NSN纳米线输运

考虑一个标准的三端器件

$N_L \;-\; S \;-\; N_R\nonumber$

其中左端$N_L$是正常金属电极，中间$S$是超导覆盖的纳米线，右端$N_R$是正常金属电极。中间区域接地$V_s=0$，两端正常金属的电压分别为$V_L,V_R$。为了公式推导的便捷性，这里先考虑单通道情形；多通道的情形只需要将概率替换成矩阵求迹即可。定义左端电流$I_L$的方向为正

$I_L>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{电子从左电极流入器件}.\nonumber$

在Nambu表象下，把准粒子入射与出射振幅写作

$\mathbf a(E)= \begin{pmatrix} a_{Le}\\ a_{Lh}\\ a_{Re}\\ a_{Rh} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf b(E)= \begin{pmatrix} b_{Le}\\ b_{Lh}\\ b_{Re}\\ b_{Rh} \end{pmatrix}.$

它们之间通过散射矩阵联系

$\mathbf b(E)=S(E)\,\mathbf a(E).$

将散射矩阵根据左、右段分块表示

$S(E)= \begin{pmatrix} r^{LL}(E) & t^{LR}(E)\\ t^{RL}(E) & r^{RR}(E) \end{pmatrix},$

其中每一块又是电子/空穴空间中$2\times2$的矩阵

$r^{LL}(E)= \begin{pmatrix} r_{ee}^{LL}(E) & r_{eh}^{LL}(E)\\ r_{he}^{LL}(E) & r_{hh}^{LL}(E) \end{pmatrix}.$

这里约定上标中第一个字母出射端，第二个字母是入射端；因此

$\begin{aligned} &r_{ee}^{LL}:\quad \text{左端入射电子}\to\text{左端出射电子}\\ &r_{he}^{LL}:\quad \text{左端入射电子}\to\text{左端出射空穴}\\ &t_{ee}^{LR}:\quad \text{右端入射电子}\to\text{左端出射电子}\\ &t_{he}^{LR}:\quad \text{右端入射电子}\to\text{左端出射空穴}\\ \end{aligned}\nonumber$

比较常出现的是下面四个过程

$\begin{aligned} &R_{ee}^{LL}(E)=|r_{ee}^{LL}(E)|^2, \qquad R_{he}^{LL}(E)=|r_{he}^{LL}(E)|^2,\\ &T_{ee}^{LR}(E)=|t_{ee}^{LR}(E)|^2, \qquad T_{he}^{LR}(E)=|t_{he}^{LR}(E)|^2. \end{aligned}$

它们对应的物理过程分别是：

普通反射

$R_{ee}^{LL}: \quad e(L,\text{in}) \to e(L,\text{out})$

左端入射的电子被反射回左端的概率。

局域Andreev反射(LAR)

$R_{he}^{LL}: \quad e(L,\text{in}) \to h(L,\text{out})$

左端入射电子在左端反射为空穴，同时向超导体中注入一个Cooper对。

电子共隧穿(EC)

$T_{ee}^{LR}: \quad e(R,\text{in}) \to e(L,\text{out})$

右端入射电子隧穿到左端。

交叉Andreev反射

$T_{he}^{LR}: \quad e(R,\text{in}) \to h(L,\text{out})$

右端入射电子在左端输出空穴，等价于左右两端各贡献一个电子进入超导形成Cooper对。

因为散射矩阵$S(E)$是幺正矩阵

$S^\dagger(E)S(E)=1,$

对“左端入射电子”这一列求模方和得到

$R_{ee}^{LL}(E)+R_{he}^{LL}(E)+T_{ee}^{RL}(E)+T_{he}^{RL}(E)=1.$

考虑能量小于超导能隙的散射，对于单通道情形，每个入射通道的总概率守恒；对于“左端入射电子”有

$R_{ee}^{LL}+R_{he}^{LL}+T_{ee}^{RL}+T_{he}^{RL}=1.$

对于右端入射电子就变成了

$R_{ee}^{RR}+R_{he}^{RR}+T_{ee}^{LR}+T_{he}^{LR}=1.$

因为BdG哈密顿量具有粒子—-空穴对称性，因此散射矩阵满足

$S(E)=\tau_x\, S^*(-E)\,\tau_x,$

其中$\tau_x$作用在Nambu表象，因此散射矩阵的分量满足

$\begin{aligned} &r_{hh}(E)=r_{ee}^*(-E),\qquad r_{he}(E)=r_{eh}^*(-E),\\ &t_{hh}(E)=t_{ee}^*(-E),\qquad t_{he}(E)=t^*_{eh}(-E). \end{aligned}\label{eq:l3}$

