时间反演对称及算符变换
时间反演虽然在前面对时间反演算符做过一些计算,但是对其具体的含义还有一些物理图像并没有很清晰的认识,在这里就仔细的对这个算符进行一些物理图像上的解释,同时也能够更好的理解到底时间反演是一个什么样的物理过程.{:.info}首先有一个量子态$\rvert a\rangle$,它有一个与其对应的时间反演态$\Theta\rvert a\rangle$,这里的$\Theta$就是时间反演算符,它是个反幺正的,这一点在后面会进行解释. \rvert a\rangle\rightarrow\Theta\rvert a\rangle这里的$\Theta\rvert a\rangle$从一个更加贴切的图像上来理解的话,应该叫做运动反演态,因为所谓时间反演,就是让这个运动沿着相同的轨迹,再演化回去,回到最初的哪个状态.那么可以想象,如果是一个运动的话,其时间反演不就正好是把这个运动过程反过来进行么,这是我对这个图像浅显的理解.也就是说如果$\rvert a\rangle$对应的动量为$\mathbf{p}$,那么$\Theta\rvert a\rangle$这个时间反演态对应的动量就应该是$\mathbf{-p}$,这样才可以保证沿着原来的运动轨迹再跑回去.那么相同的,这个解释对于角动量也是试用的,这一点从角动量表达式$\mathbf{J}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$就可以看出. 接下来利用薛定谔绘景中的时间演化算符来对时间反演做进一步说明.假定再$t=0$时刻状态为$\rvert a\rangle$,那么再经过了时间$t=\delta t$之后系统的状态可以表示为 \rvert a,t_0;t=\delta t\rangle=(1-\frac{iH}{\hbar}\delta t)\rvert a\rangle这里的时间演化就主要是由哈密顿量H来表征的了.下面对时间反演态$\Theta\rvert a\rangle$来做时间演化 (1-\frac{iH}{\hbar})\Theta\rvert a\rangle因为$\Theta\rvert a\rangle$是$\rvert a\rangle$的时间反演态,那么上面的表达式理解成时间反演态在进行时间演化算符,它应该和下面的状态属于同一个态 \Theta\rvert...
表面电荷与极化多值性理解
在学习Berry位相与电荷极化的过程中,总算是成功的理解了便面电荷密度和电荷极化之间的联系,以及表面电荷的多值问题,这里就把自己的一些理解和写的一些代码整理出来,也加深一下自己对这个概念的理解.我这里所有的内容都是来自于Berry Phase in electronic structure...
VASP计算Si的Cubic diamond结构理解第一性计算的能带
之前在看第一性计算的文章时,总会看到对于哪个能带,它的主要贡献是来自于哪个原子的哪个轨道的贡献,一直对这一点都是很不解,因子自己的研究方向涉及到拓扑,那么经常也会接触到能带反转,这个时候区分哪个轨道对哪个能带产生贡献,分析是否发生能带反转就变的特别重要,最近正好在参考官网上面的实例学习vasp简单的计算,也接触到了这方面的内容,正好对这个内容进行一下整理,也整理一些自己的理解.{:.info} Cubic diamond Si计算POSCAR123456789cubic diamond # 体系命名 5.5 # 晶格常数(缩放系数) 0.0 0.5 0.5 # 三个元胞基矢 0.5 0.0 0.5 0.5 0.5 0.0 2 # 每个元胞中包含2个Si原子Direct # 采用分数坐标 -0.125 -0.125 -0.125 0.125 0.125 0.125 INCAR123456System = diamond Si ISTART = 0 # 决定是否直接读取已经计算得到的波函数信息ICHARG = 2 # 2代表电荷密度取不同原子电荷密度的叠加ENCUT = 240 # 设置最大截断能ISMEAR = 0 # 设置能带占据的展宽方法,0代表选择高斯展宽SIGMA = 0.1 # 高斯展宽中的sigma因子 KPOINTS12345k-points 0 # 自动生成k点Monkhorst Pack #选取生成k点的方法 11 11 11 # 控制k点生成数目 0 0 0 # 生成k点时的平移控制 有了上面的文件之后,再从赝势库里面找到Si原子的赝势,命名为POTCAR和上面的文件放在相同的文件夹内,然后运行vasp mpirun -np 20 vasp 上面的计算执行完成之后,会产生一个CHGCAR的文件,利用这个文件就可以进行接下来的计算. 态密度(DOS)INCAR接下来就是利用上面计算好的输出文件,进行进一步的性质计算,首先需要对INCAR文件进行修改123456System = diamond SiISTART = 0ICHARG = 2ENCUT = 240ISMEAR = -5 # 另外一种计算能带占据函数的方法LORBIT = 11 #...
