Ward-Takahashi 恒等式是连续对称性（如规范对称性）在量子场论中的必然结果。它们以关联函数间必须满足的数学关系的形式，确保了量子理论在微扰展开的任意阶都严格地保持其对称性，是连接经典对称性与量子行为的关键桥梁。该 Blog 首先从比较简单的方式来推导出Ward-Takahashi 恒等式，然后再利用场论的语言来重新推导。

连续性方程推导

首先，具有$U(1)$规范对称性的体系电荷是守恒的，即存在连续性方程

$\begin{equation} \partial_t n(\mathbf r,t)+\nabla\cdot \mathbf j(\mathbf r,t)=0. \end{equation}$

做 Fourier 变换

$\begin{equation} -i\omega n(\mathbf q,\omega)+i q_a j_a(\mathbf q,\omega)=0 \end{equation}$

整理一下得到

$\begin{equation}\label{eq:cont} \omega n(\mathbf q,\omega)=q_a j_a(\mathbf q,\omega) \end{equation}$

在响应理论中，电子密度与电流对外场的线性响应为

$\begin{equation} \begin{aligned} &n = K^{00} A_0 + K^{0b} A_b,\quad j_a = K^{a0} A_0 + K^{ab}A_b\\ & A_{\mu}=\left\{A_0,A_x,A_y,A_z\right\},\quad A_0(\boldsymbol{r},t)=\phi(\boldsymbol{r},t),\quad A_b\in\left\{A_x,A_y,A_z\right\} \end{aligned} \end{equation}$

其中$K^{\mu\nu}$是电荷—-电流的响应张量，将其代入连续性方程\eqref{eq:cont}中得到

$\begin{equation} \omega (K^{00}A_0 + K^{0b} A_b) = q_a(K^{a0}A_0 + K^{ab} A_b). \end{equation}$

由于$A_0$和$A_b$是任意变化的，因此系数必须分别相等

$\begin{equation} \begin{aligned} &\omega K^{00}(\omega,\mathbf q)=q_a K^{a0}(\omega,\mathbf q)\\ &\omega K^{0b}(\omega,\mathbf q)=q_a K^{ab}(\omega,\mathbf q) \end{aligned} \end{equation}$

将上式合并则得到 Ward 恒等式

$\begin{equation}\label{eq:ward} \boxed{q_{\mu}K^{\mu\nu}(\omega,\boldsymbol{q})=0},\quad q_{\mu}=(\omega,q_x,q_y,q_z) \end{equation}$

该表达式完全由连续性方程得到，与具体模型无关。

场论方法推导

这里通过场论的方式来推导Ward–Takahashi 恒等式，首先系统的作用量(电子场)在规范变换下必须不变，首先对电磁场做一个规范变换

$\begin{equation} \psi \rightarrow e^{i e \Lambda(x)} \psi, \quad A_\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu \Lambda. \end{equation}$

体系的配分函数为

$\begin{equation} Z[A]=\int D\psi D\psi^\dagger e^{i S[\psi,\psi^\dagger,A]}. \end{equation}$

由规范不变性有

$\begin{equation}\label{eq:za} Z[A]=Z[A+\partial \Lambda]. \end{equation}$

电子与电磁场的耦合由最小耦合给出，作用量写作

$\begin{equation} S[\psi,\psi^\dagger,A_\mu]=\int d^4x, \psi^\dagger \Big( i\partial_t - H_0(\mathbf{p}-e\mathbf{A}) \Big) \psi. \end{equation}$

可以看到外场$A_{\mu}$出现在了作用量中，通过改变$A_{\mu}$即可定义响应。根据作用量得到配分函数$Z[A]$之后，则可以通过配分函数来描述系统在外场$A$存在时的行为。首先，外场$A_{\mu}$与电流的耦合方式为

$\begin{equation} S_{\text{int}}= \int d^4x J^\mu(x) A_\mu(x), \end{equation}$

在最小耦合的形式中

$\begin{equation} H(\mathbf{p}-e\mathbf{A})=H(\mathbf{p}) - eJ\cdot A + O(A^2), \end{equation}$

因此作用量对外场的泛函导数则给出电流算符

$\begin{equation} \frac{\delta S}{\delta A_\mu(x)} = J^\mu(x). \end{equation}$

将其会带到路径积分中则有

$\begin{equation} \frac{\delta Z}{\delta A_\mu(x)}=\int D\psi D\psi^\dagger (i J^\mu(x))e^{iS}. \end{equation}$

两边同时除以配分函数$Z[A]$则得到电流的期望值

$\begin{equation}\label{eq:cur} \frac{\delta \ln Z}{\delta A_\mu(x)}=\left\langle J^\mu(x) \right\rangle_A. \end{equation}$