在正常端施加偏压后，电子型和空穴型入射态的占据数会不同。设平衡态费米分布为

$f_0(E)=\frac{1}{e^{E/k_BT}+1}.$

则左、右端的电子型与空穴型入射分布分别为

$\begin{aligned} &f_{Le}(E)=f_0(E-eV_L),\qquad f_{Lh}(E)=f_0(E+eV_L),\\ &f_{Re}(E)=f_0(E-eV_R),\qquad f_{Rh}(E)=f_0(E+eV_R). \end{aligned}$

电子型激发的化学势发生$-eV$的平移，而空穴型激发等价于负能电子缺失，所以能量为$E+eV$。

电流输运

现在考虑左端电流，该电流包含的是左端流入器件的净电荷流，在Nambu表象中，电子带负电$-e$，空穴带正电$+e$。因此在能量为$E$时的电流算符表示为

$\hat I_L(E)= \frac{e}{h} \Big( a_{Le}^\dagger a_{Le} - b_{Le}^\dagger b_{Le} - a_{Lh}^\dagger a_{Lh} + b_{Lh}^\dagger b_{Lh} \Big).\label{eq:l1}$

其中：

$a_{Le}^\dagger a_{Le}$：入射电子把负电荷带出左电极并送入中间区域，所以对电流贡献为正
$b_{Le}^\dagger b_{Le}$：出射电子返回到左电极，所以对$I_L$贡献为负。
$a_{Lh}^\dagger a_{Lh}$：入射空穴等价于把负电荷带离中间区域而回到左电极，因此贡献为负。
$b_{Lh}^\dagger b_{Lh}$：出射空穴等价与中间器件区向左电极送出一个“正电荷电子”，对应中间区域系数一个电子，因此对电流贡献为正。

从而得到总电流为

$I_L=\int_0^\infty dE\langle\hat{I}_L(E) \rangle\label{eq:l2}$

将左端出射电子和空穴分开写

$\begin{aligned} &b_{Le} = r_{ee}^{LL}a_{Le} +r_{eh}^{LL}a_{Lh} +t_{ee}^{LR}a_{Re} +t_{eh}^{LR}a_{Rh},\\ &b_{Lh} = r_{he}^{LL}a_{Le} +r_{hh}^{LL}a_{Lh} +t_{he}^{LR}a_{Re} +t_{hh}^{LR}a_{Rh}. \end{aligned}$

因为不同端口、不同雷子类型的入射态在统计上互不相关，从而有

$\langle a_{i\alpha}^\dagger(E)a_{j\beta}(E')\rangle = \delta_{ij}\delta_{\alpha\beta}\delta(E-E')\, f$

交叉项都是小事的，只剩下

$\begin{aligned} &\langle b_{Le}^\dagger b_{Le}\rangle = R_{ee}^{LL}f_{Le} + R_{eh}^{LL}f_{Lh} + T_{ee}^{LR}f_{Re} + T_{eh}^{LR}f_{Rh},\\ &\langle b_{Lh}^\dagger b_{Lh}\rangle = R_{he}^{LL}f_{Le} + R_{hh}^{LL}f_{Lh} + T_{he}^{LR}f_{Re} + T_{hh}^{LR}f_{Rh}. \end{aligned}$

结合方程$\eqref{eq:l1}$并代入方程$\eqref{eq:l2}$可得

$I_L= \frac{e}{h}\int_0^\infty dE \Big[ f_{Le} -\langle b_{Le}^\dagger b_{Le}\rangle -f_{Lh} +\langle b_{Lh}^\dagger b_{Lh}\rangle \Big].$

