二维与三维体系的Meissner效应

超导块体

假设Cooper对的电荷与质量分别为

$q^*=2e,\qquad m^*$

超流速断$\mathbf{v}_s$、矢势$\mathbf{A}$、相位$\theta$满足

$m^*\mathbf v_s+q^*\mathbf A=\hbar \nabla \theta .$

在无涡旋、单连通区域，可选规范使$\nabla\theta=0$，于是

$\mathbf v_s=-\frac{q^*}{m^*}\mathbf A .$

从而可以得到超流为

$\mathbf j_s=n_s q^*\mathbf v_s = -\frac{n_s q^{*2}}{m^*}\mathbf A \equiv -\frac{1}{\mu_0\lambda^2_L}\mathbf{A}\label{eq:n1}$

其中London穿透深度为

$\lambda_L^2=\frac{m^*}{\mu_0 n_s q^{*2}} .$

可以看到超流与矢势成正比，而比例系数由$\lambda_L$控制。对方程$\eqref{eq:n1}$取旋度并结合$\mathbf B=\nabla\times \mathbf A$得到第二London方程

$\nabla\times \mathbf j_s = -\frac{1}{\mu_0\lambda_L^2}\mathbf B .$

结合静态Maxwell方程

$\nabla\times \mathbf B=\mu_0 \mathbf j_s,\qquad \nabla\cdot \mathbf B=0,$

可得

$\nabla\times(\nabla\times \mathbf B) = \mu_0 \nabla\times \mathbf j_s = -\frac{1}{\lambda_L^2}\mathbf B .$

利用恒等式

$\nabla\times(\nabla\times \mathbf B) =\nabla(\nabla\cdot \mathbf B)-\nabla^2\mathbf B =-\nabla^2\mathbf B,$

最终得到London-Meissner方程

$\nabla^2\mathbf B=\frac{1}{\lambda_L^2}\mathbf B .\label{eq:n2}$

考虑半无限超导体占据$z>0$，外磁场平行于表面

$\mathbf B(z)=B_x(z)\,\hat{\mathbf x}.$

则方程$\eqref{eq:n2}$化简为

$\frac{d^2 B_x}{dz^2}=\frac{1}{\lambda_L^2}B_x .$

要求$z\rightarrow \infty$时磁场有限，只保留衰减解

$B_x(z)=B_x(0)e^{-z/\lambda_L}.$

根据安培定律得到表面附近的超流

$\mathbf j_s(z)=j_y(z)\,\hat{\mathbf y},\qquad j_y(z)=-\frac{1}{\mu_0}\frac{dB_x}{dz} =\frac{B_x(0)}{\mu_0\lambda_L}e^{-z/\lambda_L},$

可以看到超流是束缚在体系表面的，而且在$\lambda_L$尺度内指数衰减。对于块体超导，因为磁感应强度满足

$(\nabla^2-\lambda_L^{-2})\mathbf B=0,$

所以对于空间起伏波矢为$\mathbf{q}$的磁扰动，在超导体内的衰减长度大约是

$\ell_{3D}(q)\sim \frac{1}{\sqrt{q^2+\lambda_L^{-2}}}.$

即使对于$\mathbf{q}\to 0$的均匀情形，此时截断长度仍然是$\lambda_L$。因此块体超导体对于长波磁扰动也具有稳定的屏蔽能力。

超导薄膜

现在考虑超导薄膜，其厚度为$d$且满足

$d\ll \lambda_L .$

因为薄膜很薄，可以近似认为沿薄膜厚度方向上电流均匀分布，因此可以定义表面电流

$\mathbf K(\mathbf r)=\int_{-d/2}^{d/2}\mathbf j(\mathbf r,z)\,dz \approx {\color{blue}d}\times\mathbf j(\mathbf r,0).$

将三维的London关系

$\mathbf j=-\frac{1}{\mu_0\lambda_L^2}\mathbf A_\parallel$

沿厚度积分得到

$\mathbf K = -\frac{\color{blue}d}{\mu_0\lambda_L^2}\mathbf A_\parallel(\mathbf r,0).$

通常定义Pearl长度

$\Lambda=\frac{2\lambda_L^2}{d},$

从而得到面电流与矢势的关系

$\boxed{ \mathbf K = -\frac{2}{\mu_0\Lambda}\mathbf A_\parallel(\mathbf r,0) }$

这就是二维薄膜超导的London关系，由于$d\ll \lambda_L$，$\Lambda$往往远大于$\lambda_L$，甚至可以大很多个数量级。

在三维块体超导中，磁场主要进入“样品内部”呈指数衰减；但是在二维超导薄膜中，其实不存在一个很厚的内部可以使得磁场在其中以$e^{-z/\lambda_L}$衰减。所以对于薄膜来说，磁场大部分还是分布在样品上下方的真空或者介质中，而薄膜只是通过一个表面电流边界条件来影响外场。

