Yu-Xuan's Blog

通常会遇到WannierTools计算紧束缚模型的问题,有时候也会遇到只有wannier90_hr.dat这个数据,那么怎么样可以通过这个数据来分析出对应的紧束缚模型到底是什么样的,这里就利用Mathematica来计算一下如何将wannier90_hr.dat读入,然后可视化的将(x,y,z)方向上的对应的矩阵元素表示出来,这样可以便于问题的分析. Pauli矩阵构建首先我们先将需要用到的Pauli矩阵构建出来,我这里假定只有两个泡利矩阵的直积,更多自由度之间的直积,在这里进行拓展即可 数据读入可视化这里其实就是简单的将数据读入,然后利用表格的方式进行可视化,让整个结构看起来比较清晰, 结果如下所示 这里的红色标记的正好就是Wanniertools Tight Binding中对应的(x,y,z),剩下的就是矩阵不分了,接下来的工作就是将这个矩阵表示为Pauli矩阵的直积形式,这个工作在前面我已经涉及到过. 如果想要得到一个对应的矩阵如何分解成Pauli矩阵的直积形式,可以参考有效边界理论(spinor部分)这篇文章.{:.success} 代码下载所有的内容可以点击这里下载 公众号相关内容均会在公众号进行同步，若对该Blog感兴趣，欢迎关注微信公众号。{:.info} Email yxliphy@gmail.com

之前学习用WannierTools来计算一些拓扑性质,其中也涉及到了利用它来研究一个紧束缚模型的问题,这里主要是详细分析一下我们如何从紧束缚模型出发来造出WannierTools所需要的数据结构. 紧束缚模型哈密顿量 \begin{equation} H(\mathbf{k})=A_x \sin(k_x)\sigma_x s_z + A_y \sin(k_y) \sigma_y s_0 + (m_0 - t_x \cos(k_x) - t_y \cos(k_y))\sigma_z s_0 + h_z \sigma_0 s_x\label{ham1} \end{equation}这是一个2D量子自旋霍尔效应, 在其中加上一个Zeeman场$h_z$. 参数选取为$m_0=1.5, t_x=t_y=1.0, A_x=A_y=1.0, h_z=0.2.$ 紧束缚模型哈密顿量的做法就是将三角函数改写成指数函数形式 \begin{equation} \sin(k_x)=\frac{1}{2i}(e^{ik_x}-e^{-ik_x})\qquad \cos(k_x)=\frac{1}{2}(e^{ik_x}+e^{-ik_x}) \end{equation}这里假设了晶格常数$a=1$ \begin{equation} \begin{aligned} &e^{ik_x}\rightarrow(100)\text{hopping}\qquad e^{-ik_x}\rightarrow(-100)\text{hopping}\\ &e^{ik_y}\rightarrow(010)\text{hopping}\qquad e^{-ik_y}\rightarrow(0-10)\text{hopping}\\ &e^{ik_x+ik_y}\rightarrow(110)\text{hopping}\qquad e^{-ik_x-ik_y}\rightarrow(-1-10)\text{hopping}\\ &e^{ik_x-ik_y}\rightarrow(1-10)\text{hopping}\qquad...

这篇文章主要记录一下自己学习Willson loop时候的笔记,因为他实空间中的一些物理图像非常好用,而且也和拓扑不变量是有非常深刻的联系.虽然在前面我在计算拓扑不变量的时候,也使用过Willson loop,但是却没有仔细的对一些概念进行深入的理解,最近正好在看和高阶拓扑相关的文章,里面Willson loop起到了非常关键的作用,这里就整理一下自己的学习笔记. 在晶体中电子的分布是没有确定的位置的,都是以电子云来描述的,但是任然可以在确定的方向上电子出现的概率相对比较大,这里就先从实空间与栋梁空间两个角度来理解电子在一个周期的循环中,到底是如何变化的. 位置算符首先实空间的位置算符可以表示为 \hat{x}=\sum_{R,\alpha}=c^\dagger_{R,\alpha}\rvert 0\rangle e^{-i\Delta_k(R+r_\alpha)}\langle 0\rvert c_{R,\alpha}这里$\alpha$代表元胞中不同的轨道,$R$则代表着晶体中不同的元胞,$r_\alpha$表示元胞中不同轨道$\alpha$相对于正电荷中心的距离.$\Delta_k=2\pi/N$,$N$是晶体中元胞数目.利用傅里叶变换 \begin{equation} \begin{aligned} c_{R,\alpha}&=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_ke^{-ik(R+r_\alpha)}c_{k,\alpha},\\ c_{k,\alpha}&=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_Re^{ik(R+r_\alpha)}c_{r,\alpha} \end{aligned} \end{equation}这里的$k\in \Delta_k\cdot(0,1,\cdots,N-1)$.采用周期性边界条件 c_{R+N,\alpha}=c_{R,\alpha}\rightarrow c_{k+G,\alpha}=e^{iGr_\alpha}c_{k,\alpha}这里的$G$是倒空间的晶格矢量.在这个新的基矢下可以将位置算符改写为 \hat{x}=\sum_{k,\alpha}c^\dagger_{k+\Delta_k,\alpha}\rvert 0\rangle\langle 0\rvert...

