这篇博客想通过精读一片研究两维非厄米体系中的Fermion Doubling Theorems的PRL文章,同时了解厄米与非厄米体系中的Fermion Doubling Theorems到底是什么.

在学习凝聚态中的拓扑的时候,总是看到Weyl点是要成对出现的(不过也有了一些材料研究,可以让Weyl点单独出现),这是背后由比较深刻的物理,涉及格点规范场论,暂时功力不够看不懂,我还没有完全理解,因为相关的文章比较老;不过最近在活跃的非厄米体系中开始研究Fermion Doubling Theorems问题,我感觉和Weyl点成对出现是有关联的,所以准备借这篇非厄米的文章来学习一下这个概念,如有大佬清楚这里面的联系,还请不吝赐教.

Fermion doubling

当简单得尝试将一个费米子场放置到格点上的时候,就会出现一些虚假的状态,这样一来,每个原始的费米子会出现2d个费米子粒子,这里d是系统的维度.

下面利用凝聚态的语言理解一下,假定是利用连续模型来描述能带,那么在$\Gamma=(0,0)$的时候,模型是个massless的Dirac方程,在这个点就有Dirac费米子,当把连续模型变成紧束缚模型之后,就会把原本的无限大的空间$k\rightarrow+\infty$限制到第一布里渊区中,假定是正方点整,那么在布里渊区中的每个角落处于中心$\Gamma$点是等价的,此时在这些点上再对紧束缚模型做低能展开,同样可以得到连续模型,只不过此时前面的系数会出现一个负号,或者不出现负号,也就是说在格点模型上Fermion的数目不再是一个了,这也就是Fermion doubling.

Mathematica overview

在$d$维的时候考虑质量为$m$的自由Dirac费米子,其作用量为

\[S=\int d^dx\bar{\psi}(i\gamma_\mu a^\mu-m)\psi\]

这里的$\gamma_\mu$就是gamma矩阵,当把这个作用量离散化到立方格点上之后,费米子场$\psi(x)$就变成了离散的形式$\psi_x$,此时的$x$表示的是格点位置.而原本的导数则变成有限差分,作用量变为

\[S=a^d\sum_{x,\mu}\frac{i}{2a}(\bar{\psi}_x\gamma_\mu\psi_{x+\hat{\mu}}-\bar{\psi}_{x+\hat{\mu}}\gamma_\mu\psi_x)-a^d\sum_{x}m\bar{\psi}_x\psi_x\]

这里的$a$是格点间距,$\hat{\mu}$是沿着$\mu$方向的单位矢量,当在动量空间中计算时

\[S^{-1}(p)=m+\frac{i}{a}\sum_\mu\gamma_\mu\sin(p_\mu a)\]

因为实空间中的格点间距$a$是有限的,则动量$p_\mu$限制在布里渊区中,通常取第一布里渊区$[-\pi/a,\pi/a]$.

在$S^{-1}$中令$a\rightarrow 0$的时候,就可以得到正确的连续模型下的结果,但是当在布里渊区角落($\pi/2$)处展开这个表达式的时候,可以发现同样会得到连续模型的结果,只不过此时会在gamma矩阵前面发生符号改变.这也就一维着,当动量的某一个分量在$\pi/a$附近的时候,离散的费米子场的行为同样会与连续情形下的费米子相同,这可以发生在动量空间动量的所有$d$个分量上,相比于原来连续模型的Dirac费米子,这里会有$2^d$中不同”味道”的费米子.

在格点哈密顿量的能谱中,这些拓扑点一定是成对出现的,这样会避免在格点上有量子反常的出现,因为对于单个的节点,它的低能物理是由量子反常的场论来描述的,如果成对出现,则反常会相互抵消,比如在石墨烯中双重节点对应的Dirac点与磁性Weyl半金属中成对出现的Weyl点.在任何格点哈密顿量的体态中,doubling theorem一定会是满足的,但是在格点表面上可能会违反,比如拓扑绝缘体有时间反演对称存在后,其表面只有一个宇称反常的Dirac点.这个反常的表面态则会导致恨到新奇的物理现象出现.

Non-Hermitian

对于非厄米体系,其哈密顿量不再满足厄米共轭$H^\dagger\neq H$,此时会存在三种不同的节点:

(1)费米点Fermi points(FPs)
(2)奇异点exceptional points(EPs)
(3)合格简并点nondefective degeneracy points(NDPs).

在EP和NDP两个能带在简并点是简并的,但是在EP点的时候,会存在波函数坍塌(虽然简并度是两重的,但是简并态只有一个),然而在NDP处本两个简并态的波函数是不同的.因此对于非厄米系统而言,哈密顿量在EPs是不可对角化的,只能约化成Jordan block的形式,如下图所示

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当不存在对称性的时候,FPs和EPs在2维是拓扑稳定的,这也就意味着这些节点是不可以通过微扰被移除的.

