磁力显微镜(MFM )探测 Meissner 效应

超导体在 $T<T_c$ 时，不仅电阻为零，而且会将外磁场从体内排斥出去，这就是 Meissner 效应。其本质不是“理想导体冻结原有磁通”，而是超导态建立后，样品表面自动产生屏蔽超电流，用来抵消外磁场在体内的渗入。

根据 London 理论，超电流满足

$\nabla \times \mathbf J_s=-\frac{n_s e^2}{m}\mathbf B,$

结合 Maxwell 方程

$\nabla \times \mathbf B=\mu_0 \mathbf J_s,$

可得

$\nabla^2 \mathbf B=\frac{\mathbf B}{\lambda^2},$

其中

$\lambda=\sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_s e^2}}$

称为 London 穿透深度。它表明磁场并不是在表面处突然变成零，而是向超导体内部按指数方式衰减。对于半无限超导体，若表面法向取 $z$ 方向，则有

$B(z)=B_0 e^{-z/\lambda}.$

所以，Meissner 效应可以理解为：磁场只能进入表面附近厚度约为 $\lambda$ 的一层区域。

磁力显微镜(MFM)的探针尖端带有磁矩$\mathbf m$。当探针靠近样品表面时，样品在探针位置产生的磁场 $\mathbf B(\mathbf r)$ 会与探针耦合，其相互作用为

$U=-\mathbf m\cdot \mathbf B.$

因此探针受到的磁力为

$\mathbf F=-\nabla U=\nabla(\mathbf m\cdot \mathbf B).$

若只关心垂直于表面的 $z$ 分量，并且探针磁矩主要沿 $z$ 方向，则近似写成

$F_z \approx m_z \frac{\partial B_z}{\partial z}.$

这说明 MFM 不是直接测$B_z$，而是对磁场梯度敏感。实验中，MFM 常采用动态模式：悬臂梁以本征频率 $f_0$ 附近振动。磁力梯度会改变悬臂梁的有效回复力常数，导致频率偏移

$\Delta f=-\frac{f_0}{2k}\frac{\partial F_z}{\partial z},$

其中$k$ 是悬臂梁弹簧常数。再代入上式可知，MFM 实际记录的是与

$\frac{\partial F_z}{\partial z}$

有关的量，也就是与更高阶的磁场空间变化有关。

当磁性探针靠近普通样品时，探针只感受到样品原有磁场或弱的磁响应；但当探针靠近超导体时，探针尖端产生的局域磁场会试图进入样品，而超导体由于Meissner 效应会排斥这部分磁通，于是在表面产生屏蔽超电流。这个屏蔽电流又会产生一个反向磁场反馈到探针上，于是探针受到的磁力发生改变。

若样品处于纯 Meissner 态，没有磁通涡旋进入，那么 MFM 主要看到的是较平滑的抗磁背景，它反映的是表面屏蔽响应的空间分布。若样品是二类超导体，并且外场超过下临界场$H_{c1}$，则磁通会以涡旋形式进入样品。此时 MFM 图像中常出现离散的局域亮斑或暗斑，对应的是 vortex 的漏磁场，而不再只是均匀的 Meissner 屏蔽背景。

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