二维超导电性与BKT相变

维象Ginzburg-Landau理论

对于超导体，其序参量写作

$\Psi(\mathbf r)=|\Psi(\mathbf r)|e^{i\theta(\mathbf r)}.$

其中$|\Psi|$表示局域配对幅值，$\theta$是超导相位。对于接近二维的超导相变研究中，关键的往往不是序参量的幅值，而是相位。因为在某一段温度区间内，振幅已经非零，但是体系并没有建立起全局的相位相干。对于带电的超导体，Ginzburg-Landau自由能写作

$F[\Psi,\mathbf A] = \int d^dr \left[ \alpha |\Psi|^2+\frac{\beta}{2}|\Psi|^4 +\frac{1}{2m^*} \left| \left(-i\hbar \nabla-q\mathbf A\right)\Psi \right|^2 \right],$

其中$m^$是Cooper对有效质量，通常有$m^=2m$；

$q$是Cooper对携带的电荷量，通常有$q=2e$；$\mathbf{A}$是矢势，这里我们来研究二维体系$d=2$。首先将

$\Psi(\mathbf r)=\sqrt{n_s(\mathbf r)}\,e^{i\theta(\mathbf r)}$

代入，这里把$|\Psi|^2$记作$n_s$，对于梯度项有

$\left(-i\hbar \nabla-q\mathbf A\right)\Psi = \left(-i\hbar \nabla-q\mathbf A\right) \left(\sqrt{n_s}e^{i\theta}\right).\label{eq:b1}$

展示可得

$\nabla\left(\sqrt{n_s}e^{i\theta}\right) = e^{i\theta}\nabla \sqrt{n_s} + i e^{i\theta}\sqrt{n_s}\nabla\theta.$

代入方程$\eqref{eq:b1}$可得

$\left| \left(-i\hbar \nabla-q\mathbf A\right)\Psi \right|^2 = \hbar^2(\nabla \sqrt{n_s})^2 +n_s\left(\hbar \nabla\theta-q\mathbf A\right)^2.$

因此可以将GL自由能写作

$F = \int d^dr \left[ {\color{blue}\alpha n_s+\frac{\beta}{2}n_s^2 +\frac{\hbar^2}{2m^*}(\nabla \sqrt{n_s})^2} +\frac{n_s}{2m^*}\left(\hbar \nabla\theta-q\mathbf A\right)^2 \right].\label{eq:b2}$

此时就将自由能分拆为了${\color{blue}\rm 振幅部分}$和相位部分。将相位部分单独拿出来

$F_{\rm phase} = \int d^dr\, \frac{n_s}{2m^*} \left(\hbar \nabla\theta-q\mathbf A\right)^2.$

可以看到它与流体动能密度$\frac{1}{2}\rho v^2$很相似，因此可以定义超流速度

$\mathbf v_s = \frac{1}{m^*}\left(\hbar \nabla\theta-q\mathbf A\right).$

从而可以将相位相关的自由能部分表示为

$F_{\rm phase} = \int d^dr\, \frac{1}{2}n_s m^* v_s^2.$

因此，超导中的相位梯度不是一个单纯的数学量，它对应的是超流。而且在不施加磁场时或者矢势$\mathbf{A}$可以忽略

$\mathbf v_s=\frac{\hbar}{m^*}\nabla\theta.$

也就是说只要超导体的相位存在梯度，就意味着存在超流。自由能对矢势$\mathbf{A}$的变分可以得到电流密度，为自由能$\eqref{eq:b2}$中与矢势相关的只有相位部分

$F_{\rm phase} = \int d^dr\, \frac{n_s}{2m^*} (\hbar \nabla\theta-q\mathbf A)^2.$

计算电流密度

$\mathbf j = - \frac{\delta F}{\delta \mathbf A}= \frac{q n_s}{m^*} \left(\hbar \nabla\theta-q\mathbf A\right).$

