约瑟夫森效应与夏皮罗台阶

约瑟夫森效应

考虑两个超导体通过一个弱连接形成 Josephson 结。两侧的宏观波函数写成

$\Psi_1=\sqrt{n_1}e^{i\phi_1},\qquad \Psi_2=\sqrt{n_2}e^{i\phi_2}.$

严格说，真正有物理意义的是规范不变相位差

$\gamma=\phi_2-\phi_1-\frac{2\pi}{\Phi_0}\int_1^2 \mathbf A\cdot d\mathbf l, \qquad \Phi_0=\frac{h}{2e},$

但在无磁场或结区足够小、可忽略矢势线积分时，可以近似写成

$\gamma\simeq \phi_2-\phi_1.$

现在从最简单的弱耦合方程出发

$i\hbar \dot\Psi_1=\mu_1\Psi_1+K\Psi_2,\qquad i\hbar \dot\Psi_2=\mu_2\Psi_2+K\Psi_1\label{eq:j1}$

这里$K$是弱连接耦合，$\mu_1,\mu_2$是两侧超导的电化学势，将$\Psi_j=\sqrt{n_j}e^{i\phi_j}$代入有

$i\hbar \dot\Psi_1 = e^{i\phi_1} \left[ \frac{i\hbar \dot n_1}{2\sqrt{n_1}} -\hbar \sqrt{n_1}\dot\phi_1 \right],\qquad \mu_1\Psi_1+K\Psi_2 = e^{i\phi_1} \left[ \mu_1\sqrt{n_1} +K\sqrt{n_2}e^{i(\phi_2-\phi_1)} \right].$

结合方程$\eqref{eq:j1}$并将相位$e^{i\phi_1}$消去，并把$e^{i(\phi_2-\phi_1)}=\cos\gamma+i\sin\gamma$，得到

$\frac{i\hbar \dot n_1}{2\sqrt{n_1}} -\hbar \sqrt{n_1}\dot\phi_1=\mu_1\sqrt{n_1}+K\sqrt{n_2}(\cos\gamma+i\sin \gamma)\label{eq:j2}$

分离实部和虚部，对于虚部得到

$\frac{\hbar \dot n_1}{2\sqrt{n_1}}=K\sqrt{n_2}\sin\gamma,$

即得到

$\dot n_1=\frac{2K}{\hbar}\sqrt{n_1n_2}\sin\gamma.$

类似的可以得到

$\dot n_2=-\frac{2K}{\hbar}\sqrt{n_1n_2}\sin\gamma.$

因此粒子数守恒。定义从1流向2的超电流为Cooper对电荷$2e$乘以粒子流率

$I_s=\frac{2eK}{\hbar}\sqrt{n_1n_2}\sin\gamma.$

将前面的常数收进临界电流$I_c$，便得到第一约瑟夫森关系

$\boxed{I_s=I_c\sin\gamma}.\label{eq:j3}$

对于方程$\eqref{eq:j2}$的实部

$-\hbar \sqrt{n_1}\dot\phi_1 = \mu_1\sqrt{n_1} +K\sqrt{n_2}\cos\gamma$

同理有

$-\hbar \sqrt{n_2}\dot\phi_2 = \mu_2\sqrt{n_2} +K\sqrt{n_1}\cos\gamma.$

假设两个超导体近似对称$n_1\simeq n_2$，则耦合项在相减的时候会抵消，从而得到

$-\hbar(\dot\phi_2-\dot\phi_1)=\mu_2-\mu_1.$

由于$\gamma=\phi_2-\phi_1$，可以将上式改写

$\hbar \dot\gamma=\mu_1-\mu_2.$

定义两端的电压为

$V=\frac{\mu_1-\mu_2}{2e},$

从而可以得到第二约瑟夫森关系

$\boxed{\dot\gamma=\frac{2e}{\hbar}V}.\label{eq:j4}$

方程$\eqref{eq:j3}$告诉我们约瑟夫森结中的超流是由两侧超导的相位差决定的；方程$\eqref{eq:j4}$则告诉我们静态电压可以驱动相位随时间变化，也就是交流约瑟夫森效应。因此在$V=0$时$\dot\gamma=0$，相位差为常数，所以$I_s=I_c\sin\gamma_0$，这是一个稳定的直流超电流，其实就是直流约瑟夫森效应。当电压$V$为常数时

