BdG 哈密顿量下的电磁响应（光电导）推导

在 Nambu 空间下定义

$\Psi_{\mathbf{k}} = \begin{pmatrix} c_{\mathbf{k}} \\ c_{-\mathbf{k}}^\dagger \end{pmatrix},$

其 BdG 哈密顿量写为

$H^{\rm BdG}(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} h(\mathbf{k}) & \Delta(\mathbf{k}) \\ -\Delta^*(-\mathbf{k}) & -h^T(-\mathbf{k}) \end{pmatrix}.$

上方的两个块分别对应：电子块$h(\mathbf{k})$，空穴块$-h^T(-\mathbf{k})$。一般情况下，电磁场耦合方式为

$\mathbf{p} \to \mathbf{p} - q \mathbf{A},$

其中$q$是例子电荷，在BdG表示中：电子部分电荷$q_e=-e$，空穴部分电荷$q_h = +e$，因此电子与空穴在动量位移方向上相反。因此在Nambu空间中，对于电子部分则有

$\mathbf{k} \to \mathbf{k} - \frac{(-e)}{\hbar}\mathbf{A} = \mathbf{k} + \frac{e}{\hbar}\mathbf{A},\qquad h(\mathbf{k}) \rightarrow h\left(\mathbf{k} + \frac{e}{\hbar}\mathbf{A}\right),$

对于空穴部分则有

$\mathbf{k} \to \mathbf{k} - \frac{(+e)}{\hbar}\mathbf{A} = \mathbf{k} - \frac{e}{\hbar}\mathbf{A},\qquad h^T(-\mathbf{k}) \to h^T\!\left(-\mathbf{k}-\frac{e}{\hbar}\mathbf{A}\right).$

最终，BdG 哈密顿量应写为

$H(\mathbf{k},\mathbf{A})= \begin{pmatrix} h\left(\mathbf{k}+\tfrac{e}{\hbar}\mathbf{A}\right)&\Delta(\mathbf{k})\\ -\Delta^*(-\mathbf{k})&-h^T\left(-\mathbf{k}-\tfrac{e}{\hbar}\mathbf{A}\right) \end{pmatrix}.$

在此处推到BdG哈密顿量耦合电磁场的时候，可以看到此时做了一个“很大胆”的近似：相互作用是动量无关的，不与电磁场耦合。这里先接受这个假设来进行后面的推导，以后会慢慢探索这个大胆的假设，会发现其实这种做法得到的响应并不是规范不变的（先挖个坑吧）。

电流算符由对矢势的导数定义

$\hat{J}_a = -\frac{\partial H}{\partial A_a}.$

速度算符定义为

$V^a(\mathbf{k}) = \frac{1}{e}\frac{\partial H}{\partial A_a}\bigg|_{\mathbf{A}=0}.\label{eq:vec}$

对哈密顿量求导，利用链式法则，对于电子块

$\frac{\partial h(\mathbf{k}+e\mathbf{A}/\hbar)}{\partial A_a} =\frac{e}{\hbar}\frac{\partial h(\mathbf{k})}{\partial k_a}.$

对于空穴块，空穴的电荷是$+e$，因此

$\frac{\partial}{\partial A_a}h^T\!\left(-\mathbf{k} - \frac{e}{\hbar}\mathbf{A}\right) = -\frac{e}{\hbar}\,[\frac{\partial h^T(-\mathbf{k})}{\partial (-k_a)}] = +\frac{e}{\hbar}\,\frac{\partial h^T(-\mathbf{k})}{\partial k_a}.$

因此对BdG哈密顿量的求导得到

$\frac{\partial H}{\partial A_a} =\frac{e}{\hbar} \begin{pmatrix} \partial_{k_a}h(\mathbf{k}) & 0\\ 0 & \partial_{k_a}[h^T(-\mathbf{k})] \end{pmatrix}.$

