超导态自旋极化

超导是由Cooper对凝聚形成，如果Cooper对本省携带净自旋磁矩，那么超导态自身就会有非零的自旋极化。而对超导态自旋极化的讨论主要是关注配对态是否偏向某一个自旋方向；超导态是否具有自旋极化；该自旋极化与Cooper对的内部结构有什么关系。而讨论自旋极化通常也是出现在自旋三重态配对的超导体中，自旋单态超导体中通常是不存在这种净自旋极化。

自旋单重态配对的自旋波函数是反对称的

$\frac{1}{\sqrt 2}(\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow).$

它的总自旋$S=0$，因此单个Cooper对本身的自旋磁矩为零，所以普通的$s$波超导体或者许多偶宇称单重态超导体通常都不具有自旋极化。自旋三重态的总自旋为$S=1$，具有三个分量

$|1,1\rangle=\uparrow\uparrow,\qquad |1,0\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow),\qquad |1,-1\rangle=\downarrow\downarrow$

从自旋波函数的结构上就可以看到自旋三重态配对本身就有可能表现出”偏向某个自旋方向“的性质，然而要注意并不是所有的三重态都具有非零的自旋极化。三重态还可以分为：（1）幺正配对，净自旋极化为零；（2）非幺正配对，净自旋极化非零。

讨论自旋极化时最自然的语言就是配对函数中的$\mathbf{d}$矢量表示，三重态配对矩阵为

$\hat\Delta(\mathbf k)=i[\mathbf d(\mathbf k)\cdot\boldsymbol\sigma]\sigma_y .$

其中$\boldsymbol\sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$是作用在自旋自由度上的Pauli矩阵，$\mathbf d(\mathbf k)$是三重态配对矢量，$\hat\Delta(\mathbf k)$是自旋空间中的配对矩阵

$\hat\Delta(\mathbf k)= \begin{pmatrix} -d_x+id_y & d_z\\ d_z & d_x+id_y \end{pmatrix}.$

可以看到

$\Delta_{\uparrow\uparrow}\sim -d_x+id_y,\quad \Delta_{\downarrow\downarrow}\sim d_x+id_y,\quad \Delta_{\uparrow\downarrow}+\Delta_{\downarrow\uparrow}\sim d_z$

所以$\mathbf{d}$矢量就是对三重态各自旋分量的一种标记。对于配对矩阵有如下关系

$\hat\Delta\hat\Delta^\dagger = |\mathbf d|^2 \sigma_0 + i(\mathbf d\times \mathbf d^*)\cdot \boldsymbol\sigma .\label{eq:i1}$

第一项是与自旋无关的部分，第二项是自旋不对称部分。当第二项非零时就以为两个自旋投影方向的配对强度不等价，超导态具有非零的自旋极化。超导态的自旋极化公式为

$\mathbf S_{\rm pair} = \frac{1}{2}\,\mathrm{Tr}\!\left[(\hat\Delta\hat\Delta^\dagger)\,\boldsymbol\sigma\right]$

将方程$\eqref{eq:i1}$代入并结合

$\mathrm{Tr}(\sigma_i)=0,\qquad \mathrm{Tr}(\sigma_i\sigma_j)=2\delta_{ij}.$

从而得到超导态的自旋极化为

$\mathbf S_{\rm pair}\propto i\,\mathbf d\times \mathbf d^*.$

因此只要知道配对函数中的$\mathbf{d}$矢量，就能得到超导态的自旋极化。

幺正配对

对于幺正配对有

$i\,\mathbf d\times \mathbf d^*=0,$

此时

$\hat\Delta\hat\Delta^\dagger \propto \sigma_0,$

说明配对矩阵在自旋空间中没有偏向某一个方向的分量，因此在物理上就对应着没有净自旋极化。

非幺正配对

对于非幺正配对

$i\,\mathbf d\times \mathbf d^* \neq 0$

此时

$\hat\Delta\hat\Delta^\dagger = |\mathbf d|^2\sigma_0 + \mathbf M\cdot\boldsymbol\sigma, \qquad \mathbf M\propto i\,\mathbf d\times \mathbf d^*$

表明Cooper对存在一个自旋取向，这就是超导态的自旋极化。

自旋极化的起源

超导态的自旋极化与三重态分量之间的相对相位密切相关，假如$\mathbf{d}$是个实矢量，或者整体只差一个相位

$\mathbf d = e^{i\phi}\mathbf r,\qquad \mathbf r\in \mathbb R^3,$

则

$\mathbf d \parallel \mathbf d^*, \qquad \mathbf d\times \mathbf d^*=0.$

可以看到此时超导态没有自旋极化，所以想要实现$i\,\mathbf d\times \mathbf d^* \neq 0$就必须要让$\mathbf{d}$矢量的不同分量之间存在非平庸的相对相位差。也就是说超导态的自旋极化不仅是振幅非零即可，还需要复数结构。举个例子，考虑$\mathbf{d}$矢量为

$\mathbf d = \Delta(\hat x+i\hat y),\qquad \mathbf d^*=\Delta^*(\hat x-i\hat y),$

此时$\hat{x}$分量和$\hat{y}$分量之间相差$\pi/2$的相位，从而有

$i\,\mathbf d\times\mathbf d^* \propto \hat z.$

此时的自旋极化沿$\hat{z}$方向。在Ginzburg-Landau分析中，通常并不直接写三分量$\mathbf{d}$，而是考虑两个耦合的三重态分量

$\mathbf d = \Delta_1 \mathbf e_1 + \Delta_2 \mathbf e_2,$

其中$\mathbf e_1,\mathbf e_2$是两个实的正交基矢。此时

$i \mathbf d\times \mathbf d^* = i(\Delta_1\Delta_2^*-\Delta_2\Delta_1^*)\,\mathbf e_1\times \mathbf e_2.$

因此在两分量子空间中，自旋极化的标量幅值可以自然的表示为

$\boxed{ \Xi \propto i(\Delta_1\Delta_2^*-\Delta_2\Delta_1^*) }$

或者等价表示

$\Xi = 2\,\mathrm{Im}(\Delta_1\Delta_2^*).$

它说明

如果$\Delta_1$和$\Delta_2$同相或者反相则$\Xi=0$
如果$\Delta_1$和$\Delta_2$相差$\pm \pi/2$则$\Xi\neq 0$

因此，两分量三重态序参量的自旋极化本质上就是两个分量之间的相对手性。自旋极化超导通常与时间反演对称性破缺密切相关，但是二者并不能完全画上等号。因为在$i\,\mathbf d\times \mathbf d^*\neq 0$说明$\mathbf{d}$矢量是复数，通常意味着时间反演对称性破缺；但是在超导体中破缺时间反演还可能来自于轨道角动量等因素，它们并不一定表现非零的自旋极化。