本笔记详细推导了downfolding方法得到有效哈密顿量的过程

Downfolding 方法推导有效哈密顿量

1. 问题描述

考虑一个分块矩阵形式的哈密顿量

$H = \begin{pmatrix} H_e & H_p \\ H_p^\dagger & H_o \end{pmatrix}$

其中：$H_e$：高能子空间的哈密顿量（$n_e \times n_e$ 厄米矩阵）,$H_o$：低能子空间的哈密顿量（$n_o \times n_o$ 厄米矩阵）,$H_p$：子空间间的耦合项（$n_e \times n_o$ 矩阵），且相对较小（弱耦合）。

目标：通过downfolding方法积分掉低能自由度，得到仅作用于高能子空间的有效哈密顿量 $H_{\text{eff}}$，使其在低能范围内的本征值与原始哈密顿量 $H$ 一致。

2. 理论推导

系统的波函数可写为

$\psi = \begin{pmatrix} \psi_e \\ \psi_o \end{pmatrix}$

其中 $\psi_e$ 属于高能子空间，$\psi_o$ 属于低能子空间。薛定谔方程 $H\psi = E\psi$ 展开为

$\begin{pmatrix} H_e & H_p \\ H_p^\dagger & H_o \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_e \\ \psi_o \end{pmatrix} = E \begin{pmatrix} \psi_e \\ \psi_o \end{pmatrix}$

得到两个耦合方程

$\begin{eqnarray} & H_e \psi_e + H_p \psi_o = E \psi_e \label{q2}\\ & H_p^\dagger \psi_e + H_o \psi_o = E \psi_o\label{q3} \end{eqnarray}$

从方程\eqref{q3}解出 $\psi_o$

$\begin{equation} \begin{aligned} &H_p^\dagger \psi_e + H_o \psi_o = E \psi_o\\ &(E - H_o) \psi_o = H_p^\dagger \psi_e \end{aligned} \end{equation}$

假设 $E$ 不在 $H_o$ 的本征值附近（即 $E - H_o$ 可逆），则

$\psi_o = (E - H_o)^{-1} H_p^\dagger \psi_e\label{q1}$

将式\eqref{q1}代入方程\eqref{q2}得到

$H_e \psi_e + H_p \left[(E - H_o)^{-1} H_p^\dagger \psi_e\right] = E \psi_e$

整理得

$\left[H_e + H_p (E - H_o)^{-1} H_p^\dagger\right] \psi_e = E \psi_e$

因此，有效哈密顿量为

$\boxed{H_{\text{eff}}(E) = H_e + H_p (E - H_o)^{-1} H_p^\dagger}\label{q4}$

物理意义:

$H_e$：高能子空间的”裸”哈密顿量
$H_p (E - H_o)^{-1} H_p^\dagger$：由于与低能子空间耦合而产生的自能项
该有效哈密顿量是能量依赖的，反映了系统的动力学位移

3. 近似处理（弱耦合情形）

零级近似

当 $H_p$ 很小时，可取 $E \approx E_0$（$H_o$ 的基态能量）：

$\boxed{H_{\text{eff}}^{(0)} = H_e + H_p (E_0 - H_o)^{-1} H_p^\dagger}$

一级近似

考虑能量修正，设 $E = E_0 + \Delta E$，展开：

$(E - H_o)^{-1} = (E_0 - H_o + \Delta E)^{-1} \approx (E_0 - H_o)^{-1} - (E_0 - H_o)^{-2} \Delta E$

代入式\eqref{q4}得到自洽方程。

微扰展开

更系统地，可将自能项按 $H_p$ 的幂次展开：

$H_{\text{eff}}(E) = H_e + \sum_{n=1}^{\infty} H_p \left[(E - H_o)^{-1} H_p^\dagger H_p (E - H_o)^{-1}\right]^{n-1} (E - H_o)^{-1} H_p^\dagger$

4. 特殊情况处理

$H_o$ 为对角矩阵

若 $H_o = \text{diag}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_{n_o})$，则

$(E - H_o)^{-1} = \text{diag}\left(\frac{1}{E - \varepsilon_1}, \frac{1}{E - \varepsilon_2}, \ldots, \frac{1}{E - \varepsilon_{n_o}}\right)$

有效哈密顿量简化为

$H_{\text{eff}}(E) = H_e + \sum_{i=1}^{n_o} \frac{(H_p)_i (H_p^\dagger)_i}{E - \varepsilon_i}$

其中 $(H_p)_i$ 是 $H_p$ 的第 $i$ 列。

静态近似（不依赖能量）

对于某些应用，可取 $E$ 为固定值（如费米能级 $E_F$）：

$\boxed{H_{\text{eff}}^{\text{static}} = H_e + H_p (E_F - H_o)^{-1} H_p^\dagger}$

参考文献

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