接触量子自旋霍尔效应很久了，但是一直也都是在square lattice上做计算， 从来没有认真的在六角点阵上计算过拓扑的内容，正好最近在看文献的过程中需要在石墨烯机构上进行， 就从最基本的Kane-Mele 模型出发学习怎么在六角点阵上写出最近邻以及次近邻的哈密顿量。
关于最近邻之间的hopping在前面石墨烯的边界态文章中已经仔细考虑过，包括cell的选取还有原子的编号，在这里。现在唯一的不同就是要考虑次近邻之间的hopping。在这里暂时并未考虑Rashbo自旋轨道耦合。
基本设定
\[H = t_1\sum_{<i,j>\alpha}c_{i\alpha}^\dagger c_{j\alpha})+it_2\sum_{<<ij>>\alpha\beta}v_{i,j}s^z_{\alpha\beta}c_{i\alpha}^\dagger c_{j\beta}\]蓝色虚线框中是选择的一个大cell，在y方向是有限长度，在x方向是无限的，所以$k_x$是个好量子数，这种边界态叫zigzag；当x方向开边界，y方向无限长时的边界态叫armchair，可以参考这里。格点之间的hopping可以在一个大cell之内，可会存在大cell之间的hopping，在下面会逐一展示。关于Kane-Mele模型中的$v_{ij}$的示意如上图_hopping_蓝色箭头所示，当格点连线在hopping的右侧时$v_{ij}=-1$，在左侧时$v_{ij}=1$；将一个大cell划分成更小的周期重复结构，如上图右下图所示，并分别编号。第一张图所示的是最近邻hopping的选择。
与之前的Graphene模型相比较，这里是有两个自旋的，不过唯一的影响的只是第二项，对于上下自旋的不同相差一个符号，并不会对hopping的分析有影响。
次近邻hopping
在虚线框中的是一个大cell，在右侧的是一个小cell，在写Hamiltonian的时候是以小cell为基本单元进行的。
首先可以看到，无论是边界上的小cell还是非边界上的小cell，都会具有如图中紫色虚线箭头所示的次近邻hopping，而且这些hopping是在同一个大cell内的。这种情况中格点连线都在hopping线的右端$v_{ij} = -1$，即就是对应$exp(-im*phi0)$，这里用$e^{i\phi_0}=\cos(\phi_0)+i\sin(\phi_0)$来更加方便的将模型中第二项的虚数因子吸收进来。此时的基矢选择为$\Psi^\dagger=(c^\dagger_{1\uparrow},c^\dagger_{1\downarrow},c^\dagger_{2\uparrow},c^\dagger_{2\downarrow},\dots,c^\dagger_{n\uparrow},c^\dagger_{n\downarrow})$，在这里补充一点，基矢的选择并不是只有这一种方式，同样可以选择$\Psi^\dagger=(c^\dagger_{1\uparrow},c^\dagger_{2\uparrow},\dots,c^\dagger_{n\uparrow},c^\dagger_{1\downarrow},c^\dagger_{2\downarrow},\dots,c^\dagger_{n\downarrow})$，只不过在构建矩阵的时候元素填充需要修改，不过结果是完全一样的，感兴趣可以验证一下。
function spin(i::Int64)::Int64
# 模型中的第二项对于不同自旋相差一个负号，通过这个函数来控制
if(i == 1)
return 1
else
return -1
end
end
# ============================================================
for si = 1:2
for ni = 0:n-1
# 小cell中的次近邻hopping
h1[ni*8 + si,ni*8 + si + 4] = t2*exp(-1im*phi0)*spin(si) # 1--->3
h1[ni*8 + si + 4,ni*8 + si] = conj(ham[ni*8 + si,ni*8 + si + 4]) # 3---->1
h1[ni*8 + si + 2,ni*8 + si + 6] = t2*exp(-1im*phi0)*spin(si) # 2--->4
h1[ni*8 + si + 6,ni*8 + si + 2] = conj(ham[ni*8 + si + 2,ni*8 + si + 6])#4---->2
# 1是沿右下hopping，2是沿左下hopping
end
end
接下来考虑次近邻hopping连接到相邻的小cell之间的情况。从上图中可以看出，除了最后一个小cell之外，在大cell内剩余的小cell之间都会存在这种hopping。这种情况中格点连线都在hopping线的右端$v_{ij} = 1$，即就是对应$exp(im*phi0)$。
for si = 1:2
for ni = 0:n-2 # 不包括最后一个小cell(因为已经到边界上了，边界上的3和4次近邻是没有紫色箭头所示hopping)
h1[ni*8 + si + 4,(ni + 1)*8 + si] = t2*exp(1im*phi0)*spin(si) # 3--->1(第二个小cell)
h1[(ni + 1)*8 + si,ni*8 + si + 4] = conj(ham[ni*8 + si + 4,(ni + 1)*8 + si]) # 1(第二个小cell)---->3
