Landau 能级、SdH 振荡与 Onsager 关系

Landau能级与SdH振荡

考虑二维自由电子气，施加沿$\hat{z}$方向的磁场$\mathbf B=B\hat z$，哈密顿量为

$H=\frac{1}{2m}(\mathbf p+e\mathbf A)^2.$

选择Landau规范$\mathbf A=(0,Bx,0)$之后可以将哈密顿量表示为

$H=\frac{1}{2m}\left[p_x^2+(p_y+eBx)^2\right].$

由于$y$方向具有平移对称性，所以$p_y$还是一个好量子数，从而可以将哈密顿量写作

$H=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{1}{2m}(\hbar k_y+eBx)^2$

将括号中的项写为谐振子形式

$\hbar k_y+eBx=eB(x+x_0),\qquad x_0=\frac{\hbar k_y}{eB}$

从而得到

$H=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_c^2(x+x_0)^2,\qquad \omega_c=\frac{eB}{m}$

这是一个一维谐振子，本征能级为

${E_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right)},\qquad n=0,1,2,\dots$

这就是Landau能级。对于每一个$k_y$都对应一个轨道中心

$x_0=\hbar k_y/(eB)$

要求轨道中心必须落在样品长度$L_x$范围之内，因此动量$k_y$可允许的数目是有限的。假设样品面积为$S=L_x\times L_y$，在周期边界条件下有

$k_y=\frac{2\pi m}{L_y}.$

而相邻两个轨道之间的中心距离为

$\Delta x_0=\frac{\hbar}{eB}\Delta k_y =\frac{\hbar}{eB}\frac{2\pi}{L_y}.$

因此对于一个Landau能级，可以容纳的量子态的数目就是长度$L_x$除以轨道中心距离

$N_B=\frac{L_x}{\Delta x_0} =\frac{eBS}{h}.$

再除以样品面积就能得到单位面积内的简并度为

$\boxed{\frac{N_B}{S}=\frac{eB}{h}}.$

可以发现这个量只与磁场$B$有关，其余的量都是基本单位。因此外加磁场越大，那么一个Landau能级上所能容量的量子态的数目就越多。在零磁场下二维自由电子气的态密度为常数

$D_0(E)=\frac{m}{\pi\hbar^2}.$

加入磁场之后能谱离散化，态密度变为

$D(E)=\frac{eB}{h}\sum_{n=0}^{\infty}\delta\!\left(E-\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right)\right).$

此时的态密度不再是平滑的，而是一系列以$\hbar \omega_c$为间隔的峰，因此费米能级附近的态密度$D(E_F)$将会随着磁场变化而产生起伏。考虑最简单的情形，Landau能级穿过费米能的条件为

$E_F=\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right) =\hbar\frac{eB_n}{m}\left(n+\frac12\right).$

反解得到

$\frac{1}{B_n} = \frac{e\hbar}{mE_F}\left(n+\frac12\right).$

可以看到外加磁场的倒数$1/B_n$与Landau能级$n$成正比，也就是说固定化学势之后，通过改变磁场会扫到不同的Landau能级，而且扫到$n$的磁场间隔为$1/B$，而实验上可以通过测量电阻$\rho_{xx}$与磁场$B$的依赖关系，然后将横坐标变为$1/B$来提取这种周期的变化。

为什么实验上要测量电阻的震荡？首先，纵向输运是由费米面附近的电子决定，在低温下电导可以表示为

$\sigma_{xx}\sim e^2\int dE\, \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right) D(E)\,\Xi_x(E),$

其中$\Xi_x(E)$表示速度平方、散射时间、扩散系数等组合，这里先不做详细讨论。由于$-\frac{\partial f}{\partial E}$的存在，上式只在费米面附近有贡献，因此可以近似表示为

$\sigma_{xx}\approx e^2 D(E_F)\,\Xi_x(E_F).$

因此当态密度$D(E_F)$发生震荡，那么电导率$\sigma_{xx}$也会随之震荡。而实验上测量的是电阻率而非电导率，在二维情形

$\hat\rho=\hat\sigma^{-1}\qquad \Longrightarrow\qquad \rho_{xx}=\frac{\sigma_{xx}}{\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2}.$

在强磁场下通常有

$\sigma_{xy}\gg \sigma_{xx},$

因为磁场的洛伦兹力会是的电子运动偏转，所以纵向输运会被抑制，从而得到电阻率和电导率之间满足

$\rho_{xx}\approx \frac{\sigma_{xx}}{\sigma_{xy}^2}.$

所以电阻率$\rho_{xx}$和电导率$\sigma_{xx}$大体上具有相同的震荡行为，因此Landau能级扫过化学势$E_F$的时候，不仅$\sigma_{xx}$会改变，实验上测量到的$\rho_{xx}$也会随之震荡。

Onsager关系

上面我们只是在二维自由电子模型里看到了$1/B$的周期，下面来推导一般能带下的Onsager关系。在半经典框架中，磁场中的Bloch电子满足的运动方程为

$\begin{aligned} &\dot{\mathbf r}=\frac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf k}\varepsilon(\mathbf k),\\ &\hbar\dot{\mathbf k}=-e\,\dot{\mathbf r}\times \mathbf B. \end{aligned}\label{eq:u1}$

