Yu-Xuan's Blog

这里想整理一下如何利用已有的实空间的tight binding的数据,通过Fourier变换来得到动量空间中的模型,从而可以利用同时利用这两种不同表象下的数据进行计算研究。这里使用了BHZ模型作为例子来进行研究，并利用Fu-Kane判据计算了高对称点的宇称，从而达到计算拓扑不变量的目的。{:.info} 前言之前已经学习了如何将一个现有的动量空间中的模型,变换成Wannier90所输出的tight binding的数据,可以参考从紧束缚模型出发构建WannierTools需要的数据这个Blog中的内容,因为现有一些程序是可以直接利用这些数据进行计算的,但是同样有时候需要利用实空间的tight binding数据来进行动量空间中的一些计算,这里就想整理一个比较通用的脚本,可以方便的将一个Wannier90输出的TB模型的数据,通过Fourier变换从而来得到动量空间中的哈密顿量,这样可以方便自己进行后面的一些计算. 数据结构分析这里就以最熟悉的BHZ模型为例,借用从紧束缚模型出发构建WannierTools需要的数据这篇Blog中的方法,来构建 H(\mathbf{k})=(m_0-t_x\cos k_x-t_y\cos k_y)\sigma_z+ A_x\sin k_x\sigma_xs_z+A\sin k_y\sigma_y这个哈密顿量的wannier90_hr.dat这个数据,程序如下123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134! Quantum Spin Hall! usage:! compile and run! gfortran hr_bhz.f90 -o hr_bhz! ./hr_bhz! H = Ax...

这里来整理一下在考虑了次次近邻hopping之后，如何利用迭代格林函数的方法来求解得到系统对应的边界态，这里所有的例子都是以动量空间的哈密顿量为基础，将其离散化到格点上之后进行计算的。{:.info} 模型这里仍然以最简单的Chern绝缘体模型为例子来进行学习 H(\mathbf{k})=(m_0-t_x\cos k_x-\cos k_y)\sigma_z+A_x\sin 2k_x\sigma_x+\sin 2k_y\sigma_y\label{s1}这里唯一不同的就是此时该模型的Chern数可以是$\pm 1,\pm...

人生当中成功只是一时的，失败却是主旋律。但是如何面对失败，却把人分成了不同的样子，有的人会被失败击垮，有的人能不断的爬起来继续向前。我想真正的成熟应该并不是追求完美，而是直面自己的缺憾，这才是生活的本质。罗曼罗兰说过，这个世上只有一种真正的英雄主义，那就是，认清生活的真相，并且仍然热爱她。{:.info}

这里来重复Surface States of topological insulator这片文章中的一个推到，因为在学习边界态理论的过程中始终会提及到这篇文章，而且其中的内容对理解表面态还是很有启发意义的，所以这里整理一下其中的一些推导。{:.info} H=(c_{0}+c_{z}k_{z}^{2}+c_{\parallel}k_{\parallel}^{2})+(-m_{0}+m_{z}k_{z}^{2}+m_{\parallel}k_{\parallel}^{2})\tau_{z}+v_{z}k_{z}\tau_{y}+v_{\parallel}(k_{y}\sigma_{x}-k_{x}\sigma_{y})\tau_{x}在考虑具体问题的时候，通常线性项是最重要的（因为拓扑的边界态，主要是domain wall的物理，而这部分通常只需要线性阶的近似就可以抓住本质，而且在形式上也就是要对应Dirac方程），这里先忽略二次项和一些常数项 H=-m_{0}\tau_{z}+v_{z}k_{z}\tau_{y}+v_{\parallel}(k_{y}\sigma_{x}-k_{x}\sigma_{y})\tau_{x}\label{eq1}这里对坐标系进行转动，通过观察哈密顿量可以发现每个$k_{i}$都会于一个矩阵相联系在一起 k_{z}\tau_{y},\quad k_{y}\sigma_{x}\tau_{x},\quad k_{x}\sigma_{y}\tau_{x}当对坐标系进行转动之后，假设新的空间坐标为$(k_{1},k_{2},k_{3})$，那么它们也同样会与一组新的矩阵组合在一起，这里假设在这个转动下，$\tau_{i}\rightarrow S^{i}_{1},\sigma_{i}\rightarrow...

在考虑空间坐标转动的时候，不可避免的遇到了欧拉转动的问题，借着这个机会整理一下SO(3)群和SU(2)之间的关系。{:.info}对于三维空间中的转动操作，可以利用欧拉转动操作来实现，这里转动按照右手系为参照，首先选定一个直角坐标$O-xyz$固定不动，另外有一个直角坐标系初始时与$O-xyz$重合，首先绕$z$周转动$\alpha$角，可转动的坐标系为$O-x^{‘}y^{‘}z^{‘}$，再绕着$y^{‘}$轴转动$\beta$角，坐标系为$O-x^{‘’}y^{‘’}z^{‘’}$，最后再绕着$z^{‘’}$轴转动$\gamma$角，最终转动的坐标系可以表示为$O-x^{‘’’}y^{‘’’}z^{‘’’}$，在这样的操作下，可以利用欧拉角来表示任意转动 R(\alpha,\beta,\gamma)=R(z^{''},\gamma)R(y^{'},\beta)R(z,\alpha)但这中表示并不是很方便，可以就采用相对固定坐标系$O-xyz$的转动，表示为 R(\alpha,\beta,\gamma)=R(z,\alpha)R(y,\beta)R(z,\gamma)这里的转动操作的表示矩阵为 R(\alpha,\beta,\gamma)=\left[ \begin{array}{ccc} \cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ \sin\alpha&\cos\alpha&0\\ 0&0&1 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} \cos\beta&0&\sin\beta\\ 0&1&0\\ -\sin\beta&0&\cos\beta \end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} \cos\gamma&-\sin\gamma&0\\ \sin\gamma&\cos\gamma&0\\ 0&0&1 \end{array} \right]\label{eq19}对于一个二维矩阵满足 u=\left[ \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right]\quad u^{\dagger}u=1\quad...

这里利用空间转动操作联系哈密顿量来推导一下如何对哈密顿量进行幺正变换从而实现对坐标系的转动，主要是Helical Higne Majorana Modes in Iron-Based Superconductor这片文章中结果的一些推导。{:.info}这里考虑一个3D拓扑绝缘体 \begin{aligned} H_{0}(\mathbf{k})&=m(\mathbf{k})\Gamma_{5}+v(\sin k_{x}\Gamma_{1}+\sin k_{y}\Gamma_{2}+\sin k_{z}\Gamma_{3})\\ m(\mathbf{k})&=m_{0}-m_{1}(\cos k_{x}+\cos k_{y})-m_{2}\cos k_{z} \end{aligned}这里的$\Gamma$矩阵满足下面的关系 \begin{aligned} &\Gamma_{1}=\sigma_{x}\otimes s_{x}\quad\Gamma_{2}=\sigma_{x}\otimes s_{y}\quad\Gamma_{3}=\sigma_{x}\otimes s_{z}\\ &\Gamma_{4}=\sigma_{y}\otimes s_{0}\quad \Gamma_{5}=\sigma_{z}\otimes...