$\gamma(t)=\gamma_0+\frac{2eV}{\hbar}t,$

从而得到超电流为

$I_s(t)=I_c\sin\left(\gamma_0+\frac{2eV}{\hbar}t\right).$

可以看到此时超电流会以角频率

$\omega_J=\frac{2eV}{\hbar}$

振荡，对应的频率为

$\color{blue}f_J=\frac{2e}{h}V.$

这就是交流约瑟夫森效应，它表明结上的电压直接决定了电流振荡频率。

夏皮罗台阶

现在来看夏皮罗台阶。它并不是一个独立于约瑟夫森效应之外的新现象，而是交流约瑟夫森振荡在外加微波驱动下的锁频现象。为了方便后续理解相位的动力学演化，这里先引入Josephson能量

$U_J(\gamma)=-E_J\cos\gamma,\qquad E_J=\frac{\hbar I_c}{2e},$

因为

$\frac{2e}{\hbar}\frac{\partial U_J}{\partial \gamma} = I_c\sin\gamma = I_s.$

这说明可以将相位差$\gamma$看做一个坐标，它是在一维周期势阱中运动。考虑Josephson结电压同时具有直流和交流分量

$V(t)=V_0+V_{\rm rf}\cos\omega t.$

结合第二Josephson关系$\eqref{eq:j4}$，并对时间积分得到

$\gamma(t)=\gamma_0+\frac{2eV_0}{\hbar}t+\frac{2eV_{\rm rf}}{\hbar\omega}\sin\omega t.$

定义

$\omega_J=\frac{2eV_0}{\hbar},\qquad a=\frac{2eV_{\rm rf}}{\hbar\omega},$

从而得到相位随时间的演化为

$\gamma(t)=\gamma_0+\omega_J t+a\sin\omega t$

回代到方程$\eqref{eq:j3}$中，得到超电流为

$I_s(t)=I_c\sin\big(\gamma_0+\omega_J t+a\sin\omega t\big).$

使用Jacobi-Anger展开

$e^{ia\sin\omega t}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}J_m(a)e^{im\omega t}.$

从而有

$e^{i\gamma(t)} = e^{i\gamma_0}e^{i\omega_J t} \sum_m J_m(a)e^{im\omega t},$

取虚部之后可以将超电流表示为

$I_s(t)=I_c\sum_{m=-\infty}^{\infty} J_m(a)\sin\big[\gamma_0+(\omega_J+m\omega)t\big].\label{eq:j5}$

此时可以看到，外加的一个交流微波将原本单一的Josephson频率$\omega_J$混成了一连串$\omega_J+m\omega$。在实验中观察到电流出现一系列的台阶，本质上就是因为在某些条件下，超电流中出现了时间平均非零的直流分量，也就是方程$\eqref{eq:j5}$中的某一项时间平均非零，那么必须就让某一项不依赖于时间，即

$\omega_J+m\omega=0.\label{eq:j6}$

或者等价的表示为

$\omega_J=n\omega,\qquad n\in\mathbb Z.$

由于$V_0$产生的交流频率为

$\omega_J=\frac{2eV_0}{\hbar},$

从而得到锁频条件对应的电压值为

$V_n=n\frac{\hbar\omega}{2e}=n\frac{hf}{2e} .$

其中$\omega$是微波角频率，这其实就是夏皮罗台阶的位置公式，它告诉我们当加入的微波频率为$f$之后，Josephson结中的平均电压最容易稳定在一系列离散值上，而不是处在任意连续值。对于第$n$个夏皮罗台阶对应的直流分量，在$\omega_J=n\omega$时，根据方程$\eqref{eq:j6}$可以得到只有$m=-n$那一项不随时间振荡

$I_s^{\rm dc} = I_c J_{-n}(a)\sin\gamma_0.$

利用贝塞尔函数性质$J_{-n}(a)=(-1)^nJ_n(a)$将符号吸收到相位中，可以将电流表示为

$I_s^{\rm dc}=I_cJ_n(a)\sin \gamma_0'$

因此第$n$阶夏皮罗台阶所能承载的最大超电流为

$I_{c,n}=I_c|J_n(a)| .$

其中$a$与微波的大小$V_{\rm rf}$有关，因此夏皮罗台阶的强度将会随着微波功率发生变化，当微波功率改变时，各级台阶的大小将会按$J_n(a)$的规律增强、减弱甚至消失。

