超导中的杂质效应

平均场BdG哈密顿量

在常规的、各向同性的单带$s$-wave 超导体里，一个非磁性点杂质通常不会在体能隙内产生真正的束缚态；而磁性杂质则可以产生著名的 Yu–Shiba–Rusinov (YSR) 态。这里就通过$T$矩阵方法学习一下背后的物理图像到底是怎么样的。我们从最简单的 BCS 平均场哈密顿量出发。取$\Delta$为实数，平均场哈密顿量为

$$H_0=\sum_{\mathbf k,\sigma}\xi_{\mathbf k} c^\dagger_{\mathbf k\sigma} c_{\mathbf k\sigma} +\sum_{\mathbf k}\left(\Delta\, c^\dagger_{\mathbf k\uparrow}c^\dagger_{-\mathbf k\downarrow} +\Delta\, c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\right),$$

其中$\xi_{\mathbf k}=\varepsilon_{\mathbf k}-\mu$，定义Nambu自旋量

$$\Psi_{\mathbf k}= \begin{pmatrix} c_{\mathbf k\uparrow}\\ c^\dagger_{-\mathbf k\downarrow} \end{pmatrix}.$$

在该基矢下可以将哈密顿量表示为

$$H_0=\sum_{\mathbf k}\Psi_{\mathbf k}^\dagger \bigl(\xi_{\mathbf k}\tau_3+\Delta \tau_1\bigr) \Psi_{\mathbf k} +\text{const.}$$

其中$\tau_i$就是Nambu表象中的Pauli矩阵。干净体系的推迟格林函数为

$$G_0^R(\mathbf k,\omega) = \bigl[\omega+i0^+-\xi_{\mathbf k}\tau_3-\Delta\tau_1\bigr]^{-1}.$$

将分母有理化得到

$$G_0^R(\mathbf k,\omega) = \frac{\omega+i0^+ + \xi_{\mathbf k}\tau_3+\Delta\tau_1} {(\omega+i0^+)^2-\xi_{\mathbf k}^2-\Delta^2}.$$

定义Bogoliubov准粒子能谱为$E_{\mathbf k}=\sqrt{\xi_{\mathbf k}^2+\Delta^2}$，推迟格林函数的分母可写作$(\omega+i0^+)^2-E_{\mathbf k}^2$。

$T$矩阵方法

现在考虑在体系中加入一个点状杂质

$$H=H_0+H_{\rm imp}.$$

对应的全格林函数满足Dyson方程

$$G=G_0+G_0 V G,$$

其中$V$是杂质势在Nambu空间中的矩阵，将上式迭代展开

$$G=G_0+G_0VG_0+G_0VG_0VG_0+\cdots.$$

这一串正是粒子在同一个杂质上反复散射的过程，定义$T$矩阵

$$T = V+VG_0V+VG_0VG_0V+\cdots,$$

可以将多重散射过程精确求和表示为

$$G=G_0+G_0 T G_0.$$

而$T$矩阵满足

$$T=V+VG_0T,$$

其形式解为

$$T=(1-VG_0)^{-1}V.$$

对于单个局域点杂质，$T$最后只依赖频率，与动量无关。

磁性杂质与非磁性杂质

假设杂质位于原点，对于非磁性杂质有

$$H_{\rm imp}^{\rm pot} = U\sum_\sigma c^\dagger_{0\sigma}c_{0\sigma}.$$

经典磁性杂质，取自旋沿$z$方向

$$H_{\rm imp}^{\rm mag} = JS\left(c^\dagger_{0\uparrow}c_{0\uparrow}-c^\dagger_{0\downarrow}c_{0\downarrow}\right).$$

现在将它们表示在Nambu基矢中。利用费米子反对易关系

$$c^\dagger_{0\downarrow}c_{0\downarrow} = 1-c_{0\downarrow}c^\dagger_{0\downarrow}.$$

