Ward-Takahashi 恒等式

首先介绍一下配分函数和以及生成泛函，在量子场论和统计物理中，配分函数（Partition Function） 虽然是所有物理信息的源头，但它本身并不直接给出可观测量的关联函数（如格林函数、响应函数等）。为了系统地计算这些物理量，我们需要引入 生成泛函（Generating Functional），并通过对生成泛函的求导来提取关联函数。首先考虑一个高斯型配分函数

$$Z[J] = \int \mathcal{D}\phi \, e^{-\frac{1}{2} \phi K \phi + J \phi},$$

其中$\phi$就是场变量，在正常态系统中就是标量场，而在研究超导的时候$\phi$则是Nambu旋量。$K$是一个对称正定算子(比如对于自由费米子$K = -\partial^2 + m^2$)，而$J$则是外源场。考虑到自由是标量场$\phi(x)$是高斯形式

$$Z[J] = \int \mathcal{D}\phi \, \exp\left(-\frac{1}{2} \int dx \, \phi(x) K \phi(x) + \int dx \, J(x)\phi(x)\right),$$

其中$J(x)$是外源场，首先将时空离散化为格点，场$\phi(x)$和算子$K$变为矩阵形式

$$Z[J] = \int \prod_i d\phi_i \, \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i,j} \phi_i K_{ij} \phi_j + \sum_i J_i \phi_i\right),$$

这里的$K_{ij}$是正定矩阵。对指数中的项进行配方并消去线性项

$$-\frac{1}{2} \phi^T K \phi + J^T \phi = -\frac{1}{2} \left(\phi - K^{-1}J\right)^T K \left(\phi - K^{-1}J\right) + \frac{1}{2} J^T K^{-1} J,\qquad K^{T}=K$$

令$\phi’ = \phi - K^{-1}J$，积分测度不变($\mathcal{D}\phi’ = \mathcal{D}\phi$)，配分函数变为

$$Z[J] = \exp\left(\frac{1}{2} J^T K^{-1} J\right) \int \mathcal{D}\phi' \, \exp\left(-\frac{1}{2} \phi'^T K \phi'\right).$$

因此对积分部分就变成了标准的高斯积分形式，从而得到无外源场的配分函数为

$$Z[0] = \int \mathcal{D}\phi \, \exp\left(-\frac{1}{2} \phi^T K \phi\right).$$

对于离散化的高斯积分，即得到

$$Z[0] = \sqrt{\frac{(2\pi)^N}{\det K}},\quad \det K = \prod_\lambda \lambda,$$

其中的$N$就是离散格点的数量。在连续极限下($N\rightarrow\infty$)，$\det K$即为算子$K$的泛函行列式，而$\lambda$是算子$K$的本征值。通过无外源场时的配分函数可以得到体系的自由能

$$Z[0] = e^{-\beta F}, \quad F = -\frac{1}{\beta} \ln Z[0].$$

而$\ln Z[0] = -\frac{1}{2} \ln \det K$与场的本征模能量相关。

有外源场$J(x)$时完整的配分函数为

$$Z[J] = Z[0] \cdot \exp\left(\frac{1}{2} J^T K^{-1} J\right).$$

在连续极限下，$J^T K^{-1} J$表示为积分形式

$$Z[J] = Z[0] \cdot \exp\left(\frac{1}{2} \int dx \, dy \, J(x) G_0(x,y) J(y)\right),$$

其中$G_0(x,y) = K^{-1}(x,y)$是算子$K$的格林函数(即自由传播子)。对于无相互作用的自由费米子，算子$K=-\partial^2+m^2$，其格林函数满足

$$(-\partial_x^2 + m^2) G_0(x,y) = \delta(x-y).$$

在动量空间中则表示为

$$G_0(p) = \frac{1}{p^2 + m^2}, \quad G_0(x,y) = \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} \frac{e^{ip(x-y)}}{p^2 + m^2}.$$

生成泛函的定义为

$$\boxed{G[J] = \ln Z[J]}$$

对上述高斯型配分函数则有

$$G[J] = \ln Z[0] + \frac{1}{2} J K^{-1} J.$$

此时可以看到对生成泛函$W[J]$的一阶导数则得到外源$J$存在时场$\phi$的期望值

$$\frac{\delta G[J]}{\delta J} = K^{-1} J = \langle \phi \rangle_J,$$

而且当外源场关闭的时候($J=0$)，场算符的期望值为零($\langle \phi \rangle = 0$)，因为此时并未发生对称性破缺。

而对生成泛函的二阶导数则可以得到两点关联函数

$$\frac{\delta^2 G[J]}{\delta J \delta J} = K^{-1} = \langle \phi \phi \rangle_\text{conn},$$

这里的下标$\langle\cdots\rangle_{\rm conn}$表示只考虑费曼图中的连通图部分。因为这里最开始并没有考虑相互作用，因此对于生成泛函$W[J]$的高阶导数$(n\geq3)$结果为零，如果考虑了相互作用，那么就可以得到更高阶导数产生的关联函数。

利用Legender变换可以从$W[J]$中定义有效作用量

$$\Gamma[\langle \phi \rangle] = G[J] - \int J \langle \phi \rangle, \quad \langle \phi \rangle = \frac{\delta G[J]}{\delta J}.$$

对于上述自由费米子的高斯型配分函数，结合

$$\langle \phi \rangle = K^{-1} J\rightarrow J = K \langle \phi \rangle$$

则得到

$$\Gamma[\langle \phi \rangle] = \ln Z[0] + \frac{1}{2} \langle \phi \rangle K \langle \phi \rangle - \langle \phi \rangle (K \langle \phi \rangle) = \ln Z[0] - \frac{1}{2} \langle \phi \rangle K \langle \phi \rangle.$$

有效作用量对外场的一阶变分极值点为

$$\frac{\delta \Gamma}{\delta \langle \phi \rangle} = -K \langle \phi \rangle = -J,$$

因此在$J=0$的时候极值点$\langle \phi \rangle = 0$对应系统的稳定态。而有效作用量的二阶导数为

$$\frac{\delta^2 \Gamma}{\delta \langle \phi \rangle^2} = K = (K^{-1})^{-1},$$

得到的就是传播子的逆。

简单讨论一下为什么要引入生成泛函：首先实验上测量的都是响应函数（比如电导率），根据上面的分析可以看到其实就是$\delta^2 W / \delta J^2$，因此直接通过对配分函数的求导并不能得到关联函数。而且虽然配分函数$Z[J]$的指数直接给出了两点关联函数$\langle\phi\phi\rangle$，但实际的计算中我们只需要关注连通图即可，而利用生成泛函$W[J]$得到的直接就是$\langle \phi \phi \rangle_\text{conn}$。此外，在考虑了相互作用之后，对$W[J]$的展开即可得到所有连通的费曼图，这是计算物理可观测量的核心。