VASP基本输入文件准备
在学习VASP的时候,看了很多教程,但看完后对一些东西的理解忘的也快,所以索性自己也通过博客的形式来把一些基本的参数输入记录一下,并加入自己对这些参数的认识,这样学习完之后还可以有笔记可查,如果忘记了还可以回来看看自己的笔记.这里我主要想把VASP最基本的4个输入文件:INCAR,POTCAR,POSCAR,KPOINTS,的最简单的输入参数进行整理,并结合自己所学的知识,尽量对这些参数的含义写出自己的理解.{:.info} INCAR首先要说明一点,VASP的所有输入文件名都是大写的,这应该是个习惯问题,毕竟是Fortran写的程序,而Fortran最初的习惯就是用大写形式进行编程,后来应该是形成习惯了,也就一直沿用大写的方式,所以在准备这四个最基本的文件的时候,还是保持软件的习惯比较好.{:.warning} INCAR是非常重要的输入文件,它决定了你要做什么,要怎么做,其中包含了很多参数,但是不必太担心,绝大多数参数都是由默认值的,如果你不清楚某些参数的具体含义,那么就不要修改它,利用提供的默认值即可.由于这个文件包含的参数很多,一一罗列并没有什么意义,所以最后我准备以VASP wiki上,最简单的氧(O)原子为实例展示一下最基本的INCAR参数. POTCAR这个文件包含了计算时对每个原子所使用的赝势.通常情况下,安装好VASP后就会连带着有赝势文件. 可以看到在我的vasp安装路径下有一个POT文件夹，里面包含了不同形式的赝势,而每个赝势文件夹下面则都是一些原子的赝势,赝势文件的选取就要根据自己计算的体系的性质来选取了,我也是刚开始学习,对如何选择合适的赝势文件并没有经验,就不多介绍了.通常情况你计算的体系中肯定不会只包含一种原子,那么我们这个时候就要对不同原子的赝势文件进行拼接,将它们整合到同一个文件中,并命名为POTCAR,然后将这个文件放到和INCAR相同的文件夹下面. 假设我的体系中含有O,C,H三种原子,那么我在这里选取的是PWA_LDA这种赝势,将这里面的三个元素的赝势POTCAR分别提取出来(cat...
Rashba及Dresselhaus自旋轨道耦合(SOC)的推导及一些理解
虽然在看拓扑领域的文章中,经常提到自旋轨道耦合是很重要的,而且也经常遇到Rashba和Dresselhaus这两种不同的自旋轨道耦合,但也一直没有仔细去看过它们之间到底有什么区别与联系,在这里就从推导自旋轨道耦合的具体表达式开始,然后再详细的讨论一下这两种不同的自旋轨道耦合到底有什么不同与联系.{:.info} 自旋轨道耦合推导电子带电荷$-e$绕原子核以速度$\bf{v}$运动的时候,会存在自旋磁矩.电场对静止的磁矩是不存在相互作用的,而对运动的磁矩,电场将会与其发生相互作用,所以自旋磁矩和由原子实在该处产生的电场将产生相互作用,这就是自旋轨道相互作用的起源. 因为运动是相对的,上面的分析是将坐标系放在了原子实上面,那么接下来将坐标系放在电子上面,那么就是原子核绕着电子运动.这时候自旋轨道耦合效应可以理解为,电场$\bf{E}$以速度$-\bf{v}$运动产生一个磁场$\bf{B}$,这个磁场对自旋存在力矩的作用.磁场可以根据毕奥萨法尔定律计算 \boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0} \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{r}}{r^{3}}=\mu_{0} \varepsilon_{0}(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{E})这里$\bf{v}$是电子的速度,$\bf{E}$是原子核在电场处产生的电场.利用电场分布的径向分布形式即 E=\frac{1}{e} \frac{\partial V}{\partial r} \frac{r}{r}上式中V是原子核对电子的库伦势,利用轨道角动量关系$\bf{L}=r\times p$,及$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$,可将磁感应强度写作 \boldsymbol{B}=\frac{1}{e m c^{2}} \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r} \boldsymbol{L}\label{eq2}上式即表示在电子坐标系中原子实在电子处产生的磁场.考虑自旋之后,自由电子的哈密顿量为 H=\frac{(\boldsymbol{\sigma} \cdot p)^{2}}{2...
BCS平均场近似及Bogoliubov对角化
BCS理论对解释常规超导的解释很成功,这里我就整理一下如何对BCS哈密顿量做平均场处理,使其变成两粒子算符形式,然后利用Bogoliubov变换来对这种两粒子算符进行对角化处理.{:.info} 平均场近似BCS哈密顿量为 \hat{H}=\sum_{k} E_{k}\left(C_{k}^{+} C_{k}+C_{-k}^{+} C_{-k}\right)-V \sum_{k, k} C_{k^{\prime}}^{+} C_{-k}^{+} \cdot C_{-k} C_{k}通常选取费米面为能量零点,可以将哈密顿量进行约化得到 \bar{H}=\hat{H}-E_{\mathrm{F}} \hat{N}=\sum_{k} \varepsilon_{k}\left(C_{k}^{+} C_{k}+C_{-k}^{+} C_{-k}\right)-V \sum_{k, k} C_{k}^{+} C_{-k}^{+} \cdot C_{-k} C_{k}\qquad \epsilon_k=E_k-E_F\label{bcs}为了求解(\ref{bcs})的本征函数和本征值,我们能处理的只能是二次型,也就是两粒子算符构成的哈密顿量,首先在超导态下,同时产生两个粒子或者同时消灭两个粒子这种过程发生的几率是不为零的(在正常态中,这种形式的几率是0) \left.\begin{array}{l} \langle C_{k}^{+} C_{-k}^{+}\rangle \equiv\langle 0\left|C_{k}^{+} C_{-k}^{+}\right| 0\rangle \neq 0 \\ \langle C_{-k} C_{k}\rangle \equiv\langle 0\left|C_{-k} C_{k}\right| 0\rangle \neq 0 \end{array}\right\}那么就可以将四算符进行两两分拆,并代入下面的关系 \left.\begin{array}{l} C_{-k} C_{k}=\langle C_{-k} C_{k}\rangle +\left(C_{-k} C_{k}-\langle C_{-k} C_{k}\rangle \right) \\ C_{k}^{+} C_{-k}^{+}=\langle...