得到非磁性散射势为

$$H_{\rm imp}^{\rm pot} = U\left(c^\dagger_{0\uparrow}c_{0\uparrow}+c^\dagger_{0\downarrow}c_{0\downarrow}\right) = U\,\Psi_0^\dagger \tau_3 \Psi_0+\text{const.}$$

因此在Nambu表象中

$$V_{\rm pot}=U\tau_3.$$

对于磁性杂质散射

$$H_{\rm imp}^{\rm mag} = JS\left(c^\dagger_{0\uparrow}c_{0\uparrow}-c^\dagger_{0\downarrow}c_{0\downarrow}\right) = JS\,\Psi_0^\dagger \tau_0 \Psi_0+\text{const.}$$

表示在Nambu表象中

$$V_{\rm mag}=JS\,\tau_0.$$

此时就可以看出磁性杂质与非磁性杂质的区别，在Nambu表象中非磁性杂质散射对应$\tau_3$而磁性杂质散射对应$\tau_0$，这一区别就决定了$T$矩阵在能隙内是否会出现极点。

单杂质散射

对于点状杂质，局域$T$矩阵为

$$T^R(\omega)=\bigl[1-V\,g_0^R(\omega)\bigr]^{-1}V,$$

其中局域干净格林函数定义为

$$g_0^R(\omega)=\sum_{\mathbf k}G_0^R(\mathbf k,\omega).\label{eq:f1}$$

真正的杂质束缚态，对应的是全格林函数或者$T$矩阵在实频率轴上出现极点，因此束缚态方程为

$$\det\bigl[1-V\,g_0^R(\omega)\bigr]=0.$$

因此，杂质能否产生束缚态的问题就归结为首先计算$g_0^R(\omega)$，研究不同的杂质势$V$看能否在$|\omega|<\Delta$内产生极点。首先来计算$\eqref{eq:f1}$，将动量求和改写为对能量的积分，并假设金属态在费米面附近的态密度近似为常数$N_0$

$$g_0^R(\omega) = N_0\int d\xi\, \frac{\omega\tau_0+\xi\tau_3+\Delta\tau_1} {(\omega+i0^+)^2-\xi^2-\Delta^2}.$$

因为被积函数中$\xi\tau_3$项关于$\xi$是个奇函数，因此在对称积分下结果为零，从而有

$$g_0^R(\omega) = N_0\int d\xi\, \frac{\omega\tau_0+\Delta\tau_1} {(\omega+i0^+)^2-\xi^2-\Delta^2}.$$

现在我们关注能隙之内的能量$|\omega|<\Delta$，定义$\Omega(\omega)=\sqrt{\Delta^2-\omega^2}>0$，可以将分母表示为

$$(\omega+i0^+)^2-\xi^2-\Delta^2 = -(\xi^2+\Omega^2),$$

所以积分变为

$$g_0^R(\omega) = -N_0(\omega\tau_0+\Delta\tau_1)\int d\xi\,\frac{1}{\xi^2+\Omega^2}.$$

在宽带近似下降积分上下扩展到无穷

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{\xi^2+\Omega^2} = \frac{\pi}{\Omega}.$$

从而得到标准的结果

$$g_0^R(\omega) = -\pi N_0\, \frac{\omega\tau_0+\Delta\tau_1}{\sqrt{\Delta^2-\omega^2}}, \qquad |\omega|<\Delta.\label{eq:f2}$$

考虑非磁性杂质

$$V=U\tau_3.$$

产生极点的条件为

$$\det\bigl[1-U\tau_3 g_0^R(\omega)\bigr]=0.$$

将方程$\eqref{eq:f2}$代入并定义$\alpha=\pi N_0 U,\Omega=\sqrt{\Delta^2-\omega^2}$从而有

$$1-U\tau_3 g_0^R(\omega) = 1+\frac{\alpha}{\Omega}\tau_3(\omega\tau_0+\Delta\tau_1).$$

