交错磁体中电流与自旋流的关系

考虑两个由对称性联系的凝聚体，记为$+$和$-$，假设它们具有相同的运动速度，那么对应的电流为

$$\mathbf j_{+}=\hat\rho_{+}\mathbf v,\qquad \mathbf j_{-}=\hat\rho_{-}\mathbf v,$$

其中$\hat{\rho}_{\pm}$是张量，定义电荷流于自旋流为

$$\mathbf j^{e}=\frac{\mathbf j_{+}+\mathbf j_{-}}{2},\qquad \mathbf j^{s}=\frac{\mathbf j_{+}-\mathbf j_{-}}{2}.$$

即

$$\mathbf j^{e}=\hat\rho_{e}\mathbf v,\qquad \mathbf j^{s}=\hat\rho_{s}\mathbf v,$$

其中

$$\hat\rho_{e}=\frac{\hat\rho_{+}+\hat\rho_{-}}{2},\qquad \hat\rho_{s}=\frac{\hat\rho_{+}-\hat\rho_{-}}{2}.$$

对于理想的交错磁体，两种自旋的响应不是相同的或者整体平移，它们是各项异性且互补的。在二维体系中，这种约束关系表示为

$$\hat\rho_{+}= \begin{pmatrix} \rho_x & 0\\ 0 & \rho_y \end{pmatrix},\qquad \hat\rho_{-}= \begin{pmatrix} \rho_y & 0\\ 0 & \rho_x \end{pmatrix}.$$

也就是说一种凝聚体偏向$x$，另外一种偏向$y$方向。定义

$$\rho_0=\frac{\rho_x+\rho_y}{2},\qquad \rho_\eta=\frac{\rho_x-\rho_y}{2},$$

可以得到

$$\hat\rho_{+}=\rho_0\mathbb 1+\rho_\eta \tau^z,\qquad \hat\rho_{-}=\rho_0\mathbb 1-\rho_\eta \tau^z,$$

对于电荷流与自旋流

$$\hat\rho_e =\frac{\hat\rho_++\hat\rho_-}{2} =\rho_0\mathbb 1,\qquad \hat\rho_s =\frac{\hat\rho_+-\hat\rho_-}{2} =\rho_\eta\tau^z.$$

从而有

$$\mathbf j^e=\rho_0\mathbf v, \qquad \mathbf j^s=\rho_\eta\tau^z\mathbf v.$$

消去速度$\mathbf{v}$得到

$$\mathbf j^s=\frac{\rho_\eta}{\rho_0}\tau^z\mathbf j^e .$$

将电荷流与自旋流写成分量形式

$$\mathbf j^e=(j_x,j_y),\qquad \mathbf j^s =\frac{\rho_\eta}{\rho_0}(j_x,-j_y).$$

所以电荷流$\mathbf{j}_e$并不是自旋流$\mathbf{j}_s$的标量倍数，而是对其作了一个各向异性的变换，其中$x$分量保持不变，而$y$分量反号，因此这两种流通常并不共线。

• 若$\mathbf j^e\parallel \hat x$

$$\mathbf j^e=(j,0) \quad\Rightarrow\quad \mathbf j^s\propto (j,0),$$

此时电荷流的方向与自旋流的方向相同。

• 若$\mathbf j^e\parallel \hat y$

$$\mathbf j^e=(0,j) \quad\Rightarrow\quad \mathbf j^s\propto (0,-j),$$

电荷流与自旋流的方向相反。

• 若$\mathbf j^e\parallel (1,1)$

$$\mathbf j^e=(j,j) \quad\Rightarrow\quad \mathbf j^s\propto (j,-j),$$

电荷流于自旋流的方向垂直。

对于更一般的情形，假设相对于主轴旋转了$\theta$角，从而得到

$$\hat\rho_s=\rho_\eta\,T(\theta), \qquad T(\theta)=R(\theta)\tau^z R^{-1}(\theta).$$

从而得到

$$\mathbf j^e=\rho_0\mathbf v,\qquad \mathbf j^s=\rho_\eta T(\theta)\mathbf v\qquad \Longrightarrow \qquad \mathbf j^s=\frac{\rho_\eta}{\rho_0}T(\theta)\mathbf j^e .$$

所以$\tau_z$只是最简单的情形；本质上电荷流于自旋流之间始终是一个各向异性张量关系，而不是简单的标量比例。

参考文献

Persistent Spin Currents in Superconducting Altermagnets

鉴于该网站分享的大都是学习笔记，作者水平有限，若发现有问题可以发邮件给我

• yxliphy@gmail.com

也非常欢迎喜欢分享的小伙伴投稿