Hubbard 模型平均场(简单介绍)
简单先整理一下Hubbard模型平均场处理的方法。{:.info} 前言Hubbard模型作为凝聚态研究中许多有趣效应的出发点，具有很重要的研究价值。在固体物理最简单的处理中，就是忽略了电子与电子之间的相互作用，也就有了自由电子近似等处理方法。因为在不考虑电子之间相互作用的时候，哈密顿量是两算符形式，可以将其表示为矩阵形式，从而严格求解。但电子之间的相互作用总是存在的，有时候不可避免的是要考虑相互作用的，此时Hubbard相互作用会引入四算符形式，哈密顿量不能再向两算符形式那样简单的表示为矩阵，进行对角化研究该模型。研究超导必然会接触Hubbard模型，有时候则是通过平均场的方法进行处理，该方法简单(目前我也只会这个，强关联太难了，暂未涉猎)，本质上的想法就是将原本的四算符形式分解成两算符再乘以另外两个算符的平均值。从处理方法上来看还是比较简单的，但也的确在研究一些问题的时候很好的抓住了问题的核心，比如用平均场方法研究超导时，将Hubbard相互作用分解成两个产生算符乘以两个湮灭算符的平均值，这样就将哈密顿量变成了都是有两个算符组成的形式(在超导里面这样得到的就是BdG哈密顿量，可参考正常态哈密顿量到BdG哈密顿量的构建这篇文章)。在研究比如拓扑超导的时候，其实出发点也都是BdG哈密顿量，只不过其与绝缘体哈密顿量相比较而言，超导打开的能隙就类比于绝缘体的能隙，如果只从形式上来，似乎也没什么区别。比如看拓扑绝缘体与2D拓扑p波超导体，看起来二者的哈密顿量几乎是一样的，只不过就是其中Pauli矩阵的自由度代表了不同的含义，在超导中通常就说是Nambu自由度(粒子-空穴)。而且利用平均场研究研究其它的序也是可以的(铁磁序，自旋密度等)。这里先简单的介绍一下Hubbard模型平均场处理的内容，关于Hubbard模型更加详细的可以参考The Hubbard Model: A Computational Perspective和The Hubbard Model这两篇在Annual Review of Condensed Matter Physics上的综述文章。{:.info} 公众号相关内容均会在公众号进行同步，若对该Blog感兴趣，欢迎关注微信公众号。{:.info} ...
超导中的约瑟夫森效应
关于超导约瑟夫森效应的笔记。{:.info} 前言超导体除了抗磁效应在实际生活中有一定的应用之外，它还存在约瑟夫森(Josephson)效应，结构就是在两个超导体之间放置一个绝缘体，实验发现这个三明治结构在不加入电压的时候存在自然的电流。如果在超导两侧加入不随时间变化的稳定电压之后，则会出现随时间变化的交变电流。这两种现象就分别成为直流约瑟夫森效应和交流约瑟夫森效应，这两个特征都可以在实际生活中有一定的应用。这个效应是有Brian Josephson在理论上首先提出来的，之后也很快就被实验验证了，而且Josephson在提出这个效应的时候，也是在22岁上博士的阶段，楷模一般的人物，之后他也凭借着这个理论预言和两个实验物理学家共享了1973年的诺贝尔物理奖。{:.info} 公众号相关内容均会在公众号进行同步，若对该Blog感兴趣，欢迎关注微信公众号。{:.info} Email yxliphy@gmail.com
拓扑绝缘体(BHZ模型)边界态理论计算
解析求解拓扑绝缘体边界态{:.info} 前言拓扑物态的研究已经成为了凝聚态研究中重要的一部分，我先不赘述与拓扑相关的基本知识了，其实在之前的量子几何张量与量子度规(1)这篇文章中，已经给出了基本的Berry位相以及Berry曲率的概念。 2D拓扑绝缘体是受到时间反演对称性保护的具有helical的边界态，在六角晶格上的就是Kane-Mele模型，而在四方晶格上就是BHZ模型来研究。在这里就先关注一下比较简单的BHZ模型，关于数值如何计算边界态在这里就先不关注了，这里主要是通过解析的方式给出拓扑绝缘体的边界态。 以上就是BHZ模型解析求解得到的边界态，可以看到在能带反转点处，它与数值的结果是一致的。上面给出的是在一个确定了$x，y$方向之后，给出的边界态理论，其实也可以将模型转换到$2D$极坐标系统中，或者令直角坐标轴转动起来，此时$x$和$y$都是角度依赖的，同样可以在这样的情况下给出完整的边界态理论。 公众号相关内容均会在公众号进行同步，若对该Blog感兴趣，欢迎关注微信公众号。{:.info} Email yxliphy@gmail.com
