看文献的时候突然对态之间的耦合有点自己的想法，随手整理了下来。
什么是耦合
这里来理解一下不同态之间的耦合与实际公式表达有什么联系。我们习惯用哈密顿量来描述系统，假设我有两个态$\psi_1,\psi_2$，我们将基矢选择为
\[\psi=(\psi_1,\psi_2)\]那么此时可以给出哈密顿量
\[\hat{H}=\psi^\dagger H\psi\quad H=\left(\begin{array}{cc} E_1&0\\ 0&E_2 \end{array}\right)\label{p1}\]从这里可以看到两个态单独对应的能量为$E_{1,2}$，而且它们之间是没有耦合的，也就是说哈密顿量$\hat{H}$中是不存在
\[\psi_1^\dagger\psi_2\]这两的项的。在不存在耦合的时候，假如能量$E_i$随着某些参数进行演化，那么如果$E_1,E_2$之间是相交的，那么这个相交的点一定是稳定的，因为从哈密顿量(\ref{p1})中我们可以看到，这两个态本来就没什么关系，相互之间是独立的，所以算二者在某一个演化参数下面能量相同，那么也不会发生交叉点打开的情况。
这个时候我们来考虑这样的耦合项的存在，并假设这两个态之间的耦合大小为$t$，如果是用态表示出来即就是
\[t=\langle\psi_1\rvert\mathcal{H}\rvert\psi_2\rangle\]这里的$\mathcal{H}$表示的就是一次量子化之后系统的哈密顿量，而前面$\hat{H}$则是我们用二次量子化的语言表示的。那么考虑了耦合之后，哈密顿量的矩阵形式$H$就为
\[H=\left(\begin{array}{cc} E_1&t\\ t^*&E_2 \end{array}\right)\label{p2}\]此时我们可以发现，假如系统同样随着某个参数演化，此时如果两个态的能级发生交叉，那么就一定会打开能隙，而这个能隙产生的原因就是因为这两个态现在之间是存在耦合的，那么从哈密顿量(\ref{p2})中我们也可以看到，此时一定会打开能隙，而且能隙的大小与两个态之间的耦合强度$t$是相关的。
具体实例
前面的可能有些抽象，这里我们来考虑具体的一个问题。比我我现在有两个态，就考虑那种时间反演对称保护，且自旋是好量子数的量子自旋Hall效应。假设我一支态的自旋是$\uparrow$，另外一个态的自旋是$\downarrow$，将它们两者表示在$\sigma_z$的表象下面，那么它们就分别是$\sigma_z$的两个本征值
\[\sigma_z\rvert\uparrow\rangle=\rvert\uparrow\rangle\quad \sigma_z\rvert\downarrow\rangle=-\rvert\downarrow\rangle\]经常在文献中说两支态之间背散射是禁止的，而且还明确说是非磁性杂质散射才是禁止的，这是为什么呢？结合我们前面的分析，考虑非磁性是因为磁性杂质散射可能会使得自旋发生翻转，从公式的角度来说就是这个散射过程可能会等价于$\sigma_{x}$或者$\sigma_y$的作用。我们来看$\sigma_x$对两个自旋态的作用
\[\sigma_x\rvert\uparrow\rangle=\rvert\downarrow\rangle\quad \sigma_x\rvert\downarrow\rangle=\rvert\uparrow\rangle\]它就会使的自旋翻转，从而有
\[\langle\downarrow\rvert\sigma_x\rvert\uparrow\rangle\neq0\]也就是说磁性杂质散射使得自旋发生了翻转，那么两个不同的态之间就存在了耦合，那么本来gapless的边界态就会打开能隙，从而变成绝缘体的。但是非磁性杂质的作用就好像一个$\sigma_z$，这种散射满足
\[\langle\downarrow\rvert\sigma_z\rvert\uparrow\rangle=0\]可以看到此时两支自旋态之间是没有耦合的，那么自然gapless的边界态也就不会打开能隙了，从而仍然是gapless的导电通道。所以也就是文章里面说的这个边界态是robust。
上面虽然是用一个具体的量子自旋Hall效应的边界态来解释了能带交叉点为什么会受到保护，其实这里可以将上面的记号完全推广的，$\rvert\uparrow\rangle$表示一个态，$\rvert\downarrow\rangle$表示另外一个态，它们之间肯定是可以用一个量来对这两个态进行区分的，比如群论中表示的本征值。如果这两个态分别属于不同的本征值，那么自然也就不会发生耦合。类似的概念还有很多种，这个在平时阅读文献的时候都是可以去积累的。
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