利用格林函数求解边界态-V2
这篇博客中利用另外一种格林函数的方法来计算拓扑绝缘体的边界态.{:.info}在前面利用格林函数求解边界态这篇博客中利用迭代格林函数的方法计算了拓扑绝缘体的边界态,但是结果中边界态的确很明显,但是体态的性质却不会表现的很清晰,这里就像利用矩阵求逆的方式,直接计算哈密顿量对应的谱函数,从而来计算边界态和体态的性质,但是这个方法的缺点也是比较明显的,那就是耗时比较长. 模型仍然以拓扑绝缘体的哈密顿量为出发点 H(\mathbf{k})=(m_0-t_x\cos k_x-t_y\cos k_y)\sigma_z+\lambda_x\sin k_x\sigma_xs_z+\lambda_y\sin...
访问github.io网站的方法
很长一段时间,自己需要FQ才能看自己的博客,这里提供一个修改DNS服务器的方式来让自己的电脑可以访问github.io这样的网站.{:.info}自己居然不能访问自己的github.io网站,很是离谱,这里提供修改D首选NS服务器的方式来解决这个离谱的问题. 双击internet协议版本4,然后将DNS服务器的地址修改如下 将备用dns地址设为 8.8.8.8 (谷歌）首选可以设为本地运营商的或者公共dns服务器的，百度都可以查到；因为谷歌的服务器是在国外，所以可以访问形如xxx.github.io的网站，但是访问国内的网站速度可能会慢，所以才设为备选；首选设置成国内的，这样不影响正常使用。 还有几个其他的DNS备用选项 PublicDNS 首选：119.29.29.29 备选：182.254.116.116 114DNS 首选：114.114.114.114 备选：114.114.114.115 阿里 AliDNS 首选：233.5.5.5 备选：223.6.6.6 360 首选（电信/移动/铁通）：101.226.4.6 备选（电信/移动/铁通）：218.30.118.6 首选（联通）：123.125.81.6 备选（联通）：140.207.198.6 百度DNS 首选：180.76.76.76 CNNIC SDNS 首选：1.2.4.8 备选：202.98.0.68 参考 1.解决打不开 xxx.github.io的万能解决方法 公众号相关内容均会在公众号进行同步，若对该Blog感兴趣，欢迎关注微信公众号。{:.info} Email yxliphy@gmail.com
两维非厄米体系中的Fermion Doubling Theorems
这篇博客想通过精读一片研究两维非厄米体系中的Fermion Doubling Theorems的PRL文章,同时了解厄米与非厄米体系中的Fermion Doubling Theorems到底是什么.{:.info}在学习凝聚态中的拓扑的时候,总是看到Weyl点是要成对出现的(不过也有了一些材料研究,可以让Weyl点单独出现),这是背后由比较深刻的物理,涉及格点规范场论,暂时功力不够看不懂,我还没有完全理解,因为相关的文章比较老;不过最近在活跃的非厄米体系中开始研究Fermion Doubling Theorems问题,我感觉和Weyl点成对出现是有关联的,所以准备借这篇非厄米的文章来学习一下这个概念,如有大佬清楚这里面的联系,还请不吝赐教. Fermion doubling当简单得尝试将一个费米子场放置到格点上的时候,就会出现一些虚假的状态,这样一来,每个原始的费米子会出现2d个费米子粒子,这里d是系统的维度. 下面利用凝聚态的语言理解一下,假定是利用连续模型来描述能带,那么在$\Gamma=(0,0)$的时候,模型是个massless的Dirac方程,在这个点就有Dirac费米子,当把连续模型变成紧束缚模型之后,就会把原本的无限大的空间$k\rightarrow+\infty$限制到第一布里渊区中,假定是正方点整,那么在布里渊区中的每个角落处于中心$\Gamma$点是等价的,此时在这些点上再对紧束缚模型做低能展开,同样可以得到连续模型,只不过此时前面的系数会出现一个负号,或者不出现负号,也就是说在格点模型上Fermion的数目不再是一个了,这也就是Fermion doubling. Mathematica overview在$d$维的时候考虑质量为$m$的自由Dirac费米子,其作用量为 S=\int d^dx\bar{\psi}(i\gamma_\mu...
拓扑绝缘体哈密顿量推导
这篇博客整理一下在拓扑材料Bi$_2$Se$_3$计算中,通过能带成分和对称性分析,再结合微扰论来推导低能有效模型,主要是对文章进行翻译,过程中会加一点自己的笔记.{:.info}虽然对拓扑绝缘体的材料和对应的模型都很熟了,但是始终没有掌握如何从具体的材料出发,来得到其对应的低能哈密顿量,从而可以在材料的基础上,对模型进行研究.这里就想通过精读Model Hamiltonian for topological insulators这篇文章,来掌握一下这个方法. 晶体结构首先来明确材料Bi$_2$Se$_3$的晶体结构等信息.首先在Material Project这个网站中找到这个材料,其晶体结构时菱形的,对应的空间群是$D_{3d}^5(R\bar{3}m)$,其晶体结构如下图所示,沿着$z$方向是个层状结构,每个元胞中有5个原子, 两个蓝色标记的等价Bi原子(Bi1,Bi$1^\prime $),两个绿色标记的等价Se原子(Se1,Se$1^\prime $),还有一个黄色的Se原子,它与Se1原子是不等价的,5个原子层构成一个元胞,通常被称为quintuple layer. 沿着$z$方向看,每个原子层都形成了三角晶格,而且每一层的排列方式都是不同的. 沿着$z$方向,这些三角层以$A-B-C-A-B-C-\cdots$的方式进行堆叠,此时元胞基矢$t_i,i=1,2,3$并不是沿着$z$方向的.比如在五元层中Se2原子占据了$A$位置,那么在下一个五元层他就会占据$c$或者$B$,而不会继续占据$A$位置.这里直角坐标轴的选取如下:$z$方向是垂直于原子层的,$x$轴是沿着一个二元轴,具有两重旋转对称,$y$轴是沿着等分线轴,它是反射面与Se2原子层的交线. 对称性这个晶体结构具有下面的一些离散对称性: 沿$z$方向三重旋转$R_3^z$$R_3^z$可以通过下面的变换产生:$x\rightarrow x\cos\theta-y\sin\theta,y\rightarrow x\sin\theta+y\cos\theta,z\rightarrow z,\theta=\frac{2\pi}{3}$ 沿着$x$方向的两重旋转$R_2^x$这个操作对应着$x$方向不动,$z,y$方向都反演,$x\rightarrow x,z\rightarrow...