超导中的金兹堡-朗道(Ginzburg–Landau )理论
在理解超导体的基本物理现象时，通过唯象的金兹堡-朗道理论(GL theory)是个不错的出发点，通过GL理论与电动力学中的麦克斯韦方程可以描述超导体的许多性质，其中之一就是超导完全抗磁性(Meissner 效应)。{:.info} 前言在理解超导体的基本物理现象时，通过唯象的金兹堡-朗道理论(GL theory)是个不错的出发点，通过GL理论与电动力学中的麦克斯韦方程可以描述超导体的许多性质，其中之一就是超导完全抗磁性(Meissner 效应)。简单介绍一下超导，主要实验现象有两个：(1)当温度降到某一临界温度Tc以下，体系的电阻为零；（2）Meissner效应。这两个现象就是实验上验证一个材料是否为超导的判据，缺一不可。常规超导体从实验发现到BCS理论(量子理论)解释经历了大约半个世纪，而早期的伦敦方程以及GL方程这些唯象的理论在描述超导体的一些性质上也给出了成功之处。在当前的研究中，利用唯象的GL方程同样可以解释许多实验结果，比如最近实验关注度较高的Superconducting diode effect(类似于超导体系中的二极管效应，主要现象之一是超导临界电流的非互易)，通过位相的GL方程也对其中很多实验结果给出了解释。言归正传，回到超导体中的GL方程，有机会也会分享上面提到的超导二极管效应的一些理论和实验。 公众号相关内容均会在公众号进行同步，若对该Blog感兴趣，欢迎关注微信公众号。{:.info} Email yxliphy@gmail.com
量子几何张量与量子度规-学习笔记
最近接触到了一个感兴趣的研究方向，其中涉及到了量子几何张量(Quantum geometry tensor)和量子度规(quantum metric)的概念，目前我正在学习过程中，整理了部分的内容，后续会将跟其相关的研究文献也进行解读和分享。{:.info} 接下来可能所有的笔记都会是以图片形式整理了，因为考虑到要在公众号上同步，而且公众号里面不能出现公式引用的链接(目前我还没解决这个问题，最近有点忙，后面会尝试解决)，所以所有的笔记都是用Latex模板整理的，然后在公众号和Blog上同步。{:.warning} 公众号相关内容均会在公众号进行同步，若对该Blog感兴趣，欢迎关注微信公众号。{:.info} Email yxliphy@gmail.com
Andreev Reflection Note
Andreev反射作为超导独特的性质，在很多方面都有独特的现象，最近学习相关方面的知识，这里就先整理了一下。{:.info} Andreev Reflection考虑如上图所示的正常态-超导异质结，沿着$x$方向标记为纵向方向，将$(y,z)$方向标记为横向。两种不同属性的交界面位于$x=0$处，这个系统对应的BdG方程为 \left(\begin{array}{cc} \mathcal{H}_{e} & \Delta \\ \Delta^{*} & -\mathcal{H}_{e}^{*} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right)=E\left(\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right)这个junction中的超导序参量就是阶跃函数的形式 \Delta(x)=\Theta(x)\Delta_0 e^{i\varphi}这里假设系统沿着纵向和横向是可分离的，那么可以将波函数分解为纵向部分和横向部分 \begin{equation} \Psi(x,y,z)=\psi(x)\Phi_n(y,z)\left\{ \begin{array}{c} \psi(x)\quad\rightarrow\text{纵向波函数}\\ \Phi_n(y,z)\quad\rightarrow\text{横向波函数} \end{array} \right. \end{equation}这里$n$表示横向模式量子数，满足 [-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial z^2}+\frac{\partial^2}{\partial...
