}v_{j\uparrow}^n\label{b3} \end{equation}$ $\begin{equation} E_nv_{i\downarrow}^{n*}=\sum_jt_{ij}v_{j\downarrow}^{n*}+\sum_j\Delta_{ij}u_{j\uparrow}^{n*}\label{b4} \end{equation}$

联立(\ref{b1})和(\ref{b4})可以得到

$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} E_nu^n_{i\uparrow}&=\sum_j-t_{ij}u^n_{j\uparrow}+\sum_j\Delta_{ij}v^n_{j\downarrow}\\ E_nv^n_{i\downarrow}&=\sum_j\Delta_{ij}u^n_{j\uparrow}-\sum_j-t^{*}_{ij}v^n_{j\downarrow} \end{aligned} \right. \end{equation}$

将其表示为矩阵形式为

$\begin{equation} \sum_{ij}\left( \begin{array}{cc} H_{ij\uparrow}&\Delta_{ij}\\ \Delta^*_{ij}&-H^*_{ij\downarrow} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} u_{j\uparrow}^n\\ v_{j\downarrow}^n \end{array} \right)=E\left( \begin{array}{c} u_{j\uparrow}^n\\ v_{j\downarrow}^n \end{array} \right)\label{bdg1} \end{equation}$

这里的$H_{ij\sigma}=-t_{ij}$。联立(\ref{b2})和(\ref{b3})可以得到

$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} E_nv^{n*}_{i\uparrow}&=\sum_j\Delta_{ij}u^{n*}_{j\downarrow}-\sum_jt_{ij}v^{n*}_{j\uparrow}\\ E_nu^{n*}_{i\downarrow}&=-\sum_jt_{ij}u^{n*}_{j\downarrow}+\sum_j\Delta_{ij}v^{n*}_{j\uparrow}\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$

同样将其表示为矩阵形式

$\begin{equation} \sum_{ij}\left( \begin{array}{cc} H_{ij\uparrow}&\Delta_{ij}\\ \Delta^*_{ij}&-H^*_{ij\downarrow} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -v^{n*}_{j\uparrow}\\ u^{n*}_{j\downarrow} \end{array} \right)=E\left( \begin{array}{c} -v^{n*}_{j\uparrow}\\ u^{n*}_{j\downarrow} \end{array} \right)\label{bdg2} \end{equation}$

这里(\ref{bdg1})和(\ref{bdg2})就是BdG方程。在得到了BdG方程之后就可以求解电子在实空间中的分布。首先先明确几个基本的关系，首先利用Bogoliubov变换的主要目的就是为了对角化哈密顿量，从而得到Bogoliubov准粒子的能谱，准粒子的粒子数分布满足

$\begin{equation} \begin{aligned} &\langle\gamma^\dagger_n\gamma_m\rangle=\delta_{mn}f(\epsilon_n)\\ &\langle\gamma_n\gamma_m\rangle=0\\ &f(\epsilon_n)=\frac{1}{e^{\beta\epsilon_n}+1}\quad \beta=1/K_bT \end{aligned} \end{equation}$

这里的$K_b$是玻尔兹曼常数，$T$表示温度。

电子的分布为

$\begin{equation} \begin{aligned} \langle n_{i\uparrow}\rangle&=\langle c^\dagger_{i\uparrow}c_{i\uparrow}\rangle=\sum^{'}_n\langle(u_{i\uparrow}^{n*}\gamma_n^\dagger-v_{i\uparrow}^n\gamma_n)(u_{i\uparrow}^n\gamma_n-v_{i\uparrow}^{n*}\gamma_n^\dagger) \rangle\\ &=\sum^{'}_n(u_{i\uparrow}^{n*}u_{i\uparrow}^{n}\langle \gamma^\dagger_n\gamma_n\rangle+v_{i\uparrow}^nv_{i\uparrow}^{n*}\langle \gamma_n\gamma^\dagger_n\rangle)\\ &=\sum^{'}_n[|u^n_{i\uparrow}|^2f(E_n)+|v^n_{i\uparrow}|^2f(-E_n)] \end{aligned} \end{equation}$ $\begin{equation} \begin{aligned} \langle n_{i\downarrow}\rangle=\langle c^\dagger_{i\downarrow}c_{i\downarrow}\rangle&=\sum_n^{'}\langle(u_{i\downarrow}^{n*}\gamma_n^\dagger+v_{i\downarrow}^n\gamma_n)(u_{i\downarrow}^n\gamma_n)(u_{i\downarrow}^n\gamma_n+v_{i\downarrow}^{n*}\gamma_n^\dagger)\rangle\\ &=\sum_n^{'}(u_{i\downarrow}^{n*}u_{i\downarrow}^{n}\langle \gamma_n^\dagger\gamma_n\rangle+v_{i\downarrow}^nv_{i\downarrow}^{n*}\langle \gamma_n\gamma_n^\dagger\rangle)\\ &=\sum_n^{'}[|u_{i\downarrow}^n|^2f(E_n)+|v_{i\downarrow}^n|^2f(-E_n)] \end{aligned} \end{equation}$