也可以表示为

$\mathbf j = q n_s \mathbf v_s.$

其中$q=2e,m^*=2m$，这就是超电流公式。因此，超流密度$n_s$的物理意义是：决定在给定超流速度下能够承载多大的超导电流。这里我们维象的定义了超流密度$n_s$，而在微观的BCS理论中，它可以通过线性响应或者相位twisted能量定义得到。

低能长波极限

现在还是回到GL自由能

$F = \int d^dr \left[ \alpha n_s+\frac{\beta}{2}n_s^2 +\frac{\hbar^2}{2m^*}(\nabla \sqrt{n_s})^2 +\frac{n_s}{2m^*}\left(\hbar \nabla\theta-q\mathbf A\right)^2 \right].$

当我们研究低能、长波极限且温度接近超导配对温度的相区时，通常有：（1）序参量幅值$n_s$基本非零；（2）振幅涨落能量消耗更高；（3）主要的低能激发都来自于相位变换。于是可以取近似

$n_s(\mathbf r)\approx n_s^{(0)}=\text{常数}, \qquad (\nabla \sqrt{n_s})^2 \approx 0.$

在无磁场情形下，相位相关的自由能为

$F_{\rm phase} = \int d^2r\, \frac{n_s^{(0)}\hbar^2}{2m^*}(\nabla\theta)^2.$

这对应的其实就是二维XY相位模型，为了和XY模型对应，将自由能改写为

$F_{\rm phase} = \frac{J}{2}\int d^2r\,(\nabla\theta)^2,\label{eq:b3}$

其中定义

$J=\frac{\hbar^2 n_s^{(0)}}{m^*}.$

或者有的文献写

$F=\frac{\rho_s}{2}\int d^2r\,(\nabla\theta)^2,$

这里的$J$就是相位刚度。

二维XY模型

在晶格上，相位自由度最常见的模型是

$H=-J_0\sum_{\langle ij\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j).$

这里每一个格点$i$上有一个角变量$\theta_i$，它可以看作是二维单位矢量

$\mathbf S_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i).$

在低温且相邻格点相位差比较小的时候

$\cos(\theta_i-\theta_j) \approx 1-\frac{1}{2}(\theta_i-\theta_j)^2.$

可以将哈密顿量改写

$H \approx - J_0 N_b +\frac{J_0}{2}\sum_{\langle ij\rangle}(\theta_i-\theta_j)^2,$

其中$N_b$是最近邻格点数量，将常数项丢掉可得

$H_{\rm sw} = \frac{J_0}{2}\sum_{\langle ij\rangle}(\theta_i-\theta_j)^2.$

这就是自旋波近似下的XY模型。假设晶格常数为$a$，对于相邻的$i,j$格点

$\theta_j-\theta_i \approx a\, \partial_\mu \theta,\qquad (\theta_i-\theta_j)^2 \approx a^2 (\partial_\mu \theta)^2.$

把随相邻格点的求和改写为积分

$H_{\rm sw} \longrightarrow \frac{K}{2}\int d^2r\,(\nabla\theta)^2,\label{eq:b4}$

其中$K$与相邻格点之间的耦合$J_0$以及晶格常数有关。对比方程$\eqref{eq:b3}$和$\eqref{eq:b4}$可以看到，二维XY模型的长波吉祥就是二维相位刚度模型，此时就把超导相位模型与二维XY模型建立起了联系。

现在考虑平滑的相位涨落，没有奇点，将自由能

$F=\frac{J_s}{2}\int d^2r\,(\nabla\theta)^2.\label{eq:b6}$

的相位部分做Fourier展开

$\theta(\mathbf r)=\sum_{\mathbf q}\theta_{\mathbf q} e^{i\mathbf q\cdot \mathbf r}.$

可以得到自由能为

$F=\frac{J_s}{2}\sum_{\mathbf q} q^2 |\theta_{\mathbf q}|^2.$

根据等分配定理

$\langle |\theta_{\mathbf q}|^2\rangle \sim \frac{k_B T}{J_s q^2}.$

于是相位涨落

$\langle [\theta(\mathbf r)-\theta(0)]^2\rangle \sim \int \frac{d^2q}{(2\pi)^2} \frac{k_B T}{J_s q^2}\left(1-\cos \mathbf q\cdot \mathbf r\right).$