进一步展开化简得到

$\begin{aligned} I_L = \frac{e}{h}\int_0^\infty dE\, \Big\{ & \big[1-R_{ee}^{LL}+R_{he}^{LL}\big]f_{Le} \\ &+ \big[-1-R_{eh}^{LL}+R_{hh}^{LL}\big]f_{Lh} \\ &+ \big[-T_{ee}^{LR}+T_{he}^{LR}\big]f_{Re} \\ &+ \big[-T_{eh}^{LR}+T_{hh}^{LR}\big]f_{Rh} \Big\}. \end{aligned}$

结合方程$\eqref{eq:l3}$并对空穴将积分区间和能量调换可得

$\begin{aligned} &I_L= \frac{e}{h}\int_0^\infty dE\, \Big\{ \mathcal A_L(E)\,[f_{Le}(E)-f_{Lh}(E)] + \mathcal B_L(E)\,[f_{Re}(E)-f_{Rh}(E)] \Big\},\\ &\mathcal A_L(E)=1-R_{ee}^{LL}(E)+R_{he}^{LL}(E),\\ &\mathcal B_L(E)=T_{he}^{LR}(E)-T_{ee}^{LR}(E). \end{aligned}\label{eq:l4}$

对于$\mathcal A_L$：$+1$表示左端电极向中间区域注入一个电子流；$-R_{ee}^{LL}$是普通反射将这部分电子流反射回去了，减小电流；$+R_{he}^{LL}$表示发生Andreev反射把一个电子转换成空穴并返回左端，等价于净注入了一个Cooper对的一半电荷，所以增加电流。

对于$\mathcal B_L$表示右端偏压对左端电流的影响：$T_{ee}^{LR}$表示左端来的电子透射到了左端电极，根据电流约定的方向，该过程会减小电流；$T_{he}^{LR}$表示右端来的电子透射到左端成了空穴，等价于左右两端各向中间区域注入了一个电子形成Cooper对，所以会增加电流，因此

$\mathcal B_L=\text{CAR}-\text{EC}.$

将电极上的偏压显式代入

$\begin{aligned} &f_{Le}-f_{Lh} = f_0(E-eV_L)-f_0(E+eV_L),\\ &f_{Re}-f_{Rh} = f_0(E-eV_R)-f_0(E+eV_R), \end{aligned}$

方程$\eqref{eq:l4}$可化简为

$\boxed{ I_L= \frac{e}{h}\int_0^\infty dE\, \Big[ \mathcal A_L(E)\big(f_0(E-eV_L)-f_0(E+eV_L)\big) + \mathcal B_L(E)\big(f_0(E-eV_R)-f_0(E+eV_R)\big) \Big]. }\label{eq:l5}$

该公式就是计算微分电导的起点。

电导计算

首先计算局域电导$G_{LL}$

$G_{LL}(V_L) \equiv \frac{\partial I_L}{\partial V_L} \Big|_{V_R\text{固定}}$

对方程$\eqref{eq:l5}$求导可得

${ G_{LL}(V_L) = \frac{e^2}{h} \int_0^\infty dE\, \mathcal A_L(E) \Big[ -f_0'(E-eV_L)-f_0'(E+eV_L) \Big]. }$

非局域电导为

$G_{LR}(V_R) \equiv \frac{\partial I_L}{\partial V_R} \Big|_{V_L\;\text{固定}}.$

同理可以得到

${ G_{LR}(V_R) = \frac{e^2}{h} \int_0^\infty dE\, \mathcal B_L(E) \Big[ -f_0'(E-eV_R)-f_0'(E+eV_R) \Big]. }$

将方程$\eqref{eq:l4}$代入可以得到

$\begin{aligned} &G_{LL}\ \text{主要由}\ 1-R_{ee}^{LL}+R_{he}^{LL}\ \text{控制},\\ &G_{LR}\ \text{主要由}\ T_{he}^{LR}-T_{ee}^{LR}\ \text{控制}. \end{aligned}\nonumber$

所以局域电导$G_{LL}$主要反映左端局域注入、普通反射以及Andreev反射，而非局域电导$G_{LR}$则反映右端注入对左端电流的影响，即CAR与EC的竞争。