拓扑绝缘体纳米线

三维拓扑绝缘体平面表面上的低能电子可由二维无质量 Dirac 哈密顿量描述。若局域表面法向为$\hat{\mathbf{n}}$，则表面态的标准形式可写成

$H_{\rm surf}=v_F\bigl[\hat{\mathbf n}\times \mathbf p\bigr]\cdot \boldsymbol{\sigma},\label{eq:l1}$

其中$\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$表示自旋自由度，$\mathbf p=-i\hbar \nabla$。对于圆柱面轴向$z$方向仍然是开边界，电子自由传播；沿周向$\phi$方向是封闭回路，因此该方向动量是量子化的。采用柱坐标系$(r,\phi,z)$，在圆柱表面$r=R$上取局域正交基矢

$\hat{\mathbf r}=(\cos\phi,\sin\phi,0),\qquad \hat{\boldsymbol\phi}=(-\sin\phi,\cos\phi,0),\qquad \hat{\mathbf z}=(0,0,1).$

圆柱表面的法向量为$\hat{\mathbf n}=\hat{\mathbf r}$，表面梯度算符为

$\nabla_{\rm surf} = \hat{\boldsymbol\phi}\frac{1}{R}\partial_\phi + \hat{\mathbf z}\partial_z.$

因此在圆柱面上，动量算符为

$\mathbf p_{\rm surf} = -i\hbar \left( \hat{\boldsymbol\phi}\frac{1}{R}\partial_\phi + \hat{\mathbf z}\partial_z \right).$

将表面态$\eqref{eq:l1}$表述在柱面坐标系中，首先计算叉乘

$\hat{\mathbf r}\times \hat{\boldsymbol\phi}=\hat{\mathbf z},\qquad \hat{\mathbf r}\times \hat{\mathbf z}=-\hat{\boldsymbol\phi}.$

从而得到

$\hat{\mathbf r}\times \mathbf p_{\rm surf} = -i\hbar\left( \hat{\mathbf z}\frac{1}{R}\partial_\phi - \hat{\boldsymbol\phi}\partial_z \right).$

代回方程$\eqref{eq:l1}$中

$H = -i\hbar v_F \left( \sigma_z\frac{1}{R}\partial_\phi - \sigma_\phi \partial_z \right), \tag{4.1}$

其中

$\sigma_\phi \equiv \hat{\boldsymbol\phi}\cdot \boldsymbol{\sigma} = -\sin\phi\,\sigma_x+\cos\phi\,\sigma_y.$

这里的$\sigma_{\phi}$显示依赖于$\phi$，说明电子沿着圆周方向移动时，自旋量子化轴也在旋转，这正是Berry相位出现的根源。为了消去$\sigma_{\phi}$对$\phi$的依赖，引入绕$z$轴的自旋旋转

$U(\phi)=e^{-i\phi\sigma_z/2}.\label{eq:l2}$

并定义新的波函数

$\tilde\psi(\phi,z)=U^\dagger(\phi)\psi(\phi,z).$

变换$\eqref{eq:l2}$将自旋基从固定基矢变换到了沿柱面切向共同转动的局域基矢，由旋转关系可以得到

$U^\dagger \sigma_\phi U=\sigma_y,\qquad U^\dagger \sigma_z U=\sigma_z.$

从而在新的基矢下，哈密顿量可以表示为常数矩阵的形式，其实也就是将Berry相位转移到了波函数的边界条件中。在新基矢下等效的哈密顿量为

$\tilde H_0 = -i\hbar v_F \left( -\sigma_y \partial_z + \sigma_z \frac{1}{R}\partial_\phi \right).$

此时哈密顿量的形式更简单，但是新基矢下的波函数满足的周期条件则发生了变换。

波函数边界条件

在柱面坐标系中，物理的波函数$\psi(\phi,z)$绕柱面一周必须是单值

$\psi(\phi+2\pi,z)=\psi(\phi,z).$

而幺正矩阵$\eqref{eq:l2}$满足

$U(\phi+2\pi)=e^{-i(\phi+2\pi)\sigma_z/2} = -e^{-i\phi\sigma_z/2} = -\,U(\phi)$

所以在新的基矢下波函数满足

$\tilde\psi(\phi+2\pi,z) = U^\dagger(\phi+2\pi)\psi(\phi+2\pi,z) = -\,U^\dagger(\phi)\psi(\phi,z) = -\tilde\psi(\phi,z).$

