在很多物理量的分析中，都需要用到关联函数，这里从定义上来分析一下关联函数实部和虚部的奇偶性。

推迟格林函数的奇偶性分析

对于推迟格林函数，其定义为

$\Pi^R(t) = -i\Theta(t)\langle [j(t), j(0)] \rangle .$

变换到频率空间

$\Pi^R(\omega)=\int_{-\infty}^\infty dt, e^{i\omega t}\Pi^R(t).$

由于算符 $j$ 是厄米的 $j^\dagger=j$，再结合对易关系

$[j(t),j(0)]^\dagger = -[j(t),j(0)],$

二者共同限制了 $\Pi^R(\omega)$ 的奇偶性。

取共轭

对推迟格林函数取共轭：

$\Pi^R(\omega)^* =\left(\int dt, e^{i\omega t}\Pi^R(t)\right)^* =\int dt, e^{-i\omega t}\Pi^R(t)^*.$

结合算符 $j$ 的对易关系和厄米性可以得到

$\Pi^R(t)^* = \Pi^R(-t).$

代入可得

$\Pi^R(\omega)^* = \int dt, e^{-i\omega t}\Pi^R(-t) = \int dt, e^{i\omega t}\Pi^R(t) = \Pi^R(-\omega).$

因此

$\boxed{\Pi^R(\omega)^* = \Pi^R(-\omega)}.$

对两边分别取实部和虚部：

$\begin{aligned} &\mathrm{Re}{\Pi^R(\omega)}=\mathrm{Re}{\Pi^R(-\omega)}\quad (\text{偶函数}),\ &\mathrm{Im}{\Pi^R(\omega)}=-\mathrm{Im}{\Pi^R(-\omega)}\quad (\text{奇函数}). \end{aligned}$

物理解释：电导率的实部是偶函数，虚部是奇函数

当系统受到外场驱动时，电流响应为

$j(\omega)=\sigma(\omega)E(\omega).$

将电导率拆成实部和虚部：

$\sigma(\omega)=\underbrace{\mathrm{Re}\sigma(\omega)}_{\text{in phase}} +i\underbrace{\mathrm{Im}\sigma(\omega)}_{\text{out of phase}} .$

实部对应 同相（in phase） 响应，不产生耗散，是弹性响应 → 偶函数
虚部对应 相差 $\pi/2$ 的响应，表示能量吸收或释放 → 奇函数

从能量吸收角度分析

电场对带电流的做功速度（单位体积）为

$P(t)=\mathbf{J}(t)\cdot\mathbf{E}(t).$

设电场为

$E(t)=\mathrm{Re}[E(\omega)e^{-i\omega t}].$

电流为

$j(t)=\mathrm{Re}[j(\omega)e^{-i\omega t}] =\mathrm{Re}[\sigma(\omega)E(\omega)e^{-i\omega t}].$

因此瞬时功率为

$P(t)= j(t)E(t) = \mathrm{Re}[\sigma E e^{-i\omega t}]\cdot \mathrm{Re}[E e^{-i\omega t}].$

展开实部：

$\mathrm{Re}[Ae^{-i\omega t}]\cdot \mathrm{Re}[Be^{-i\omega t}] =\frac12\mathrm{Re}[AB^*] + \frac12 \mathrm{Re}[AB e^{-2i\omega t}].$

第二项时间平均为零，因此

$\overline{P}=\frac12 \mathrm{Re}[\sigma(\omega)|E(\omega)|^2].$

吸收功率不随频率符号改变，因此

$\mathrm{Re}\sigma(\omega)=\mathrm{Re}\sigma(-\omega).$

利用 Kramers–Kronig 关系分析奇偶性

将关联函数分解为

$\Pi(\omega)=\mathrm{Re},\Pi(\omega)+i\mathrm{Im}\Pi(\omega).$

Kramers–Kronig 关系：

$\begin{aligned} &\mathrm{Re}\Pi(\omega)=\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega' \frac{\mathrm{Im},\Pi(\omega')}{\omega'-\omega},\ &\mathrm{Re}\Pi(-\omega)=\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega' \frac{\mathrm{Im},\Pi(\omega')}{\omega'+\omega}. \end{aligned}$

变量替换 $\omega’=-x$ 得

$\mathrm{Re}\Pi(-\omega)=\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\mathrm{Im},\Pi(-x)}{\omega-x}.$

若 $\mathrm{Im},\Pi$ 为奇函数

$\mathrm{Im}\Pi(-x) = -\mathrm{Im}\Pi(x)$

代入

$\mathrm{Re}\Pi(-\omega)= \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{-\mathrm{Im}\Pi(x)}{\omega-x}= \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\mathrm{Im}\Pi(x)}{x-\omega}.$

得到

$\mathrm{Re}\Pi(-\omega)=\mathrm{Re}\Pi(\omega),$

实部为偶函数。

若 $\mathrm{Im}\Pi$ 为偶函数

$\mathrm{Im}\Pi(-x) = \mathrm{Im}\Pi(x)$

代入

$\mathrm{Re}\Pi(-\omega)= -\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty} dx\frac{\mathrm{Im}\Pi(x)}{x-\omega} =-\mathrm{Re}\Pi(\omega),$

实部为奇函数。

结论

$\begin{equation} \boxed{ \begin{aligned} \mathrm{Im}\Pi\ \text{奇函数} &\Rightarrow\ \mathrm{Re}\Pi\ \text{偶函数},\\ \mathrm{Im}\Pi\ \text{偶函数} &\Rightarrow\ \mathrm{Re}\Pi\ \text{奇函数}. \end{aligned}} \end{equation}$

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