考虑磁场沿$z$方向$\mathbf B=B\hat z$，则$k_z$是个守恒量，电子在动量空间中沿着

$\varepsilon(\mathbf k)=E,\qquad k_z=\text{const}$

的闭合轨道运动，也就是说电子运动的轨道是费米面在垂直于磁场方向平面上的闭合截线，假设这个闭合轨道围成的面积是$A(E)$。根据Bohr-Sommerfeld量子化条件，周期轨道满足的半经典量子化条件为

$\oint \mathbf p\cdot d\mathbf r=2\pi\hbar(n+\gamma).\label{eq:u2}$

其中的$\gamma$是相位修正，对于普通的抛物型电子$\gamma=1/2$。对于Bloch电子$\mathbf p=\hbar\mathbf k$，从而有

$\oint \mathbf p\cdot d\mathbf r = \hbar\oint \mathbf k\cdot d\mathbf r.$

结合半经典方程$\eqref{eq:u1}$以及磁场沿$z$方向$\mathbf B=B\hat z$可以得到

$d\mathbf r=\frac{\hbar}{eB}\,\hat z\times d\mathbf k$

从而有

$\oint \mathbf p\cdot d\mathbf r = \hbar \oint \mathbf k\cdot \left(\frac{\hbar}{eB}\hat z\times d\mathbf k\right).$

结合等式

$\oint \mathbf k\cdot (\hat z\times d\mathbf k)=A(E),$

得到

$\oint \mathbf p\cdot d\mathbf r = \frac{\hbar^2}{eB}A(E).$

将上式待会方程$\eqref{eq:u2}$得到

$\frac{\hbar^2}{eB}A(E)=2\pi\hbar(n+\gamma).$

整理可得

$\boxed{A(E)=\frac{2\pi eB}{\hbar}(n+\gamma)}.$

这就是Onsager关系。固定费米能级$E_F$，Landau轨道穿过费米能时有

$A_F\equiv A(E_F)=\frac{2\pi eB_n}{\hbar}(n+\gamma).$

从而得到磁场满足

$\frac{1}{B_n} = \frac{2\pi e}{\hbar A_F}(n+\gamma).$

这说明峰谷序号$n$与$1/B_n$成线性关系，如果定义振荡频率为

$F=\frac{\hbar}{2\pi e}A_F$

那么SdH振荡可以表示为

$\Delta\rho_{xx}\propto \cos\left[2\pi\left(\frac{F}{B}+\beta\right)\right].$

因此

$\Delta\!\left(\frac1B\right)=\frac1F$

所以振荡周期就是由$A_F$决定的。

更一般的轨道量子化条件为

$A(E)=\frac{2\pi eB}{\hbar} \left( n+\frac12-\frac{\Phi_B}{2\pi} \right),$

这里

$\gamma=\frac12-\frac{\Phi_B}{2\pi}.$

对于普通的薛定谔电子$\Phi_B=0$，所以$\gamma=1/2$；对于Dirac电子$\Phi_B=\pi$，所以$\gamma=0$。在实验测量中，通常会选择一系列电阻峰或者谷对应的磁场$B_n$，然后绘制

$n \ \text{vs.}\ \frac{1}{B_n}.$

如果这些点近似的落在直接上，可以拟合

$n = \frac{F}{B} + c.$

而这里的斜率对应的就是振荡周期，$c$则是一个截距，它反映的就是振荡的相位。从

$\Delta \sigma_{xx}\propto \cos\left[2\pi\left(\frac{F}{B}-\gamma+\delta\right)\right]$

出发，如果规定某一类极大值满足余弦取最大值，即

$\frac{F}{B_n}-\gamma+\delta=n$

那么可以得到Landau能级序号

$n=\frac{F}{B_n}-\gamma+\delta.\label{eq:u3}$

其中Landau fan图的截距就是

$\boxed{c=-\gamma+\delta =-\frac12+\frac{\Phi_B}{2\pi}+\delta.}$

其中的$\delta$是个修正因子，对于理想二维情形有$\delta=0$，因此

$c=-\frac12+\frac{\Phi_B}{2\pi}.$

所以对于普通的薛定谔电子$\Phi_B=0$，其截距为$c=-1/2$；因为截距通常只看模1的意义，因此这等价与$1/2$。对于理想的Dirac电子$\Phi_B=\pi$，所以$c=0$，因此在当前约定的编号下面：普通电子截距为$1/2$，Dirac电子截距为$0$。

前面的分析是将电导的峰值作为了极值编号$n$，但实验上有时候也会将谷值编号为整数$n$，所以此时的极值条件就变为了
$\frac{F}{B_n}-\gamma+\delta=n+\frac12,$
反解得到
$n=\frac{F}{B_n}-\gamma+\delta-\frac12,$
可以看到与方程$\eqref{eq:u3}$相比，截距平移了$1/2$。所以此时就变成了：普通电子$c=0$，Dirac电子$c=1/2$。

鉴于该网站分享的大都是学习笔记，作者水平有限，若发现有问题可以发邮件给我