超导中的 Clean limit 与 Dirty limit

在金属超导中，杂质/缺陷会导致弹性散射，用平均自由程$\ell$（或散射时间$\tau$）来刻画。超导凝聚的一个关键长度尺度是相干长度：在弱耦合 BCS（各向同性$s$-wave）下，洁净体系的本征相干长度定义为

$\xi_0=\frac{\hbar v_F}{\pi\Delta_0}, \qquad \Delta_0 \approx 1.76\,k_BT_c .$

其中$v_F$是费米速度，$\Delta_0$是零温能隙。clean / dirty 的本质：比较“电子在散射前能走多远”与“库珀对尺度有多大”。

$\boxed{\ell \gg \xi_0}$

在一个库珀对尺度内几乎不散射，Cooper对的动力学近似弹道输运（ballistic）。

$\boxed{\ell \ll \xi_0}$

在一个库珀对尺度内发生多次散射，Cooper对的动力学更像扩散输运（diffusive）。

说明：这里的“脏”默认指非磁性弹性散射。若存在磁性杂质或强破相干过程，会引入破配对效应，许多“$T_c$不变”的结论不再成立。

上述两种极限也可以通过弛豫时间与能隙大小来反映，由平均自由程关系式

$\ell=v_F\tau$

可得

$\frac{\ell}{\xi_0} =\frac{v_F\tau}{\hbar v_F/(\pi\Delta_0)} =\frac{\pi\Delta_0\tau}{\hbar}.$

因此

$\boxed{\hbar/\tau \ll \pi\Delta_0}\rightarrow \text{Clean Limit},\qquad \boxed{\hbar/\tau \gg \pi\Delta_0}\rightarrow\text{Dirty Limit}$

Dirty limit下的超导

在$\ell\ll\xi_0$时，超导体的许多能量尺度会出现“重整化”，比如Cooper对的相干长度会变短

$\boxed{\xi_{\mathrm{dirty}} \approx 0.855\,\sqrt{\xi_0\,\ell}}$

这意味这散射越强($\ell$越短)，$\xi$越短。此外，磁穿透深度将会变大

$\boxed{\lambda_{\mathrm{dirty}} \approx \lambda_L\sqrt{\xi_0/\ell}}$

其中$\lambda_L$是伦敦穿透深度，这意味着散射越强，超流密度将会越小。对于区分第二类超导体与第一类超导的参数$\kappa$

$\kappa=\lambda/\xi \quad \Rightarrow \quad \text{dirty 往往使 }\kappa\text{ 增大（更 II 型）}$

而且由于Cooper相干长度$\xi$变短，临界磁场将会变大

$H_{c2}\sim \frac{\Phi_0}{2\pi\xi^2}$

因此超导体“变脏”可以增加临界磁场。

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