这里详细整理一下如何从正常态哈密顿量出发，构建出一般形式的BdG哈密顿量，其中一般性的考虑自旋单重态配对和自旋三重态配对。

模型构建

正常态模型

$h(\mathbf{k})=(-2t(\cos k_x+\cos k_y)-\mu)s_0+2\lambda_R(\sin k_xs_y-\sin k_ys_x)$

选择 Nambu 基矢

$\Psi_{\mathbf{k}} = \begin{pmatrix} c_{\mathbf{k}\uparrow} \\ c_{\mathbf{k}\downarrow} \\ c^\dagger_{-\mathbf{k}\uparrow} \\ c^\dagger_{-\mathbf{k}\downarrow} \end{pmatrix}\label{eq:basis}$

构建 BdG 哈密顿量

$H_{\text{BdG}}(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} h(\mathbf{k}) & \Delta(\mathbf{k}) \\ \Delta^\dagger(\mathbf{k}) & -h^T(-\mathbf{k}) \end{pmatrix}$

其中$h(\mathbf{k})$是正常态哈密顿量，$\Delta(\mathbf{k})$是配对矩阵($2\times 2$)。费米统计要求电子交换反对易

$\Delta(\mathbf{k}) = -\Delta^T(-\mathbf{k}),\qquad \langle c_{\mathbf{k}\sigma} c_{-\mathbf{k}\sigma'} \rangle = -\langle c_{-\mathbf{k}\sigma'} c_{\mathbf{k}\sigma} \rangle\label{eq:delta}$

配对矩阵的一般形式为

$\Delta(\mathbf{k}) = \left[\psi(\mathbf{k})\, i s_y + \mathbf{d}(\mathbf{k}) \cdot (i \mathbf{s} s_y) \right]$

其中$\psi(\mathbf{k})$是自旋单态分量，是一个标量；$\mathbf{d}(\mathbf{k}) = (d_x, d_y, d_z)$是自旋三重态配对的$\boldsymbol{d}$矢量，$is_y$保证自旋部分是反对称的。根据方程$\eqref{eq:delta}$，对于自旋单重态有

$\psi(\mathbf{k}) i s_y = -\psi(-\mathbf{k}) i s_y \Rightarrow \psi(\mathbf{k}) = \psi(-\mathbf{k})$

自旋单态的空间部分是偶函数；对Å于自旋三重态

$\begin{aligned} &\mathbf{d}(\mathbf{k}) \cdot (i\mathbf{s}s_y) = + \mathbf{d}(-\mathbf{k}) \cdot (i\mathbf{s}s_y) \Rightarrow \mathbf{d}(\mathbf{k}) = -\mathbf{d}(-\mathbf{k})\\ \end{aligned}$

因此三重态配对的空间部分是奇函数。

显式的将单重态与三重态都写出来

$\begin{aligned} &\Delta_{\text{singlet}}(\mathbf{k}) = \psi(\mathbf{k}) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\\ &\Delta_{\text{triplet}}(\mathbf{k}) = \mathbf{d}(\mathbf{k})\cdot (i\mathbf{s}s_y) = d_x(i s_x s_y) + d_y(i s_y s_y) + d_z(i s_z s_y)= - d_x s_z + i d_y \, \mathbf{1} + d_z s_x\\ &\qquad\qquad\quad = \begin{pmatrix} -d_x + i d_y & d_z \\ d_z & d_x + i d_y \end{pmatrix} \end{aligned}$

将其在基矢$\eqref{eq:basis}$下显式写出来，首先记

$h(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} \xi_{\mathbf{k}\uparrow} & \gamma_{\mathbf{k}} \\ \gamma_{\mathbf{k}}^* & \xi_{\mathbf{k}\downarrow} \end{pmatrix}, \quad \Delta(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} \Delta_{\uparrow\uparrow}(\mathbf{k}) & \Delta_{\uparrow\downarrow}(\mathbf{k}) \\ \Delta_{\downarrow\uparrow}(\mathbf{k}) & \Delta_{\downarrow\downarrow}(\mathbf{k}) \end{pmatrix}.$

那么完整的BdG 哈密顿量为

$H_{\text{BdG}}(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} h(\mathbf{k}) & \Delta(\mathbf{k}) \\ \Delta^\dagger(\mathbf{k}) & -h^T(-\mathbf{k}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi_{\mathbf{k}\uparrow} & \gamma_{\mathbf{k}} & \Delta_{\uparrow\uparrow} & \Delta_{\uparrow\downarrow} \\ \gamma_{\mathbf{k}}^* & \xi_{\mathbf{k}\downarrow} & \Delta_{\downarrow\uparrow} & \Delta_{\downarrow\downarrow} \\ \Delta_{\uparrow\uparrow}^* & \Delta_{\downarrow\uparrow}^* & -\xi_{-\mathbf{k}\uparrow} & -\gamma_{-\mathbf{k}}^* \\ \Delta_{\uparrow\downarrow}^* & \Delta_{\downarrow\downarrow}^* & -\gamma_{-\mathbf{k}} & -\xi_{-\mathbf{k}\downarrow} \end{pmatrix}.$