即

$\tilde\psi(\phi+2\pi）=-\tilde{\psi}(\phi)$

满足反周期边界条件。这说明电子围绕圆周一圈之后获得Berry相位为$\pi$，因此圆周方向波函数不是整数动量量子化，而是半整数量子化。

将本征态表示为分离变量形式

$\tilde\psi(\phi,z) = e^{ik_z z}e^{i\lambda \phi}\chi,$

其中$\chi$为两分量自旋部分。通过反周期边界条件可得

$e^{i\lambda(\phi+2\pi)}=-e^{i\lambda\phi}\longrightarrow e^{i2\pi\lambda}=-1,$

从而有

$\lambda = m+\frac12,\qquad m\in\mathbb Z.$

因此哈密顿量的本征值问题变为

$\tilde H_0 \to \hbar v_F \left( k_z\sigma_y + \frac{m+1/2}{R}\sigma_z \right).$

对应的能谱为

$E_m(k_z) = \pm \hbar v_F \sqrt{ k_z^2+\frac{1}{R^2}\left(m+\frac12\right)^2 }.$

从能谱上可以看到，表面二维Dirac锥被量子化成一系列一维子能带，最低自带不是从零开始，而是有半整数偏移。最低能量为

$E_{\min}=\frac{\hbar v_F}{2R},$

导带与价带之间的能隙为

$\Delta_{\rm fs}=\frac{\hbar v_F}{R}.$

磁场影响

考虑沿轴向施加磁场

$\mathbf B=B_\parallel \hat{\mathbf z}.$

对于表面电子，将会产生Aharonov-Bohm效应，因为电子围绕圆柱一周包围的磁通为

$\Phi =B_{\parallel}\pi R^2$

此时带来的AB相位为

$\phi_{\rm AB}=2\pi \frac{\Phi}{\Phi_0}, \qquad \Phi_0=\frac{h}{e}.$

波函数的边界条件从无磁场时的

$\tilde\psi(\phi+2\pi)=-\tilde\psi(\phi)$

变为

$\tilde\psi(\phi+2\pi) = -\,e^{i2\pi\Phi/\Phi_0}\tilde\psi(\phi).\label{eq:l3}$

其中前面的负号来自于Berry相位$\pi$，而指数因子则来自于AB相位。取波函数为

$\tilde\psi(\phi,z)=e^{ik_z z}e^{i\lambda\phi}\chi.$

代入边界条件$\eqref{eq:l3}$得到

$e^{i2\pi\lambda} = -\,e^{i2\pi\Phi/\Phi_0}.$

于是

$\lambda = m+\frac12-\frac{\Phi}{\Phi_0}, \qquad m\in\mathbb{Z}$

可以看到磁场不是简单的在能量上加入一个常数，而是把沿周向角动量量子化中心整体移动了$\Phi/\Phi_0$，将上式代入哈密顿量

$\tilde H(B) = \hbar v_F \left[ k_z \sigma_y + \frac{1}{R}\left( m+\frac12-\frac{\Phi}{\Phi_0} \right)\sigma_z \right].$

对应的能谱为

$E_m(k_z) = \pm \hbar v_F \sqrt{ k_z^2+ \frac{1}{R^2} \left( m+\frac12-\frac{\Phi}{\Phi_0} \right)^2 }.$

这就是柱面拓扑绝缘体表面态在轴向磁场下的一维子能带，可以看到每个子能带的最小值为

$E_m^{\min} = \hbar v_F \left| \frac{m+\frac12-\Phi/\Phi_0}{R} \right|.$

它会随着磁通$\Phi$沿能量方向上下移动，但是这种移动不是任意的，而是以$\Phi_0$为周期

$\Phi \to \Phi+\Phi_0 \quad\Longrightarrow\quad m+\frac12-\frac{\Phi}{\Phi_0} \to (m-1)+\frac12-\frac{\Phi}{\Phi_0}.$

也就是说增加一个磁通量子，只是将一维子能带的能带指标整体平移一个整数，能带回复原样。从而有

$E(\Phi+\Phi_0)=E(\Phi).$

当施加半个磁通量子时

$\Phi=\frac{\Phi_0}{2},\quad m+\frac12-\frac{\Phi}{\Phi_0}=m.$

某个子能带可以达到$E=0$，这意味零磁场时Berry相位$\pi$产生半整数周向量子化，半个磁通量子的AB相位正好抵消Berry相位；有限能隙关闭出现gapless模式。因此半磁通量子处是一个特殊的位置。

ClearAll["Global`*"]
R0 = 5;
f1[kx_, m_] := {Sqrt[
   kx^2 + 1/R0^2 (m + 1/2)], -Sqrt[kx^2 + 1/R0^2 (m + 1/2)]}
f2[kx_, m_, 
  n_] := {Sqrt[
   kx^2 + 1/R0^2 (m + 1/2 + n)], -Sqrt[kx^2 + 1/R0^2 (m + 1/2 + n)]}
Plot[Evaluate[#], {kx, -1, 1}] & /@ 
  Table[f1[kx, m0], {m0, 0, 10}] // Show
Plot[Evaluate[#], {kx, -1, 1}] & /@ 
  Table[f2[kx, m0, -0.5], {m0, 0, 10}] // Show