在二维中，该积分给出对数形式

$\langle [\theta(\mathbf r)-\theta(0)]^2\rangle \sim \frac{k_B T}{2\pi J_s}\ln\frac{r}{a}.$

从而得到关联函数为

$\left\langle e^{i[\theta(\mathbf r)-\theta(0)]}\right\rangle = \exp\left[ -\frac{1}{2} \langle [\theta(\mathbf r)-\theta(0)]^2\rangle \right] \sim r^{-\eta},$

其中

$\eta=\frac{k_B T}{4\pi J_s}.$

可以看到二维低温相不是普通的长程有序，而是代数衰减的准长程序。因为$\theta$是角变量，所以它允许非平庸的绕转。考虑沿一个闭合回路$C$有

$\oint_C \nabla\theta\cdot d\mathbf l=2\pi m, \qquad m\in\mathbb Z.$

其中整数$m$是涡旋数或者拓扑电荷。最简单的单涡旋解位于原点时写作

$\theta(\mathbf r)=m\phi,$

其中$\phi$是极角，此时相位变换满足

$\nabla\theta = \frac{m}{r}\hat{\boldsymbol \phi}, \qquad |\nabla\theta|^2=\frac{m^2}{r^2}.\label{eq:b5}$

可以看到这不是一个平庸的相位涨落，它存在一个拓扑奇点$r=0$。将上面的涡旋解$\eqref{eq:b5}$代入自由能$\eqref{eq:b6}$中可得

$E_v = \frac{J_s}{2}\int d^2r\,\frac{m^2}{r^2}.$

使用极坐标$d^2r=r\,dr\,d\phi$，并引入短程截断$a$和系统尺度$L$，从而得到涡旋的能量为

$E_v = \frac{J_s}{2} \int_0^{2\pi}d\phi \int_a^L r\,dr\,\frac{m^2}{r^2}= \frac{J_s}{2}(2\pi)m^2\int_a^L \frac{dr}{r} = \pi J_s m^2 \ln\frac{L}{a}.$

再加上涡旋芯的能量$\mu_c$，写作

$E_v(m)=\pi J_s m^2\ln\frac{L}{a}+\mu_c.$

此时可以看到产生涡旋度为$m$的涡旋是需要能量消耗的。考虑涡旋的大小，在体系中可以产生涡旋的数量为

$N\sim \frac{L^2}{a^2}$

其对应的熵为

$S_v = k_B \ln N = 2k_B \ln\frac{L}{a}.$

从而可以得到体系的自由能为

$\begin{aligned} F_v = E_v - TS_v &= \pi J_s \ln\frac{L}{a}+\mu_c -2k_B T\ln\frac{L}{a},\\ & = \left(\pi J_s - 2k_B T\right)\ln\frac{L}{a}+\mu_c. \end{aligned}$

现在令$L\to \infty$:

当$\pi J_s > 2k_B T$时，自由能$F_v\to +\infty$，此时不利于产生自由涡旋
当$\pi J_s < 2k_B T$时，自由能$F_v\to -\infty$，此时自由涡旋大量产生

所以临界条件为

$\pi J_s = 2k_B T.$

即得到BKT相变温度

$T_{\mathrm{BKT}} = \frac{\pi}{2k_B}J_s.$

因此，当$T < T_{\rm BKT}$时，产生自由涡旋在热力学上是不占优的，因此只能存在涡旋—-反涡旋对，体系保持准长程序。当$T > T_{BKT}$时，产生自由涡旋在能量上占优，相位相干在长尺度上被完全打乱，体系进入指数衰减的无序相。因此BKT相变不是序参量振幅的普通Landau相变，而是涡旋—-反涡旋解绑定的拓扑相变。

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