h1[ni*8 + si + 6,(ni + 1)*8 + si + 2] = t2*exp(1im*phi0)*spin(si) # 4---->2 (第二个小cell)
h1[(ni + 1)*8 + si + 2,ni*8 + si + 6] = conj(ham[ni*8 + si + 6,(ni + 1)*8 + si + 2]) # 2(第二个小cell)---->4
end
end
上面所考虑的次近邻hopping都是在一个大cell内的(蓝色虚线)，接下来考虑的次近邻是连接两个大cell的情况。
首先可以看到粉色箭头所示的次近邻hopping对于每一个小cell和每一个格点都是存在的，因为每个格点上这种形式的hopping同时存在向左和向右的情况，所以这两中hopping在同一个格点上是要相加的$2\cos(\phi_0)2*\cos(k_x)$。下面右图所示的蓝色hopping线对于每一个小cell都是存在的，在这里需要注意一下，对于边界上的1,2位置上，只存在四个方向的次近邻，加上下图粉色的hopping，已经考虑了三个方向了，则只需要考虑剩下的一个方向hopping，即蓝色虚线所示。对于3,4格点，除了最下端的小cell的3,4格点不存在黑色虚线所示的hopping，其它小cell中都存在，都是由6个方向的次近邻hopping。所以对于这些情况需要额外的考虑。
# 对于水平方向的次近邻hopping,由于存在两个,向右hopping的vij=-1,向左hopping的vij=-1,它们是大cell之间hopping,相当与还是回到原来的格点位置,所以需要想这两种hopping加到一起
for si = 1:2
for ni = 0:n-1
# 水平方向上的次近邻hopping，在inter-cell的情况下，每个格点有hopping到了自己的位置上
h2[ni*8 + si,ni*8 + si] = t2*2*cos(phi0)*spin(si)*2*cos(kx)
h2[ni*8 + si + 2,ni*8 + si + 2] = t2*2*cos(phi0)*spin(si)*2*cos(kx)
h2[ni*8 + si + 4,ni*8 + si + 4] = t2*2*cos(phi0)*spin(si)*2*cos(kx)
h2[ni*8 + si + 6,ni*8 + si + 6] = t2*2*cos(phi0)*spin(si)*2*cos(kx)
#------沿其它方向的inter-cell 次近邻hopping
h2[ni*8 + 2 + si,ni*8 + 6 + si] = t2*exp(1im*phi0)*spin(si)*exp(1im*kx) #2--->4
h2[ni*8 + 6 + si,ni*8 + 2 + si] = conj(ham[ni*8 + 2 + si,ni*8 + 6 + si])
h2[ni*8 + si,ni*8 + 4 + si] = t2*exp(-1im*phi0)*spin(si)*exp(-1im*kx) #1---->3
h2[ni*8 + 4 + si,ni*8 + si] = conj(h2[ni*8 + si,ni*8 + 4 + si])
end
for ni = 0:n-2
h2[ni*8 + 4 + si,(ni + 1)*8 + si] = t2*exp(-1im*phi0) *spin(si)*exp(1im*kx) #3---->1
h2[(ni + 1)*8 + si,ni*8 + 4 +si] = conj(h2[ni*8 + 4 +si,ni*8 + si])
h2[ni*8 + 6 + si,(ni + 1)*8 + 2 + si] = t2*exp(-1im*phi0)*spin(si)*exp(-1im*kx) # 4--->2
h2[(ni + 1)*8 + 2 + si,ni*8 + 6 + si] = conj(h2[ni*8 + 6 + si,(ni + 1)*8 + 2 + si])
end
end
最近邻hopping
function hn(kx::Float64,n::Int64)::Matrix{ComplexF64}# 最近邻hopping
t1::Float64 = 1.0
ham = zeros(ComplexF64,8*n,8*n)
for si = 1:2 # spin
for ni = 0:n-1 # small cell index
#(1-->2) 加2是由于1这个位置上有2个spin(up and down)，等到2位置上spin-up 就是3了
ham[ni*8 + si,ni*8 + si + 2] = t1
ham[ni*8 + si + 2,ni*8 + si] = t1
ham[ni*8 + 2 + si,ni*8 + 4 + si] = t1 #(2--->3)
ham[ni*8 + 4 + si,ni*8 + 2 + si] = t1
ham[ni*8 + 4 + si,ni*8 + 6 + si] = t1 #(3--->4)
ham[ni*8 + 6 + si,ni*8 + 4 + si] = t1
end
# 考虑intra-cell之间连接的hopping
for ni = 0:n-2
ham[ni*8 + si + 6,(ni+1)*8 + si] = t1
ham[(ni+1)*8 + si,ni*8 + si + 6] = t1
end
# 考虑inter-cellhopping
for ni = 0:n-1
ham[ni*8 + si,ni*8 + 2 + si] = ham[ni*8 + si,ni*8 + 2 + si] + t1*exp(-1im*kx) # 1---->2
