解析求解拓扑绝缘体边界态

前言

拓扑物态的研究已经成为了凝聚态研究中重要的一部分，我先不赘述与拓扑相关的基本知识了，其实在之前的量子几何张量与量子度规(1)这篇文章中，已经给出了基本的Berry位相以及Berry曲率的概念。

2D拓扑绝缘体是受到时间反演对称性保护的具有helical的边界态，在六角晶格上的就是Kane-Mele模型，而在四方晶格上就是BHZ模型来研究。在这里就先关注一下比较简单的BHZ模型，关于数值如何计算边界态在这里就先不关注了，这里主要是通过解析的方式给出拓扑绝缘体的边界态。

以上就是BHZ模型解析求解得到的边界态，可以看到在能带反转点处，它与数值的结果是一致的。上面给出的是在一个确定了$x，y$方向之后，给出的边界态理论，其实也可以将模型转换到$2D$极坐标系统中，或者令直角坐标轴转动起来，此时$x$和$y$都是角度依赖的，同样可以在这样的情况下给出完整的边界态理论。

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