对于自旋单重态$\Delta_{\rm signlet}(\mathbf{k})$则有

$\Delta_{\uparrow\uparrow} = 0,\quad \Delta_{\downarrow\downarrow} = 0,\quad \Delta_{\uparrow\downarrow} = \psi(\mathbf{k}),\quad \Delta_{\downarrow\uparrow} = -\psi(\mathbf{k}).$

因此$4\times 4$的 BdG 哈密顿量为

$\boxed{ H_{\text{BdG}}^{(\text{singlet})}(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} \xi_{\mathbf{k}\uparrow} & \gamma_{\mathbf{k}} & 0 & \psi(\mathbf{k}) \\ \gamma_{\mathbf{k}}^* & \xi_{\mathbf{k}\downarrow} & -\psi(\mathbf{k}) & 0 \\ 0 & -\psi^*(\mathbf{k}) & -\xi_{-\mathbf{k}\uparrow} & -\gamma_{-\mathbf{k}}^* \\ \psi^*(\mathbf{k}) & 0 & -\gamma_{-\mathbf{k}} & -\xi_{-\mathbf{k}\downarrow} \end{pmatrix}. }$

$s$波:$\qquad\psi(\mathbf{k}) = \Delta_0$

$d$波: $\qquad \psi(\mathbf{k}) = \Delta_0(\cos k_x - \cos k_y)$

对于自旋三重态配对$\Delta_{\rm triplet}(\mathbf{k})$有

$\Delta_{\uparrow\uparrow} = -d_x + i d_y,\quad \Delta_{\downarrow\downarrow} = d_x + i d_y,\quad \Delta_{\uparrow\downarrow} = \Delta_{\downarrow\uparrow} = d_z.$

得到$4\times 4$的 BdG 哈密顿量为

$\boxed{ H_{\text{BdG}}^{(\text{triplet})}(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} \xi_{\mathbf{k}\uparrow} & \gamma_{\mathbf{k}} & -d_x + i d_y & d_z \\ \gamma_{\mathbf{k}}^* & \xi_{\mathbf{k}\downarrow} & d_z & d_x + i d_y \\ (-d_x - i d_y)^* & d_z^* & -\xi_{-\mathbf{k}\uparrow} & -\gamma_{-\mathbf{k}}^* \\ d_z^* & (d_x - i d_y)^* & -\gamma_{-\mathbf{k}} & -\xi_{-\mathbf{k}\downarrow} \end{pmatrix}. }$

考虑$\mathbf{d}$矢量为

$\mathbf{d}(\mathbf{k}) = \Delta_0(\sin k_x,\, \sin k_y,\, 0)$

空间部分是奇宇称，自旋三重态矩阵为

$\Delta(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} -\sin k_x + i\sin k_y & 0 \\ 0 & \sin k_x + i\sin k_y \end{pmatrix} \Delta_0.$

即

$\boxed{ \Delta_{\uparrow\uparrow} = -\Delta_0(\sin k_x - i\sin k_y), \quad \Delta_{\downarrow\downarrow} = \Delta_0(\sin k_x + i\sin k_y), \quad \Delta_{\uparrow\downarrow} = \Delta_{\downarrow\uparrow}=0. }$

此时自旋向上配对与自旋向下配对具有相反的手性$p_x\pm ip_y$配对，这也就是所谓的螺旋三重态(helical triplet)，两种手性互为时间反演。这种配对的总自旋为$S=\pm1(\uparrow\uparrow,\downarrow\downarrow)$，轨道角动量$L_z=\pm1$。

考虑$\mathbf{d}$矢量只有$z$分量

$\mathbf{d}(\mathbf{k}) = \hat{z}\,\Delta_0(\sin k_x + i\sin k_y)$

此时三重态配对矩阵为

$\Delta(\mathbf{k}) = d_z(i s_z s_y) = \Delta_0(\sin k_x + i\sin k_y) s_x = \Delta_0(\sin k_x + i\sin k_y) \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$

即

$\boxed{ \Delta_{\uparrow\uparrow} = \Delta_{\downarrow\downarrow} = 0,\quad \Delta_{\uparrow\downarrow} = \Delta_{\downarrow\uparrow} = \Delta_0{\color{blue}(\sin k_x + i\sin k_y)}. }$

该配对的总自旋$S=0(\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow)$，轨道角动量$L_z=1$。这种配对自旋沿$\hat{z}$方向，而$\textcolor{blue}{轨道部分}$包含复数相位，在自旋通道中是具有单一手性的$p+ip$配对。在低能展开下