同伦概念学习(Homotopy)
同伦是在学习凝聚态拓扑的时候会遇到的一个概念,尤其是在学习拓扑分类的时候.这里就整理一下同伦这个概念,自己在学习时候的笔记.{:.info} 基本概念定义一个映射 \phi:M\rightarrow T,\\ z\rightarrow \phi(z)这里的$M$是个”基本流形”(通常是$\mathbb{R}^d$),$T$在这里是”目标空间”. 在超导自发对称破缺的情况下,目标空间为$T=G/H$,这里的群$G$是研究问题的对称群,而$H$满足$H\subset G$是在Goldstone modes结构附近稳定平均场的一个子群. 拓扑空间 假设$X$是一个集合,$\mathcal{J}=\{Y_i\subset X\rvert i\in I\}$是它的一系列子集.组合$(X,\mathcal{J})$是一个拓扑空间当其满足 (a) \{\},$X\in\mathcal{J}$ (b) 对于$J\subset I$, $\cup_{i\in J}Y_i\in\mathcal{J}$ (c) 对于一个有限子集$J\subset I$, $\cap_{i\in J}Y_i\in\mathcal{J}$ $\mathcal{J}$中的元素称为$X$的开子集(open subset). 在讨论拓扑的时候总是说一个量并不会随着场的连续形变下发生改变,无论这个形变程度有多大,而定义这种连续性就需要在拓扑空间中. 连续两个拓扑空间$X,Y$之间存在一个映射$\phi$ \phi:X\rightarrow Y如果任何一个开集$U\subset Y$,集合$\phi^{-1}(U)\subset X$在$X$中是开的,那么就说这个映射是连续的. 事实上，实际考虑也使我们能够更具体地了解基础流形的结构。假设我们的微观母理论被定义在一些简单连通的流形上$M\subset \mathbb{R}^d$, 我们通常所关心的都是在热力学极限下的情况,此时可以将$M$看做是”无限大”的物体.在低能理论中,这就要求在$M$的边界上场构型一定趋近于常数$\phi\rvert_{\partial...
时间反演不变绝缘体的拓扑场论
这篇博客中,整理自己在学习拓扑绝缘体相关的拓扑场论过程中的一些概念整理和自己的笔记,主要是对文章进行翻译,过程中会加一点自己的笔记。{:.info} 第一Chern数:对Berry 位相规范场的曲率在整个BZ中的积分。 在1D时,在绝热演化的泵浦循环周期中,电子极化或者净电荷泵浦数目正好对应于Berry位相在动量及参数混合空间中的积分,和Chern数也存在一定的关联(2D)。这个积分得到的整数正是量子化的拓扑数。 拓扑磁电效应(TME):外加一个电场,会在相同的方向上诱导出磁场,其比值是个普适的常数,一个奇数乘以乘以精细结构常数$\alpha=e^2/(\hbar c)$。 第一Chern数及(2+1)维拓扑响应函数一个(2+1)维的紧束缚哈密顿量为 H=\sum_{m,n;\alpha,\beta}c^\dagger_{m\alpha}h^{\alpha\beta}_{mn}c_{n\beta}在实空间中,矩阵的维度大小及对应着能带数目,$\alpha,\beta=1,2,\cdots,N$。当系统具有平移对称性的时候$h^{\alpha\beta}_{mn}=h^{\alpha\beta}(\vec{r}_m-\vec{r}_n)$哈密顿量可以在Bloch基矢下写成对角形式 H=\sum_{\bf k}c^\dagger_{\mathbf{k}\alpha}h^{\alpha\beta}({\bf k})c_{\mathbf{k}\beta}当存在外部电磁场耦合时 h^{\alpha\beta}_{mn}\rightarrow h^{\alpha\beta}_{mn}e^{iA_{mn}}这里$A_{mn}$是定义在离散格点上的规范势。在线性阶近似下,耦合电磁场的哈密顿量为 H\simeq\sum_{\bf k}c^\dagger_{\bf k}h({\bf k})c_{\bf k}+\sum_{\bf k,q}A^i(-{\bf q})c^\dagger_{\bf k+q/2}\frac{\partial h({\bf k})}{\partial k_i}c_{\bf k-q/2}系统对外场$A^i({\bf q})$的直流响应可以通过标准的Kubo公式得到 \sigma_{ij}=\text{lim}_{\omega\rightarrow...