前面的一篇博客利用表面格林函数计算了边界态,虽然相比于通常对角化哈密顿量矩阵的方法要节省之间,但是迭代的收敛速度会比较慢,这里就提供一种收敛速度更快的方法来计算边界态.在之前的利用格林函数求解边界态这篇博客中,利用边界格林函数的方法计算了边界态,但是这个算法的收敛速度会比较慢,这里就提供一个收敛速度更快的方案来计算边界态.关于这个算法的内容可以参考Highly convergent schemes for the calculation of bulk and surface Green functions这篇文章,里面有对算法详细的描述. 模型方法这里选用BHZ模型 H(\mathbf{k})=(m_0-t_x\cos k_x-t_y\cos k_y)\sigma_z+\lambda_x\sin k_x\sigma_xs_z+\lambda_y\sin k_y\sigma_y\label{ham}至于具体的计算方法可以阅读Highly convergent schemes for the calculation of bulk and surface Green...

从转角石墨烯发现超导以来,转角已经成为了一个非常火热的研究方向,这里就简单的利用Mathematica实现转角石墨烯中的摩尔纹.作为凝聚态物理的研究生,转角石墨烯的火热让人感受颇深,这里我就想利用程序来看看转角石墨烯中的摩尔纹是怎么随着转角而变化的. code这里直接上代码和结果,这里第一种方案是利用点位置来作图 第二种方案是直接使用石墨烯的格点坐标来绘制 四方点阵转角既然转角很火,那么四方点阵也自然可以研究转角,比如最近在转角双层铜基超导上发现拓扑的存在 代码下载上面的代码可以点击这里下载 公众号相关内容均会在公众号进行同步，若对该Blog感兴趣，欢迎关注微信公众号。{:.info} Email yxliphy@gmail.com

这里是利用边界格林函数方法来计算边界态,相比于通常取cylinder的方法,计算速度上是要快一些,做出来的图可以更加清晰的反映边界态的特征.在之前的Hamiltonian构建时的基矢选择这篇博客中,虽然是和哈密顿量基矢选择有关的问题,但是我同样展示了如何通过一个紧束缚哈密顿量来计算拓扑边界态,虽然这个方法也很常见,用的也比较多,但是有时候为了反映一些局部的特征,可能需要把开边界的格点数目取的非常大,这就会使的计算量变得很大,耗时较长,这里就想利用边界格林函数的方法来计算边界态,它的优点是此时需要的矩阵维度是很小的,主要就是进行迭代计算,如果所需要的精度合适,计算速度上的提升是非常客观的,而且可以将边界态的某些细节反映的非常好,这里就整理一下如何利用边界格林函数来计算这样的边界态. 模型方法这里选用BHZ模型 H(\mathbf{k})=(m_0-t_x\cos k_x-t_y\cos k_y)\sigma_z+\lambda_x\sin k_x\sigma_xs_z+\lambda_y\sin k_y\sigma_y\label{ham}计算方法如下,已经知道了$H$之后,系统的格林函数可以写作 G^{-1}(z)=z-H=\left(\begin{array}{cccc} z-H_0&C&0&0\\ C^\dagger&z-H_0&C&0\\ 0&C^\dagger&z-H_0&C\\ 0&0&C^\dagger&\cdots \end{array}\right)\label{gf}where the diagonal block H0 describes the Hamiltonian within the same “principal...