Aharonov–Bohm 效应

设有一个金属小环，磁场被约束在环中心区域，电子主要沿环的臂传播。虽然电子实际运动的区域中可以几乎没有磁场，但只要环包围了一个总磁通$\Phi$，电子波函数就会获得额外相位，于是各种观测量随$\Phi$呈现周期震荡。这是是量子力学效应，源于波函数对矢势$\mathbf{A}$的依赖。外加磁场后电子的最小耦合哈密顿量为

$H=\frac{1}{2m}\left(\mathbf p+e\mathbf A\right)^2+V(\mathbf r)$

其中电子电荷为$-e$，AB效应表明即使磁场$\mathbf B=\nabla\times \mathbf A$在电子运动路径上为零，但矢势$\mathbf{A}$仍然会通过波函数相位进入可观测量。首先来看最一般的传播相位，考虑电子从一点沿路径$\mathcal C$运动到另外一点，除了普通的动力学相位之外，还会获取额外的规范相位

$\phi_A=\frac{q}{\hbar}\int_{\mathcal C}\mathbf A\cdot d\mathbf l.$

对于电子$q=-e$则有

$\phi_A=-\frac{e}{\hbar}\int_{\mathcal C}\mathbf A\cdot d\mathbf l.$

假设电子沿两条路径$\mathcal C_1,\mathcal C_2$从相同的出发点到达相同的终点，比如金属圆环的上下臂，那么两条路径的相位差与它们包含的磁通有关

$\Delta\phi_A = -\frac{e}{\hbar}\left(\int_{\mathcal C_1}\mathbf A\cdot d\mathbf l-\int_{\mathcal C_2}\mathbf A\cdot d\mathbf l\right).$

因为考虑的是一个闭合路径，相位差可以表示为

$\Delta\phi_A =-\frac{e}{h}\oint\mathbf{A}\cdot d\mathbf l$

结合Stock定理

$\oint \mathbf A\cdot d\mathbf l=\Phi,$

从而得到闭合路径的相位差与通过闭合区域的磁通$\Phi$有关

$\Delta\phi_A=-\frac{e}{\hbar}\Phi.$

定义单电子的磁通量子为$\Phi_0=h/e$，从而有

$\Delta\phi_A=-2\pi\frac{\Phi}{\Phi_0}.$

可以看到只要两条路径上运动的电子保持相干，那么相位差就会以$h/e$为周期震荡。假设电子从左电极注入金属环，可以走上臂或者下臂，设两条路径的投射振幅分别为

$t_u=|t_u|e^{i\phi_u},\qquad t_d=|t_d|e^{i\phi_d}.$

总的投射振幅为$t=t_u+t_d$，投射概率为

$T=|t|^2 =|t_u|^2+|t_d|^2+2|t_u||t_d|\cos(\phi_u-\phi_d).$

两条路径的相位差为

$\phi_u-\phi_d=\delta_0+2\pi\frac{\Phi}{\Phi_0},$

其中的$\delta_0$包含了两臂长度差、散射相移等与磁通无关的共线，因此透射率可以表示为

$T(\Phi)=T_0+\delta T\cos\left(2\pi\frac{\Phi}{\Phi_0}+\delta_0\right).$

有Landauer公式可得电导率与透射率之间满足

$G=\frac{e^2}{h}T,$

从而得到电导率随磁通的变化为

$G(\Phi)=G_0+\delta G\cos\left(2\pi\frac{\Phi}{\Phi_0}+\delta_0\right).$

因此在实验上可以通过改变磁场强度测量电导率，震荡周期为$h/e$。

一维理想金属圆环

考虑半径为$R$的理想圆环，电子沿圆周方向运动，用角向$\theta\in [0,2\pi)$描述。圆环中心穿过的磁通为$\Phi$，取矢势规范为

$A_\theta=\frac{\Phi}{2\pi R}.$

电子沿圆周运动积累的相位为

$\oint \mathbf A\cdot d\mathbf l=\int_{0}^{2\pi}A_{\theta}Rd\theta=\Phi$

沿圆周方向的动量算符为

$p_\theta=-i\hbar\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial\theta}.$

体系的哈密顿量写作

$H=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial\theta}+eA_\theta\right)^2= \frac{1}{2mR^2} \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{e\Phi}{2\pi}\right)^2.$

因为圆环是闭合的，物理的波函数必须满足单值性

$\psi(\theta+2\pi)=\psi(\theta).$

因此本征函数取为

$\psi_n(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{in\theta},\qquad n\in\mathbb Z.$

代入薛定谔方程

$-i\frac{\partial}{\partial\theta}\psi_n=n\psi_n,$

从而得到能谱

$E_n(\Phi)= \frac{1}{2mR^2} \left(\hbar n+\frac{e\Phi}{2\pi}\right)^2.$

将$\Phi_0=\frac{h}{e}=\frac{2\pi\hbar}{e}$代入得到

$E_n(\Phi)= \frac{\hbar^2}{2mR^2}\left(n-\frac{\Phi}{\Phi_0}\right)^2$

对于$\Phi=0$可以看到能级$n,-n$是简并的；当$\Phi\neq 0$时抛物线相对于$\Phi=0$发生平移，且$+n,-n$的简并被打破。更重要的是

$E_n(\Phi+\Phi_0) = \frac{\hbar^2}{2mR^2} \left(n-1-\frac{\Phi}{\Phi_0}\right)^2 = E_{n-1}(\Phi).$