反铁磁涨落与超导序参量的关系

首先说一个结论：在弱耦合 RPA 框架中，由nesting 矢量$\boldsymbol{q}$相连接的两个费米面上的序参量必然反号，这里就来详细的解释说明一下。

首先，在 RPA 这个框架中，能够形成超导的主要原因就是电子与电子之间交换反铁磁涨落来配对，就以正方晶格为例，费米面存在一个 nesting 矢量$\boldsymbol{Q} = (\pi, \pi)$使得

$\varepsilon_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{Q}} \approx -\varepsilon_{\boldsymbol{k}}$

这就使得磁化率在$\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}$出现峰，说明此处的反铁磁涨落最强。

超导配对核主要包含动量转移$\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}$

$V_\text{eff}(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{k}') \approx U^2 \chi_s(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}')$

由于$\chi_s$在$\boldsymbol{Q}$处最大，因此最强的散射为

$\boldsymbol{k}' = \boldsymbol{k} + \boldsymbol{Q}$

也就是费米面上由nesting 矢量连接的动量点之间的散射最强。

对于反铁磁涨落介导的相互作用$V(\boldsymbol{Q})$是正的(排斥相互作用)，在弱耦合下超导能隙$\Delta(\boldsymbol{k})$满足

$\lambda \Delta(\boldsymbol{k}) = - \sum_{\boldsymbol{k}'} V(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}') \frac{\Delta(\boldsymbol{k}')}{2E_{\boldsymbol{k}'}} \tanh\!\left(\frac{E_{\boldsymbol{k}'}}{2k_BT}\right)$

当$V(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)$由反铁磁涨落主导时，可以将配对方程近似表示为

$\lambda \Delta(\boldsymbol{k}) \;\simeq\; -V(\boldsymbol{Q}) \Delta(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{Q})$

想要有吸引(即$\lambda>0$)，那么必须满足

$\Delta(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{Q}) = -\Delta(\boldsymbol{k})$

这个符号改变说明被 nesting 矢量$\boldsymbol{Q}$连接的费米面两点，其超导序参量符号相反

对于反铁磁涨落$\boldsymbol{Q}=(\pi,\pi)$意味着

$\boldsymbol{k} \to \boldsymbol{k}+\boldsymbol{Q} = (k_x+\pi,\, k_y+\pi)$

配对类型	间隙函数 $\Delta(k)$	$\Delta(k+Q)$	是否反号
$s$-波	常数	相同 (+)	不满足
$d_{x^2-y^2}$-波	$\cos k_x - \cos k_y$	$-\cos k_x + \cos k_y = -\Delta(k)$	满足
$p$-波	$\sin k_x, \sin k_y$	$-\sin k_x, -\sin k_y = -\Delta(k)$	也反号（但不利于反铁磁背景）