拓扑超导中交流约瑟夫森效应

在普通的约瑟夫森结中，电流相位关系为

$I_s(\phi)=I_c\sin\phi,$

它的周期是$2\pi$，施加电压之后可以得到交流约瑟夫森效应，对应的频率为

$\omega_J=\frac{2eV}{\hbar}, \qquad f_J=\frac{2e}{h}V.$

施加一个频率为$f$的微波驱动之后，锁频条件为$\omega_J=n\omega$，从而得到普通的夏皮罗台阶位置满足

$V_n=n\frac{hf}{2e}.\label{eq:j7}$

在一维拓扑超导线、拓扑 Josephson 结，或者带有 Majorana 零能模的结中，结两侧边界可能各有一个 Majorana 模$\gamma_1,\gamma_2$。这两个Majorana零能态耦合之后会形成随相位差变化的Andreev束缚态，其低能有效哈密顿量为

$H_M=iE_M\cos\frac{\phi}{2}\,\gamma_1\gamma_2.$

其中$i\gamma_1\gamma_2$的本征值为$\pm1$，对应的两条能谱分支为

$E_\pm(\phi)=\pm E_M\cos\frac{\phi}{2}.$

注意到这里出现的是$\cos(\phi/2)$而不是普通Josephson结中常见的$\cos\phi$，这说明能谱在形式上是$4\pi$周期的，所以如果让体系始终保留在同一个费米宇称分支上，必须让$\phi$增加$4\pi$才能回到初始状态。

电流可以由能量相对于相位的求导给出

$I(\phi)=\frac{2e}{\hbar}\frac{\partial E}{\partial \phi}.$

如果将系统固定在某一个Majorana分支上，比如

$E(\phi)=\pm E_M\cos\frac{\phi}{2}$

则电流为

$I(\phi) = \frac{2e}{\hbar}\frac{\partial}{\partial \phi} \left(\pm E_M\cos\frac{\phi}{2}\right) = \mp \frac{eE_M}{\hbar}\sin\frac{\phi}{2}.$

从而表示为

$\boxed{ I_{4\pi}(\phi)=I_M\sin\frac{\phi}{2} }$

这就是典型的$4\pi$周期Josephson关系，和普通Josephson结中

$I_{2\pi}(\phi)=I_c\sin\phi$

相比最大的区别就是相位出现$\phi/2$。但是第二Josephson关系并没有变化

$\dot\phi=\frac{2e}{\hbar}V$

在恒定电压下有

$\phi(t)=\phi_0+\frac{2eV}{\hbar}t,$

对于拓扑超导中的$4\pi$周期关系$I(\phi)=I_M\sin\frac{\phi}{2}$，加入电压之后超电流的演化为

$I(t)=I_M\sin\left(\frac{\phi_0}{2}+\frac{eV}{\hbar}t\right),$

可以看到其振荡频率为

$\boxed{ \omega_{4\pi}=\frac{eV}{\hbar} }$

变成了普通Josephson结中的一般，这就是fractional Josephson effect，并不是说电荷真的变成了$e$的稳态输运，而是说：在固定宇称、沿同一个Majorana分支绝热演化的时候，电流的相位周期是$4\pi$，因此交流约瑟夫森的频率减半。对于夏皮罗台阶，普通超导Josephson接种的锁频条件为

$V_n=n\frac{\hbar\omega}{2e}=n\frac{hf}{2e}$

其中$f$是微波频率。但是在理想的$4\pi$周期情形中，锁频是对减半之后的频率进行的，即

$\omega_{4\pi}=n\omega\to \frac{eV}{\hbar}=n\omega.$

因此台阶位置变成了

$V_n^{(4\pi)}=n\frac{\hbar\omega}{e}=n\frac{hf}{e}$

与普通的台阶$\eqref{eq:j7}$相比可以发现此时的台阶间隔是原来的两倍。在实验上仍然以普通的单位$hf/2e$进行标记，所以信号特征中看到的就是奇数阶台阶都被压制或者缺失，因为

$n\frac{hf}{e}=2n\frac{hf}{2e}.$

因此如果还是使用普通Josephson结中的台阶编号方式，那么就只剩下

$V=0,\;2\frac{hf}{2e},\;4\frac{hf}{2e},\dots$

显然只会存在偶数台阶，奇数台阶消失或者减弱，这也就是实验上对拓扑超导研究中的最典型的夏皮罗信号。