ham[ni*8 + 2 + si,ni*8 + si] = ham[ni*8 + 2 + si,ni*8 + si] + t1*exp(1im*kx)
ham[ni*8 + 4 + si,ni*8 + 6 + si] = ham[ni*8 + 4 + si,ni*8 + 6 + si] + t1*exp(1im*kx) #(3--->4)
ham[ni*8 + 6 + si,ni*8 + 4 + si] = ham[ni*8 + 6 + si,ni*8 + 4 + si] + t1*exp(-1im*kx)
end
end
return ham
end
完整代码
# import Pkg
#Pkg.add("LinearAlgebra") 没有对应的库先安装，然后using 库
#Pkg.add("DelimitedFiles")
#Pkg.add("PyPlot")
using LinearAlgebra,DelimitedFiles,PyPlot
function hn(kx::Float64,n::Int64)::Matrix{ComplexF64}# 最近邻hopping
t1::Float64 = 1.0
ham = zeros(ComplexF64,8*n,8*n)
for si = 1:2 # spin
for ni = 0:n-1 # small cell index
#(1-->2) 加2是由于1这个位置上有2个spin(up and down)，等到2位置上spin-up 就是3了
ham[ni*8 + si,ni*8 + si + 2] = t1
ham[ni*8 + si + 2,ni*8 + si] = t1
ham[ni*8 + 2 + si,ni*8 + 4 + si] = t1 #(2--->3)
ham[ni*8 + 4 + si,ni*8 + 2 + si] = t1
ham[ni*8 + 4 + si,ni*8 + 6 + si] = t1 #(3--->4)
ham[ni*8 + 6 + si,ni*8 + 4 + si] = t1
end
# 考虑intra-cell之间连接的hopping
for ni = 0:n-2
ham[ni*8 + si + 6,(ni+1)*8 + si] = t1
ham[(ni+1)*8 + si,ni*8 + si + 6] = t1
end
# 考虑inter-cellhopping
for ni = 0:n-1
ham[ni*8 + si,ni*8 + 2 + si] = ham[ni*8 + si,ni*8 + 2 + si] + t1*exp(-1im*kx) # 1---->2
ham[ni*8 + 2 + si,ni*8 + si] = ham[ni*8 + 2 + si,ni*8 + si] + t1*exp(1im*kx)
ham[ni*8 + 4 + si,ni*8 + 6 + si] = ham[ni*8 + 4 + si,ni*8 + 6 + si] + t1*exp(1im*kx) #(3--->4)
ham[ni*8 + 6 + si,ni*8 + 4 + si] = ham[ni*8 + 6 + si,ni*8 + 4 + si] + t1*exp(-1im*kx)
end
end
return ham
end
# ======================================================================
function hnn(kx::Float64,n::Int64)::Matrix{ComplexF64}
t2::Float64 = 0.03
h1 = zeros(ComplexF64,8*n,8*n)
h2 = zeros(ComplexF64,8*n,8*n)
phi0::Float64 = pi/2
for si = 1:2
for ni = 0:n-1
# 小cell中的次近邻hopping
h1[ni*8 + si,ni*8 + si + 4] = t2*exp(-1im*phi0)*spin(si) # 1--->3
h1[ni*8 + si + 4,ni*8 + si] = conj(h1[ni*8 + si,ni*8 + si + 4]) # 3---->1
h1[ni*8 + si + 2,ni*8 + si + 6] = t2*exp(-1im*phi0)*spin(si) # 2--->4
h1[ni*8 + si + 6,ni*8 + si + 2] = conj(h1[ni*8 + si + 2,ni*8 + si + 6])#4---->2
# 1是沿右下hopping，2是沿左下hopping
end
end
#------------------------------------------
for si = 1:2
for ni = 0:n-2 # 不包括最后一个小cell(因为已经到边界上了，边界上的3和4次近邻是没有紫色箭头所示hopping)
h1[ni*8 + si + 4,(ni + 1)*8 + si] = t2*exp(1im*phi0)*spin(si) # 3--->1(第二个小cell)
h1[(ni + 1)*8 + si,ni*8 + si + 4] = conj(h1[ni*8 + si + 4,(ni + 1)*8 + si]) # 1(第二个小cell)---->3
h1[ni*8 + si + 6,(ni + 1)*8 + si + 2] = t2*exp(1im*phi0)*spin(si) # 4---->2 (第二个小cell)