$\Delta(\mathbf{k}) \propto k_x + i k_y = k e^{i\theta_{\mathbf{k}}}.$

其模长只依赖于$|\mathbf{k}|$，而相位随着$\theta$旋转一圈也绕一周，具有确定的轨道角动量$L_z=1$。

矩阵表示

接下来将上面的矩阵表示用 Pauli 矩阵直积写出来，因为正常态部分的构建比较直接，这里就给出配对部分的构建过程。

自旋单重态

首先考虑自旋单重态配对

这里现假设了$ \Delta(\mathbf{k})$都是实数，只包含配对的结构因子。将配对部分单独拿出来

$H_\Delta = \begin{pmatrix} 0 & \Delta(\mathbf{k}) i s_y \\ -\Delta(\mathbf{k}) i s_y & 0 \end{pmatrix}$

这种$2\times 2$的块结构是写在 Nambu 基矢下面的$\Psi_{\mathbf{k}}=(C_{\mathbf{k}},C^\dagger_{-\mathbf{k}})$，其中$C_{\mathbf{k}}=(c_{\mathbf{k}\uparrow},c_{\mathbf{k}\downarrow})$。通过上式可以看到在 Nambu 自由度中给出的因子为

$\tilde{H}_\Delta = \begin{pmatrix} 0 & \Delta(\mathbf{k}) i \\ -\Delta(\mathbf{k}) i & 0 \end{pmatrix}=-\Delta(\mathbf{k})\tau_y$

因此在基矢$\eqref{eq:basis}$下自旋单重态配对表示为

$H_\Delta = \begin{pmatrix} 0 & \Delta(\mathbf{k}) i s_y \\ -\Delta(\mathbf{k}) i s_y & 0 \end{pmatrix}=-\Delta(\mathbf{k})\tau_ys_y$

自旋三重态

对于 helical 自旋三重$
\mathbf{d}(\mathbf{k}) = \Delta_0 \big(\sin k_x,\; \sin k_y,\; 0\big),\Delta_0 \in \mathbb{R}$，配对矩阵$\Delta(\mathbf{k}) = \mathbf{d}(\mathbf{k})\cdot (i \mathbf{s}s_y).$表示为

$\begin{aligned} &\Delta(\mathbf{k}) = -d_x s_z + i d_y s_0 = -\Delta_0 \sin k_x s_z + i \Delta_0 \sin k_y s_0.\\ &\Delta^\dagger(\mathbf{k}) = -\Delta_0 \sin k_x\, s_z - i \Delta_0 \sin k_y\, s_0. \end{aligned}$

单独考虑配对部分

$H_\Delta(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} 0 & \Delta_{\rm triplet}(\mathbf{k})\\ \Delta_{\rm triplet}^\dagger(\mathbf{k}) & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&-\Delta_0 \sin k_x s_z + i \Delta_0 \sin k_y s_0\\ -\Delta_0 \sin k_x\, s_z - i \Delta_0 \sin k_y\, s_0&0 \end{pmatrix}$

与前面单重态的分析方法一样，将配对写在 Nambu 基矢下面的$\Psi_{\mathbf{k}}=(C_{\mathbf{k}},C^\dagger_{-\mathbf{k}})$

$H_\Delta(\mathbf{k}) =\begin{pmatrix} 0&-\Delta_0 \sin k_x + i \Delta_0 \sin k_y\\ -\Delta_0 \sin k_x - i \Delta_0 \sin k_y&0 \end{pmatrix}=-\Delta_0\sin k_x\tau_x-\Delta_0\sin k_y\tau_y$

因此在基矢$\eqref{eq:basis}$下三重态配对则表示为

$H_\Delta(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} 0 & \Delta_{\rm triplet}(\mathbf{k})\\ \Delta_{\rm triplet}^\dagger(\mathbf{k}) & 0 \end{pmatrix}=-\Delta_0\sin k_x\tau_xs_z-\Delta_0\sin k_y\tau_ys_0$

再结合正常态哈密顿量，最后可以得到一个考虑单重态与三重态配对的 BdG 哈密顿量

$\begin{aligned} H_{\rm BdG}&=(-2t(\cos k_x+\cos k_y)-\mu)\tau_z+2\lambda_R(\sin k_xs_y\tau_z-\sin k_ys_x)+2J_0(\cos k_x-\cos k_y)s_z\tau_z+\Delta_d(\mathbf{k})s_y\tau_y\\ &{\color{red}+2\Delta_p(\sin k_x\tau_xs_z+\sin k_y\tau_y)} \end{aligned}$

如果只考虑自旋三重态配对

$\begin{aligned} H_{\rm BdG}&=(-2t(\cos k_x+\cos k_y)-\mu)\tau_z+2\lambda_R(\sin k_xs_y\tau_z-\sin k_ys_x)+2J_0(\cos k_x-\cos k_y)s_z\tau_z\\ &\qquad {\color{red}+2\Delta_p(\sin k_x\tau_xs_z+\sin k_y\tau_y)} \end{aligned}\label{eq:bdg1}$