结合Pauli矩阵关系$\tau_3\tau_0=\tau_3,
\tau_3\tau_1=i\tau_2$得到

$$M(\omega)\equiv 1-U\tau_3 g_0^R(\omega) = \tau_0+\frac{\alpha\omega}{\Omega}\tau_3+\frac{i\alpha\Delta}{\Omega}\tau_2.$$

这里的$M(\omega)$是一个$2\times2$的矩阵，对于任意形式

$$A=a_0\tau_0+a_1\tau_1+a_2\tau_2+a_3\tau_3$$

都有

$$\det A=a_0^2-a_1^2-a_2^2-a_3^2.$$

从而得到

$$\det M = 1+\frac{\alpha^2\Delta^2}{\Omega^2}-\frac{\alpha^2\omega^2}{\Omega^2} = 1+\frac{\alpha^2(\Delta^2-\omega^2)}{\Omega^2}.$$

结合$\Omega^2=\Delta^2-\omega^2$最终得到

$$\det\bigl[1-U\tau_3 g_0^R(\omega)\bigr] = 1+\alpha^2 = 1+(\pi N_0 U)^2.$$

可以看到这个结果与$\omega$无关且始终大于零，因此在$|\omega|<\Delta$之内

$$\det\bigl[1-U\tau_3 g_0^R(\omega)\bigr]\neq 0.$$

也就是说$T$矩阵不存在极点，因此全格林函数也就不存在由这个点杂质产生的束缚态。

单个非磁性点杂质在常规均匀$s$波超导中不产生真正的能隙内束缚态，这反映的是常规 sss-wave 配对对非磁性散射的鲁棒性。常规$s$波超导体配对是各向同性的，在整个费米面上都不存在符号变化。非磁性杂质只是在轨道部分散射电子，不翻转自旋，也不直接破坏 singlet 配对的内部结构。于是它虽然会改变准粒子的相位、寿命和局域波函数，但不会像磁性杂质那样在 gap 内拉出一根真正的极点。

对于磁性杂质，在Nambu表象下有

$$V=JS\,\tau_0.$$

定义$\beta=\pi N_0 JS$，极点出现条件为

$$\det\bigl[1-JS\,g_0^R(\omega)\bigr]=0.$$

代入方程$\eqref{eq:f2}$得到

$$1-JS\,g_0^R(\omega) = \tau_0+\frac{\beta}{\Omega}(\omega\tau_0+\Delta\tau_1).$$

改写为

$$M_{\rm mag}(\omega) = \left(1+\frac{\beta\omega}{\Omega}\right)\tau_0 + \frac{\beta\Delta}{\Omega}\tau_1.$$

其行列式为

$$\det M_{\rm mag} = \left(1+\frac{\beta\omega}{\Omega}\right)^2 - \left(\frac{\beta\Delta}{\Omega}\right)^2.$$

令行列式为零可得

$$\left(1+\frac{\beta\omega}{\Omega}\right)^2 = \left(\frac{\beta\Delta}{\Omega}\right)^2.$$

将上式展开并结合$\Omega^2=\Delta^2-\omega^2$进行化简

$$1+\frac{2\beta\omega}{\Omega} +\frac{\beta^2(\omega^2-\Delta^2)}{\Omega^2}=0\qquad \Longrightarrow\qquad 1+\frac{2\beta\omega}{\Omega}-\beta^2=0.$$

平方之后求解$\omega$可得

$$\omega_{\rm YSR} = \pm \Delta\, \frac{1-\beta^2}{1+\beta^2}, \qquad \beta=\pi N_0 JS.$$

这说明磁性杂质可以在$|\omega|<\Delta$内产生极点，也就是Yu–Shiba–Rusinov (YSR) 态。

常规$s$波超导体中，单个非磁性点杂质通常不会在能隙内产生束缚态，而磁性杂质则可以在能隙内产生YSR态。

鉴于该网站分享的大都是学习笔记，作者水平有限，若发现有问题可以发邮件给我

• yxliphy@gmail.com

也非常欢迎喜欢分享的小伙伴投稿