代入速度算符的定义$\eqref{eq:vec}$则得到BdG哈密顿量的速度算符

$\boxed{ V^a(\mathbf{k}) =\frac{1}{\hbar} \begin{pmatrix} \partial_{k_a}h(\mathbf{k}) & 0\\ 0 & \partial_{k_a}[h^T(-\mathbf{k})] \end{pmatrix}. }\label{eq:va}$

光电导

在电磁场作用下，系统的电流响应与外场成正比

$J^a(\omega) = \sigma^{ac}(\omega) E_c(\omega), \quad E_c(\omega) = i\omega A_c(\omega),$

其中$\sigma^{ac}$是光电导张量

$\sigma^{ac}(\omega) = \frac{1}{i\omega} \Phi^{ac}(\omega).$

对于时间依赖的微扰项$H’=-\hat{J}\cdot \mathbf{A}(t)$，光电导可以由Kubo公式计算

$\Phi^{ac}(\omega) = \frac{1}{\hbar \Omega} \int_0^\infty dt\, e^{i\omega t} \langle [\hat{J}^a(t), \hat{J}^c(0)] \rangle,$

其中$\Omega$是系统的体系，$\hat{J}^a$是电流算符。在动量空间中，电流算符为

$\hat{J}^a = -e\sum_{\mathbf{k}} \hat{\Psi}_{\mathbf{k}}^\dagger V^a(\mathbf{k}) \hat{\Psi}_{\mathbf{k}},$

其中$V^a(\mathbf{k})$就是公式$\eqref{eq:va}$中得到的速度算符看，光电导表示为

$\sigma^{ac}(\omega) = \frac{i e^2}{\hbar \omega \Omega} \int_0^\infty dt\, e^{i\omega t} \langle [\hat{V}^a(t), \hat{V}^c(0)] \rangle.$

体系哈密顿量的本征方程为

$H^{\rm BdG}(\mathbf{k})|n\mathbf{k}\rangle=\hbar\omega_n(\mathbf{k})|n\mathbf{k}\rangle,$

其中$|n\mathbf{k}\rangle$是 BdG 本征态。定义能量差

$\hbar\omega_{mn}(\mathbf{k})=\hbar[\omega_m(\mathbf{k})-\omega_n(\mathbf{k})].$

将速度算符写为矩阵元形式

$V^a_{mn}(\mathbf{k})=\langle m\mathbf{k}|V^a(\mathbf{k})|n\mathbf{k}\rangle.$

在能量本征态基底下，对易子期望值可以写成

$\langle[\hat{V}^a(t),\hat{V}^c(0)]\rangle =\sum_{n,m} f_n(\mathbf{k}) \big[e^{i\omega_{mn}t}V^a_{nm}V^c_{mn} -e^{-i\omega_{mn}t}V^c_{nm}V^a_{mn}\big],$

其中$f_n$是能带$n$的占据数。代入 Kubo 公式

$\sigma^{ac}(\omega) =\frac{i e^2}{\hbar \omega \Omega} \sum_{\mathbf{k}}\sum_{n,m} f_n\int_0^\infty dt\, e^{i\omega t} \big[e^{i\omega_{mn}t}V^a_{nm}V^c_{mn} -e^{-i\omega_{mn}t}V^c_{nm}V^a_{mn}\big].$

电导率是一个复数，其中$\mathrm{Re}\,\sigma^{ac}(\omega)$对应吸收(dissipation)，虚部$\mathrm{Im}\,\sigma^{ac}(\omega)$推迟(reactive)部分。

利用恒等式

$\int_0^\infty dt\, e^{i(\omega+\omega_{mn})t} =\pi\delta(\omega+\omega_{mn}) +i\,\text{P}\frac{1}{\omega+\omega_{mn}},$