将上面的这些表达式都整理到一起就可以得到

$\begin{equation} \begin{aligned} \langle n_{i\uparrow}\rangle&=\sum^{'}_n[|u^n_{i\uparrow}|^2f(E_n)+|v^n_{i\uparrow}|^2f(-E_n)]\\ \langle n_{i\downarrow}\rangle=&\sum_n^{'}[|u_{i\downarrow}^n|^2f(E_n)+|v_{i\downarrow}^n|^2f(-E_n)]\label{e7} \end{aligned} \end{equation}$

{\color{blue}这里要说明一件事情，在上面的求和中$\sum^{‘}$表示只对能量为正的本征态进行求和}，而且从方程(\ref{b1})-(\ref{b4})可以发现如果

$(u^n_{i\uparrow},v_{i\downarrow}^n,u_{i\downarrow}^n,v^n_{i\uparrow})$

是BdG哈密顿量能量为$E_n$的本征态那么

$(-v^{n*}_{i\uparrow},u^{n*}_{i\downarrow},v^{n*}_{i\downarrow},-u^{n*}_{i\uparrow})$

就是能量为$-E_n$的本征态，这就是BdG哈密顿量存在的粒子空穴对称性。利用这个关系之后就可以将粒子数密度(\ref{e7})改写为

$\begin{equation} \begin{aligned} \langle n_{i\uparrow}\rangle&=\sum_n|u_{i\uparrow}^n|^2f(E_n)\\ \langle n_{i\uparrow}\rangle&=\sum_n|v_{i\downarrow}^n|^2f(-E_n)\\ \langle n_{i}\rangle&=\langle n_{i\uparrow}\rangle+\langle n_{i\downarrow}\rangle=\sum_n[|u_{i\uparrow}^n|^2f(E_n)+|v_{i\downarrow}^n|^2f(-E_n)] \end{aligned} \end{equation}$

当知道了实空间中的粒子数分布之后，单位能量间隔内的粒子的数目对应的就是局域电子态密度

$\begin{equation} \rho_i(\omega)=\sum_n[|u_{i\uparrow}^n|^2\delta(E_n-E)+|v_{i\downarrow}^n|^2f(E_n+E)] \end{equation}$

矩阵对角化

在前面首先知道矩阵$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{D}\boldsymbol{A^{-1}}$,现在这个$\boldsymbol{M}$就是哈密顿量矩阵$\mathcal{H}$,那么同样的它的对角化为

$\begin{equation} \mathcal{H}=SDS^{-1}\label{eq3} \end{equation}$

这里的S就是通过对角化得到的本征矢量构成的矩阵,也就是前面的$\boldsymbol{A}$,将(\ref{eq3})代入(\ref{ham})中,可以得到

$\begin{equation} H=\psi^\dagger SDS^{-1}\psi=(\psi S^\dagger)^\dagger D (S^\dagger\psi)\label{eq4} \end{equation}$

这里D是对角矩阵,也就是本征值,将(\ref{eq4})和(\ref{eq5})进行对比就可以发现下列关系

$\begin{equation} \alpha = S^\dagger\psi\\ \xi_k = D \end{equation}$

从这里饿哦们就可以很明确的看出矩阵对角化与Bogoliubove变换之间的联系了,矩阵对角化后的本征值就对应着Bogoliubov变换之后准粒子对角二次型前面的系数$\xi_k$.

这里因为$\mathcal{H}$在构建的时候,里面的数同样都是和k相关的参数,所以可以认为是不同的k对应着不同的$\mathcal{H}$,同样也就对应着不同的$D$,则可以将矩阵$D$在形式上也写作$D_k$,这样的话它个$\xi_k$之间的对应关系就很明朗了.

至于算符之间的关系就更加明确了,准粒子算符$\alpha$和原始的费米子算符$C$之间通过一个幺正矩阵(厄米矩阵本征矢构成的矩阵是个幺正矩阵)联系,这也就和Bogoliubov变换时,准粒子算符由原始费米子算符通过系数组合联系起来,而且在执行这个准粒子算符构建过程的时候,这个变换本来就是幺正的,所有的内容到这里就变得完全自洽,而Bogoliubov变换的系数就可以通过矩阵对角化后得到的本征矢量矩阵$S$得到.