BdG 哈密顿量在不同基矢下面的形式会略有不同，但二者计算的结果都是等价的，因为二者的基矢之间也只是幺正变换联系的，这里就展示一下具体的实例。

基矢选择一

选择 Nambu 基矢

$\Psi^\dagger_{\mathbf{k}} =(c^\dagger_{\mathbf{k}\uparrow} ,c^\dagger_{\mathbf{k}\downarrow},c_{-\mathbf{k}\uparrow},c_{-\mathbf{k}\downarrow})\label{eq:basis}$

构建 BdG 哈密顿量

$H_{\text{BdG}}(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} h(\mathbf{k}) & \Delta(\mathbf{k}) \\ \Delta^\dagger(\mathbf{k}) & -h^T(-\mathbf{k}) \end{pmatrix}$

其中$h(\mathbf{k})$是正常态哈密顿量，$\Delta(\mathbf{k})$是配对矩阵($2\times 2$)。费米统计要求电子交换反对易

$\Delta(\mathbf{k}) = -\Delta^T(-\mathbf{k}),\qquad \langle c_{\mathbf{k}\sigma} c_{-\mathbf{k}\sigma'} \rangle = -\langle c_{-\mathbf{k}\sigma'} c_{\mathbf{k}\sigma} \rangle\label{eq:delta}$

配对矩阵的一般形式为

$\Delta(\mathbf{k}) = \left[\psi(\mathbf{k})\, i s_y + \mathbf{d}(\mathbf{k}) \cdot (i \mathbf{s} s_y) \right]\label{eq:p1}$

其中$\psi(\mathbf{k})$是自旋单态分量，是一个标量；$\mathbf{d}(\mathbf{k}) = (d_x, d_y, d_z)$是自旋三重态配对的$\boldsymbol{d}$矢量，$is_y$保证自旋部分是反对称的。根据方程$\eqref{eq:delta}$，对于自旋单重态有

$\psi(\mathbf{k}) i s_y = -\psi(-\mathbf{k}) i s_y \Rightarrow \psi(\mathbf{k}) = \psi(-\mathbf{k})$

自旋单态的空间部分是偶函数；对于自旋三重态

$\begin{aligned} &\mathbf{d}(\mathbf{k}) \cdot (i\mathbf{s}s_y) = + \mathbf{d}(-\mathbf{k}) \cdot (i\mathbf{s}s_y) \Rightarrow \mathbf{d}(\mathbf{k}) = -\mathbf{d}(-\mathbf{k})\\ \end{aligned}$

因此三重态配对的空间部分是奇函数。

基矢选择二

现在考虑第二种基矢选择

$\Psi^\dagger(\boldsymbol{k})=\left(c^\dagger_{\uparrow\boldsymbol{k}},c^\dagger_{\downarrow\boldsymbol{k}},-c_{\downarrow-\boldsymbol{k}},c_{\uparrow-\boldsymbol{k}}\right)=\left(C^\dagger_{\boldsymbol{k}},-is_yC_{-\boldsymbol{k}}\right)\label{eq:basis2}$

从形式看，就是将配对矩阵$\eqref{eq:p1}$中的$is_y$吸收到了基矢中，因为配对矩阵是成对电子产生或者湮灭对应的分量，所以此时就只需要对 Nambu 基矢的空穴部分做变换即可，将因子吸收进来。首先要说明的是这个操作其实也是一个幺正变换

$U=\begin{pmatrix} \mathbf{1}&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}&-is_y \end{pmatrix}\label{eq:U1}$

在这个基矢下配对矩阵形式就很简单的

$\Delta(\mathbf{k}) = \psi(\mathbf{k}) i s_y + \mathbf{d}(\mathbf{k}) \cdot (i \mathbf{s} s_y)，\quad \Delta'(\mathbf{k}) = i s_y \Delta(\mathbf{k})$

所以在新的基矢$\eqref{eq:basis2}$下配对矩阵就变成了

$\Delta'(\mathbf{k}) = \psi(\mathbf{k}) + \mathbf{d}(\mathbf{k}) \cdot \mathbf{s}$

其中$\psi(\mathbf{k})$是标量函数，是自旋单重态的空间部分；$\mathbf{d}(\mathbf{k}) \cdot \mathbf{s}$是矢量函数，是自旋三重态部分。所以在新基矢下面写超导配对就很方便，比如一个 helical 的$p_x\pm ip_y$超导体

$H_{\rm BdG}(\mathbf{k})=\epsilon(\mathbf{k})\tau_z+2\Delta_0(\sin k_x s_x-\sin k_ys_y)\tau_x$