BKT相变

对于超导薄膜或者说二维超导体，更本质的问题不单单是磁屏蔽与块体超导不同，而是序参量的相位$\theta$热涨落会破坏超导相干性。超导序参量可以表示为

$\Psi(\mathbf r)=|\Psi(\mathbf r)|e^{i\theta(\mathbf r)} .$

其中$|\Psi(\mathbf{r})|$表示配对幅值是否存在，$\theta(\mathbf{r})$表示超导相位是否具有刚性。在很多超导体系中，尤其是接近二维极限的时候，常见的情况是：配对幅值非零表明形成了Cooper对，但是相位$\theta$受到热涨落影响被破坏。也就是说二维情形常常不是“配对先消失”，而是“相位相干被热涨落破坏”。因此在低能下我们先冻结幅值，只保留相位自由度，Ginzburg-Landau自由能中的梯度项为

$F_{\rm grad}\sim \int d^2r\, \left|(-i\hbar\nabla-q^*\mathbf A)\Psi\right|^2$

忽略$|\Psi|$的空间变化之后得到

$F_\theta = \frac{J_s}{2}\int d^2r\, \left(\nabla\theta-\frac{q^*}{\hbar}\mathbf A\right)^2*$

这里的$J_s$就是二维超流刚度。如果先不考虑外磁场或者取$\mathbf{A}=0$，就得到了最常见的二维XY模型的自由能

$\boxed{ F_\theta=\frac{J_s}{2}\int d^2r\,(\nabla\theta)^2 }$

这就将二维超导与BKT相变建立了联系，在二维系统中，长波相位涨落比三维情形更强。直观上看，当相位$\theta(\mathbf{r})$在平面内慢慢转动，就能够在较大范围内积累相位涨落，从而削弱相位刚性。如果相位$\theta(\mathbf{r})$在空间中形成涡旋($n>0$)或者反涡旋($n<0$)

$\oint \nabla\theta\cdot d\mathbf l = 2\pi n.$

可以得到二维单个涡旋的能量为

$\begin{aligned} &\oint \nabla\theta\cdot d\mathbf l=2\pi, \qquad \theta(\mathbf r)=\varphi .\\ &E_v = \frac{J_s}{2}\int_{\xi}^{L}2\pi r\,dr\,\frac{1}{r^2} = \pi J_s\ln\frac{L}{\xi}+E_c. \end{aligned}$

其中$\xi$是短程截断，相当于涡旋芯的大小，$L$是系统尺度，$E_c$是涡旋芯的能量。所以单个二维涡旋的能量不是常数

$\boxed{ E_v \sim \pi J_s \ln(L/\xi) }$

而是满足对数发散。一个样品中大约可以放置$(L/\xi)^2$个涡旋，对应的熵为

$S_v \approx k_B\ln\left(\frac{L^2}{\xi^2}\right) = 2k_B\ln\frac{L}{\xi}.$

从而得到涡旋存在时体系的自由能为

$F_v=E_v-TS_v = \left(\pi J_s-2k_B T\right)\ln\frac{L}{\xi}+E_c.$

当温度$T$较低时，$\pi J_s>2k_B T$，从能量上讲出现单个涡旋的能量代价过大，因此不会出现大量的涡旋
当温度$T$升高到某个临界值附近$T_{BKT}$，产生涡旋对应的熵的收益要大于产生涡旋所需要的能量，因此体系的自由能是降低的，从而开始出现大量的涡旋

而临界温度满足关系

$k_B T_{BKT}\sim \frac{\pi}{2}J_s.$

更正确的则是Nelson-Kosterlitz关系

$\boxed{ J_s(T_{BKT}^-)=\frac{2}{\pi}k_B T_{BKT}. }$

因此

$T<T_{BKT}:J_s$有限，涡旋成对束缚
$T>T_{BKT}:J_s\to 0$，自由涡旋开始出现，破坏相位相干性

低温：涡旋-反涡旋束缚

低温下，自由涡旋太贵，所以只允许成对出现的涡旋-反涡旋对。由于一正一负绕转数相反，它们在远处的相位畸变会彼此抵消，因此总体代价有限。这一阶段体系仍有超流刚性，表现为超导态。严格地说，二维里不是通常意义下的真正长程序，而是 准长程序：相位关联按幂律衰减，而不是常数。

高温：涡旋-反涡旋解束缚

温度达到$T_{BKT}$以上，热涨落足以将涡旋-反涡旋束缚对拆开，自由涡旋充满体系。这些自由的涡旋会随机扭曲相位并迅速破坏宏观尺度上的相位刚度，从而使得超导态消失。

在二维超导体中，外加电流会驱动涡旋使其产生横向运动，而涡旋运动穿过样品对应于超导态的序参量相位发生变化进而产生电压。因此如果没有自由涡旋，耗散极小，电压趋近于零。如果存在自由涡旋，其运动会产生有限电压降。这说明通过$V(I)$关系可以反映BKT相变附近涡旋的运动。在BKT理论中，临界相变附近的电流电压关系不再满足普通欧姆定律，而是满足幂律形式

$V\propto I^{\alpha(T)}$

其中$\alpha(T)$是温度依赖的指数：