电流对外场的导数则给出响应核

$\begin{equation} K^{\mu\nu}(x,y)=\frac{\delta J^\mu(x)}{\delta A_\nu(y)}=\frac{\delta^2 \ln Z}{\delta A_\mu(x)\delta A_\nu(y)}. \end{equation}$

这里的$K^{\mu\nu}$就是 Kubo 公式中的电流—电流关联函数。

接下来将方程\eqref{eq:za}两侧对电磁场$A_{\mu}$做变分来推导 Ward 恒等式，首先将方程右侧做泛函Taylor 展开

$\begin{equation} Z[A + \partial\Lambda]= Z[A] + \int d^4x\frac{\delta Z}{\delta A_\mu(x)} \partial_\mu \Lambda(x)+\mathcal{O}(\Lambda^2) \end{equation}$

结合规范不变形要求$Z[A]=Z[A+\partial \Lambda]$得到

$\begin{equation} Z[A] = Z[A] + \int d^4x\frac{\delta Z}{\delta A_\mu}\partial_\mu\Lambda + O(\Lambda^2) \end{equation}$

两边相等则得到线性项为零

$\begin{equation}\label{eq:py1} 0 = \int d^4x\frac{\delta Z}{\delta A_\mu(x)}\partial_\mu\Lambda(x). \end{equation}$

将电流算符的定义\eqref{eq:cur}代入，结合

$\begin{equation} \frac{\delta Z}{\delta A_\mu}= Z \frac{\delta\ln Z}{\delta A_\mu}= Z J^\mu . \end{equation}$

可将方程\eqref{eq:py1}化简为

$\begin{equation} 0= \int d^4x Z J^\mu(x)\partial_\mu\Lambda(x). \end{equation}$

除以非零的配分函数得到

$\begin{equation}\label{eq:ju} 0= \int d^4x J^\mu(x)\partial_\mu\Lambda(x). \end{equation}$

对上式进行分部积分

$\begin{equation} \int d^4xJ^\mu(x)\partial_\mu\Lambda(x)=-\int d^4x \Lambda(x)\partial_\mu J^\mu(x) + \int dS \Lambda(x) J^\mu n_\mu \end{equation}$

但是规范变换参数$\Lambda(x)$是任意函数，并且$J^\mu$在无穷远处为零，因此边界项为零

$\begin{equation} \int dS\Lambda J^\mu n_\mu = 0. \end{equation}$

从而有

$\begin{equation} \int J^\mu\partial_\mu\Lambda=-\int \Lambda(\partial_\mu J^\mu). \end{equation}$

回代入方程\eqref{eq:ju}得到

$\begin{equation} 0 = -\int d^4x\Lambda(x)\partial_\mu J^\mu(x). \end{equation}$

因为$\Lambda(x)$是任意函数，所以上式存在解的唯一可能性是

$\begin{equation} \boxed{ \partial_\mu J^\mu(x)=0. } \end{equation}$

这就是连续性方程，对应电荷守恒。将电流进行 Fourier 变换

$\begin{equation} J^\mu(q)=\int d^4xe^{-iqx}J^\mu(x) \end{equation}$

连续性方程变为

$\begin{equation} -i q_\mu J^\mu(q) = 0. \end{equation}$

将上式对外场$A_{\mu}$做变分，即得到响应核

$\begin{equation} K^{\mu\nu}(q)=\frac{\delta J^\mu(q)}{\delta A_\nu(q)}. \end{equation}$

从而有

$\begin{equation} -i q_\mu K^{\mu\nu}(q)=0\Longrightarrow\boxed{q_\mu K^{\mu\nu}(q)=0} \end{equation}$

得到 Ward 恒等式，该结果与连续性方程推导出的公式\eqref{eq:ward}完全相同。这是一个四维方程，包含时间和空间分量，将其展开得到

$\begin{equation}\label{eq:kq} \omega K^{0\nu}(q) - q_a K^{a\nu}(q)=0 \end{equation}$

其中$K^{0\nu}$是电子密度—-电流关联，$K^{a\nu}$是电流—-电流关联。

在凝聚态研究中计算光电导时，通常关心长波极限

$\begin{equation} {\color{blue}\boldsymbol{q}\rightarrow 0},\quad \omega\neq 0 \end{equation}$

此时假设了电场$E(\omega)=i\omega A(\omega)$在光学测量中是{\color{blue}空间均匀的}，外场只随时间变化，与空间无关。因此在 Ward 恒等式中$q_a\rightarrow 0$而$\omega K^{0\nu}$项保留，即方程\eqref{eq:kq}此时简化为

$\begin{equation} \omega K^{0\nu}(\omega,\mathbf{0})=0. \end{equation}$

因为频率$\omega\neq 0$，所以响应核为零

$\begin{equation} \boxed{K^{0\nu}(\omega,\mathbf{0}) = 0.} \end{equation}$

也就是说密度—-电流关联在光学极限中必须为零。

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