对称性约束响应系数

这里先用一个具体的例子来展示一下对称性是如何约束响应系数分量的。

这里来分析一下，在系统具有 $C_{2x}$ 对称性（即关于 $x$轴的二重旋转对称性）时，一阶电导率张量$\sigma_{ij}^{(1)}$ 中哪些分量可以非零，哪些必须为零。首先响应电流与外场的关系为

$j_i = \sigma_{ij}^{(1)} E_j$

电导率$\sigma_{ij}$是个二阶张量，操作$C_{2x}$就是绕$x$轴旋转$180^o$的操作，此时直角坐标空间中的位置变换为

$(x, y, z) \xrightarrow{C_{2x}} (x, -y, -z)$

而体系具有$C_{2x}$对称性，即意味着在这个操作下电导率张量$\sigma_{ij}$是保持不变的，即

$\sigma_{ij} = R_{ii'} R_{jj'} \sigma_{i'j'}$

其中$R$就是$C_{2x}$的旋转矩阵，在三维空间中表示为

$R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

下面就具体分析各个分量在该旋转矩阵下的变换关系

$\sigma_{xx}$

$\sigma_{xx} \xrightarrow{C_{2x}} R_{xi} R_{xj} \sigma_{ij} = R_{xx} R_{xx} \sigma_{xx} = 1 \cdot 1 \cdot \sigma_{xx} = \sigma_{xx} \Rightarrow \text{可以非零}$

$\sigma_{xy}$

$R_{xi} R_{yj} \sigma_{ij} = R_{xx} R_{yy} \sigma_{xy} = 1 \cdot (-1) \cdot \sigma_{xy} = -\sigma_{xy} \Rightarrow \sigma_{xy} = -\sigma_{xy} \Rightarrow \boxed{\sigma_{xy} = 0}$