因此配对项处在反对角线上，所以直接就是$\tau_x$了，这种基矢下写配对项来就很方便了。但是这种基矢下正常态在写到空穴空间的时候，又不能像基矢$\eqref{eq:basis1}$下那样简洁，直接由$-H^*(-\mathbf{k})$来得到，有利就有弊吧。

实例

首先在基矢$\eqref{eq:basis}$下给出一个哈密顿量

$\begin{aligned} H(k)&= (V_0+V_1\cos k)s_z\gamma_z+\lambda_R \sin ks_y\gamma_z+\Delta_0 s_y\gamma_y- \mu\gamma_z ,\\ &={\color{magenta}d_1s_z\gamma_z+d_2s_y\gamma_z+d_3s_y\gamma_y-d_4\gamma_z} \end{aligned}$

能谱为

$\begin{align} &E_1(k)=-\sqrt{-2 \sqrt{d_1^2 \left(d_3^2+d_4^2\right)+d_2^2 d_4^2}+d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}\\ &E_2(k)=\sqrt{-2 \sqrt{d_1^2 \left(d_3^2+d_4^2\right)+d_2^2 d_4^2}+d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}\\ &E_3(k)=-\sqrt{2 \sqrt{d_1^2 \left(d_3^2+d_4^2\right)+d_2^2 d_4^2}+d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}\\ &E_4(k)=\sqrt{2 \sqrt{d_1^2 \left(d_3^2+d_4^2\right)+d_2^2 d_4^2}+d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2} \end{align}$

可以通过幺正矩阵$\eqref{eq:U1}$变换就得到

$\begin{aligned} H(k)&= (V_0+V_1\cos k){\color{teal}s_z\gamma_0}+(\lambda_R \sin ks_y){\color{blue}\gamma_z}+\Delta_0 {\color{blue}\gamma_x}-\mu{\color{blue}\gamma_z}\\ &={\color{magenta}d_1s_z\gamma_0+d_2s_y\gamma_z+d_3\gamma_x-d_4\gamma_z} \end{aligned}$

用程序直接验证

ClearAll["`*"];
{s0, sx, sy, sz} = PauliMatrix[{0, 1, 2, 3}];
g1 = KroneckerProduct[sz, sz];(*fFIM*)
g2 = KroneckerProduct[sz, sy];(*SOC*)
g3 = KroneckerProduct[sy, sy];(*pairing*)
g4 = KroneckerProduct[sz, s0];(*mu*)
ham = d1 g1 + d2 g2 + d3 g3 - d4 g4;
U0 = KroneckerProduct[(sz + s0)/2, s0] + 
   KroneckerProduct[(s0 - sz)/2, -I sy];
Style[MatrixForm[U0], FontSize -> 24, Blue]
func1[mat_] := 
 Style[MatrixForm[U0 . mat . Inverse[U0]], FontSize -> 20, Blue]
Style[MatrixForm[#], FontSize -> 20, Red] & /@ {KroneckerProduct[sz, 
   sz], KroneckerProduct[sz, sy], KroneckerProduct[sy, sy], 
  KroneckerProduct[sz, s0]}(*Particle-hole * Spin*)
func1[#] & /@ {g1, g2, g3, g4}

Style[MatrixForm[#], FontSize -> 20, Green] & /@ {KroneckerProduct[s0,
    sz], KroneckerProduct[sz, sy], KroneckerProduct[sx, s0], 
  KroneckerProduct[sz, s0]}(*Particle-hole * Spin*)

两种基矢下得到的能谱都是相同的

ClearAll["`*"];
{s0, sx, sy, sz} = PauliMatrix[{0, 1, 2, 3}];
g1 = KroneckerProduct[sz, sz];
g2 = KroneckerProduct[sz, sy];
g3 = KroneckerProduct[sy, sy];
g4 = KroneckerProduct[sz, s0];
ham1 = d1 g1 + d2 g2 + d3 g3 - d4 g4;
vals1 = Eigenvalues[ham1] // FullSimplify
vals1 =  
  vals1 /. {d1 -> (V0 + V1 Cos[k]), d2 -> \[Lambda]0 Sin[k], 
    d3 -> \[CapitalDelta]0, d4 -> \[Mu]};
gg1 = KroneckerProduct[s0, sz];
gg2 = KroneckerProduct[sz, sy];
gg3 = KroneckerProduct[sx, s0];
gg4 = KroneckerProduct[sz, s0];
ham2 = d1 gg1 + d2 gg2 + d3 gg3 - d4 gg4;
vals2 = Eigenvalues[ham2] // FullSimplify
vals2 =  
  vals2 /. {d1 -> (V0 + V1 Cos[k]), d2 -> \[Lambda]0 Sin[k], 
    d3 -> \[CapitalDelta]0, d4 -> \[Mu]};