自旋极化率与结构因子

考虑体系哈密顿量为$H$，自旋密度算符为

$\hat S^\mu(\mathbf r) = \frac{1}{2}\sum_{\alpha\beta} \psi_\alpha^\dagger(\mathbf r)\,\sigma^\mu_{\alpha\beta}\, \psi_\beta(\mathbf r),$

进行 Fourier 变换得到

$\hat S^\mu_{\boldsymbol{q}} = \frac{1}{\sqrt N}\sum_j e^{-i\boldsymbol{q}\cdot \mathbf R_j}\hat S_j^\mu.$

自旋极化率

自旋极化率通过线性响应得到

$\chi^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},t) = \frac{i}{\hbar}\,\Theta(t)\, \langle [\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu(t),\, \hat S_{-\boldsymbol{q}}^\nu(0)] \rangle,$

其中

$\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu(t) = e^{iHt/\hbar}\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu e^{-iHt/\hbar}.$

变换到频率空间

$\chi^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} dt\, e^{i\omega t}\chi^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},t).$

结构因子

结构因子的定义为

$S^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dt\,e^{i\omega t}\, \langle \hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu(t)\hat S_{-\boldsymbol{q}}^\nu(0)\rangle.$

假设体系的本征态为$H|n\rangle = E_n |n\rangle$，可以得到配分函数$Z = \sum_n e^{-\beta E_n}$，可以将关联函数表示为

$\begin{aligned} \langle \hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu(t)\hat S_{-\boldsymbol{q}}^\nu(0)\rangle &= \frac{1}{Z}\sum_{mn} e^{-\beta E_m} \langle m|e^{iHt/\hbar}\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu e^{-iHt/\hbar}|n\rangle \langle n|\hat S_{-\boldsymbol{q}}^\nu|m\rangle\\ &= \frac{1}{Z}\sum_{mn} e^{-\beta E_m} e^{i(E_m - E_n)t/\hbar} \langle m|\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu|n\rangle \langle n|\hat S_{-\boldsymbol{q}}^\nu|m\rangle. \end{aligned}$

变换到频率空间

$S^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \frac{1}{Z}\sum_{mn} e^{-\beta E_m} \langle m|\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu|n\rangle \langle n|\hat S_{-\boldsymbol{q}}^\nu|m\rangle \delta(\hbar\omega - (E_n - E_m)).\label{eq:structure}$

这就是结构因子的谱分解表示。

对于自旋极化率则有

$\chi^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},t) = \frac{i}{\hbar}\Theta(t)\frac{1}{Z} \sum_{mn} e^{-\beta E_m} \Big( e^{i(E_m-E_n)t/\hbar} - e^{-i(E_m-E_n)t/\hbar}\Big) \langle m|\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu|n\rangle \langle n|\hat S_{-\boldsymbol{q}}^\nu|m\rangle.$

同样变换到频率空间

$\chi^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \frac{1}{\hbar Z}\sum_{mn} (e^{-\beta E_m} - e^{-\beta E_n}) \frac{|\langle m|\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu|n\rangle|^2} {\omega - (E_n - E_m)/\hbar + i0^+}.\qquad \int_0^\infty dt e^{i(\omega+i0)t} = i/(\omega+i0)$

利用恒等式

$\frac{1}{x+i0^+} = \mathcal{P}\frac{1}{x} - i\pi\delta(x),$

可以将极化率分解

$\chi^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \chi'^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) + i\chi''^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega).$

其中实部

$\boxed{ \chi'^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \frac{1}{\hbar Z} \sum_{mn} (e^{-\beta E_m} - e^{-\beta E_n}) |\langle m|\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu|n\rangle|^2 \mathcal{P}\frac{1}{\omega - (E_n - E_m)/\hbar}. }$

描述体系对外场的响应部分；虚部为

$\boxed{ \chi''^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \frac{\pi}{\hbar Z} \sum_{mn} (e^{-\beta E_m} - e^{-\beta E_n}) |\langle m|\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu|n\rangle|^2 \delta(\hbar\omega - (E_n - E_m)). }$

描述体系对外场的能量吸收强度(耗散)，将虚部的系数的形式进行改写

$(e^{-\beta E_m} - e^{-\beta E_n}) = e^{-\beta E_m}(1 - e^{-\beta(E_n - E_m)}) = e^{-\beta E_m}(1 - e^{-\beta\hbar\omega}),$

得到

$\chi''^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \frac{\pi}{\hbar}(1 - e^{-\beta\hbar\omega}) {\color{blue}\frac{1}{Z}\sum_{mn} e^{-\beta E_m} |\langle m|\hat S_{\boldsymbol{q}}^\mu|n\rangle|^2 \delta(\hbar\omega - (E_n - E_m))}.$

与结构因子$\eqref{eq:structure}$进行对比，可以发现最后一部分正是$S^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega)$，从而得到

$\boxed{ S^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \frac{1}{\pi\hbar}\frac{1}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}} \chi''^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega). }\label{eq:schi}$

这就是涨落—耗散定理在自旋系统中的形式。

Kramers–Kronig 关系

自旋极化率的实部和虚部之间也存在关联，由因果性$\chi(t<0)=0$可得

$\boxed{ \chi'^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega) = \frac{1}{\pi}\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega' \frac{\chi''^{\mu\nu}(\boldsymbol{q},\omega')}{\omega' - \omega}. }$

因此只要知道了极化率的虚部$\chi^{\prime\prime}$，通过积分即可得到实部$\chi^{\prime}$。而极化率的虚部可以通过中子散射测量结构因子$S(\boldsymbol{q},\omega)$来得到。

非弹性中子散射

中子磁矩$\boldsymbol\mu_n$与电子自旋$\hat{\mathbf S}_j$相互作用

$H_{\text{int}} = -\gamma_n \mu_N \sum_j \hat{\mathbf S}_j \cdot \mathbf B_n(\mathbf r_j).$

非弹性散射界面

$\frac{d^2\sigma}{d\Omega dE'} \propto |F(\mathbf q)|^2 \sum_{\mu\nu} (\delta_{\mu\nu}-\hat q_\mu\hat q_\nu) S^{\mu\nu}(\mathbf q,\omega),$

其中$\mathbf q = \mathbf k_i - \mathbf k_f,\hbar\omega = E_i - E_f$，结合关系式$\eqref{eq:schi}$则得到

$\boxed{ \frac{d^2\sigma}{d\Omega dE'} \propto |F(\mathbf q)|^2 \frac{2\hbar}{1-e^{-\beta\hbar\omega}} \sum_{\mu\nu}(\delta_{\mu\nu}-\hat q_\mu\hat q_\nu) \chi''^{\mu\nu}(\mathbf q,\omega). }$

因此中子散射可以直接测量自旋极化率的虚部。

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