取其实部，保留满足能量守恒的$\delta$函数项，得到

$\text{Re}\,\sigma^{ac}(\omega) =\frac{\pi e^2}{\hbar \omega \Omega} \sum_{\mathbf{k}}\sum_{n,m} (f_n - f_m) V^c_{nm}(\mathbf{k})V^a_{mn}(\mathbf{k}) \delta[\omega-\omega_{mn}(\mathbf{k})].\label{eq:resigma}$

其中

$\omega_{mn} = \frac{E_m - E_n}{\hbar}, \quad f_{nm}=f_n-f_m.$

公式$\eqref{eq:resigma}$包含了所有的带间跃迁贡献，而且每一对$(n,m)$和$(m,n)$实际上描述的是同一对能带间的跃迁，只是方向相反。对于$nm$则表示发射光子的过程；二者对$\mathrm{Re}\,\sigma(\omega)$的贡献是相同的，为了避免重复计数，需要除以 2。利用

$\frac{1}{\Omega}\sum_{\mathbf{k}}\to\int_{\mathbf{k}}=\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d},$

最终得到

$\mathrm{Re}\,\sigma^{ac}(\omega) =\frac{\pi e^2}{2\hbar\omega} \int_{\mathbf{k}} \sum_{n,m} f_{nm}(\mathbf{k}) V_{nm}^c(\mathbf{k})V_{mn}^a(\mathbf{k}) \delta[\omega-\omega_{mn}(\mathbf{k})].$

电导率实部与虚部

电流与电导率之间满足

$\mathbf{J}(\omega)=\sigma(\omega)\,\mathbf{E}(\omega), \qquad \sigma(\omega)=\sigma_1(\omega)+i\sigma_2(\omega).$

其中电导率是一个复数量，将$\mathbf{E}(t)=\Re[\mathbf{E}_0 e^{-i\omega t}]$代入得到

$\mathbf{J}(t)=\Re[(\sigma_1+i\sigma_2)\mathbf{E}_0 e^{-i\omega t}].$

因此电导率的实部

$\sigma_1$表示与电场$\mathbf{E}$同相的电流分量
$\sigma_2$对应与电场$\mathbf{E}$相差$\pi/2$的电流分量（超前或者滞后）

这件事的核心：同相分量做功，正交分量不做净功，也就是说$\sigma_1$是耗散部分，$\sigma_2$则是储能部分。电磁场对载流体系的平均做功率密度为

$\overline{P}=\langle \mathbf{J}(t)\cdot \mathbf{E}(t)\rangle_t =\frac12 \Re[\mathbf{J}(\omega)\cdot \mathbf{E}^*(\omega)].$

代入$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$得

$\overline{P}=\frac12\sigma_1(\omega)|\mathbf{E}(\omega)|^2.$

$\boxed{\sigma_1(\omega)\ \text{直接决定单位体积吸收的平均功率（耗散/吸收）}}$
$\sigma_1>0$表示光能被材料吸收并转化为热、准粒子激发等不可逆过程。

$\boxed{\sigma_2(\omega)\ \text{不贡献平均吸收功率，代表反应性/储能响应}}$ $\sigma_2$体现电流与电场的相位差，能量在一个周期内在“场$\leftrightarrow$物质自由度”之间往返交换，但净吸收为零（理想无耗散条件下）。

由于响应函数因果（retarded），电导率的实部$\sigma_1$和虚部$\sigma_2$之间由Kramers–Kronig 关系互相决定

$\sigma_2(\omega)=-\frac{2\omega}{\pi}\,\mathrm{P}\!\int_0^\infty d\omega' \frac{\sigma_1(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}, \quad \sigma_1(\omega)=\frac{2}{\pi}\,\mathrm{P}\!\int_0^\infty d\omega' \frac{\omega'\sigma_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}.$

实部$\sigma_1$对应能量守恒，是真实的吸收/发射跃迁。而虚部$\sigma_2$对应虚跃迁引起的极化/色散效应，其不满足能量守恒的中间态贡献会改变相位、折射率、集体模色散等。因此在物理上，有吸收就必有色散；反过来测到色散也约束吸收谱的形状。