h1[(ni + 1)*8 + si + 2,ni*8 + si + 6] = conj(h1[ni*8 + si + 6,(ni + 1)*8 + si + 2]) # 2(第二个小cell)---->4
end
end
#-------------------------------------------------
for si = 1:2
for ni = 0:n-1
# 水平方向上的次近邻hopping，在inter-cell的情况下，每个格点有hopping到了自己的位置上
h2[ni*8 + si,ni*8 + si] = t2*2*cos(phi0)*spin(si)*2*cos(kx)
h2[ni*8 + si + 2,ni*8 + si + 2] = t2*2*cos(phi0)*spin(si)*2*cos(kx)
h2[ni*8 + si + 4,ni*8 + si + 4] = t2*2*cos(phi0)*spin(si)*2*cos(kx)
h2[ni*8 + si + 6,ni*8 + si + 6] = t2*2*cos(phi0)*spin(si)*2*cos(kx)
#------沿其它方向的inter-cell 次近邻hopping
h2[ni*8 + 2 + si,ni*8 + 6 + si] = t2*exp(1im*phi0)*spin(si)*exp(1im*kx) #2--->4
h2[ni*8 + 6 + si,ni*8 + 2 + si] = conj(h2[ni*8 + 2 + si,ni*8 + 6 + si])
h2[ni*8 + si,ni*8 + 4 + si] = t2*exp(1im*phi0)*spin(si)*exp(-1im*kx) #1---->3
h2[ni*8 + 4 + si,ni*8 + si] = conj(h2[ni*8 + si,ni*8 + 4 + si])
end
#------------------------------------
for ni = 0:n-2
h2[ni*8 + 4 + si,(ni + 1)*8 + si] = t2*exp(-1im*phi0) *spin(si)*exp(1im*kx) #3---->1
h2[(ni + 1)*8 + si,ni*8 + 4 + si] = conj(h2[ni*8 + 4 + si,(ni + 1)*8 + si])
h2[ni*8 + 6 + si,(ni + 1)*8 + 2 + si] = t2*exp(-1im*phi0)*spin(si)*exp(-1im*kx) # 4--->2
h2[(ni + 1)*8 + 2 + si,ni*8 + 6 + si] = conj(h2[ni*8 + 6 + si,(ni + 1)*8 + 2 + si])
end
end
return h1 + h2
end
# ======================================================
function spin(i::Int64)::Int64
if(i == 1)
return 1
else
return -1
end
end
# ======================================================
function check(mat::Matrix{ComplexF64})
f = open("hermitian.dat","w")
x,y = size(mat)
con = 0
for ix = 1:x
for iy = 1:y
if(mat[ix,iy] != conj(mat[iy,ix]))
con += 1
writedlm(f,[ix iy mat[ix,iy]])
end
end
end
close(f)
println(con)
end
# =========================================================
function plotimg(n::Int64)
kn::Int64 = 100
N::Int64 = n*8
vallist = zeros(Float64,length(-kn:kn),N)
kxlist = zeros(Float64,length(-kn:kn),N)
f1 = open("KM-zigzag.dat","w") # 保存能带数据
for m1 = 0:2*kn
kx = pi*m1/kn
kxlist[m1 + 1,:]= [kx for _ in 1:N]
ham = hnn(kx,n) + hn(kx,n)
vallist[1+m1,:]= eigvals(ham)
writedlm(f1,[kx/pi vallist[1+m1,:]'])
end
close(f1)
figure(figsize=(12,10))
PyPlot.plot(kxlist,vallist)
PyPlot.xlabel("k_x")
PyPlot.ylabel("E")
PyPlot.xticks([0,pi,2*pi])
PyPlot.xlim(0,2*pi)
PyPlot.ylim(-1,1)
end
# ============================================================
plotimg(20) # 小cell选择20个
结果展示
参考
公众号
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