考虑一个非厄米的哈密顿量$\mathcal{H}(\mathbf{k})$,其复数能带是well-separate,除了在某些可能的简并点,这些简并点要么是EPs要么是NDPs.为了在非厄米体系中证明doubling theorems,需要依赖于:拓扑点会附带非零的拓扑荷,由于周期性的存在,在整个布里渊区中它们的求和一定是零

\[\sum_{k_i\in BZ}C(\mathbf{k}_i)=0\]

这里的$C(\mathbf{k}_i)$代表的是在BZ中的$\mathbf{k}_i$处的拓扑荷,它是沿着顺时针方向的一个包含EP或者FP的闭合路径对拓扑荷密度的积分得到的.

对于FPs一个何时的电荷密度是$\text{det}[\mu-\mathcal{H}(\mathbf{k})]$取对数球导数,而对于EPs则是$\mathcal{H}(\mathbf{k})$相对于能量E的判别式取对数然后求导.

研究同样发现对于3维体系,在其表面上是可以违反doubling theorem的,这同样说明3维的体态能带具有不寻常的性质.特别是当存在反演对称或者反射对称的系统,可以在表面上存在单个的FPs或者 EPs,所以在其体态一定存在Fermi lines或者exception lines.

Doubling theorem for FPs

对于非厄米哈密顿量$\mathcal{H}(\mathbf{k})$其对应的复能带为$E_i(\mathbf{k})$.哈密顿量的FPs对应着在布里渊区中复化学势与某一个能带相交对应的$\mathbf{k}^j_F\rightarrow \mu-E_i(\mathbf{k}^j_F)=0$.通过选择何时的基矢,可以使的在整个布里渊区中能谱都是单只的,则PFs的位置可以通过$\mathcal{H}(\mathbf{k})$的特征多项式来得到

\[f_\mu(\mathbf{k})\equiv\text{det}[\mu-\mathcal{H}(\mathbf{k})]=\Pi_i[\mu-E_i(\mathbf{k})]\label{a3}\]

多项式$f_\mu(\mathbf{k})=0$的解就是FPs的位置,因为此时是个复多项式,则会给出两个条件$\text{Re}[f_\mu(\mathbf{k})=0],\text{Im}[f_\mu(\mathbf{k})]=0$,它们的解会对应两条闭合的线,其交点对应的就是FPs的位置,如下图(a1)所示

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这里可以发现两个闭合的线总是相交偶数次,这也就是FPs的doubling theorem.当在哈密顿量中引入微扰之后,仅仅是会影响必和路径的形状,但是不会使得FPs消失.

下面通过更加数学的方式来描述拓扑不变量,定义一个全局的winding number不变量

\[W(\mathbf{k}_F^j)=\frac{i}{2\pi}\oint_{\Gamma(\mathbf{k}_F^j)}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\ln f_\mu(\mathbf{k})\label{a1}\]

这里的积分路径是包含$\mathbf{k}_F^j$沿顺时针方向的闭合路径,如上图(b1)所示.

因为多项式$f_\mu(\mathbf{k})$在整个布里渊区中都是单值的,每个winding number$W(\mathbf{k}_F^j)$也都是量子化的整数,在每个FP点处$\mathbf{k}_F^j$都会对应的由一个拓扑荷.当winding number不等于零的时候,积分路径$\Gamma(\mathbf{k}_F^j)$不能平滑的收缩成一个点,因为它包含了一个奇异点.这也就保证了在FP点处的拓扑稳定性,从而微扰不能打开能隙.当对整个布里渊区中所有的FPs对应的winding number求和之后

\[\sum_{\mathbf{k}_F^j\in BZ}W(\mathbf{k}_F^j)=\frac{i}{2\pi}\oint_{\partial BZ}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\in f_\mu(\mathbf{k})=0\label{a2}\]

上面的求和一定等于零,因为在方程(\ref{a1})中的积分路径可以连续的变形为布里渊区的边界$\partial BZ$,在金粉中只有FPs是具有奇异性的.因此每个带有正拓扑荷的FP点一定伴随着一个带有负拓扑荷的FP点出现.

具体实例

这里通过一个两能带模型来对FPs点进行研究.

\[\mathcal{H}(\mathbf{k})=h_0(\mathbf{k})\sigma_0+{\bf h(k)\cdot\sigma},\quad h_0(\mathbf{k})=\frac{1}{2}\sin k_y,h_x(\mathbf{k})=\sin k_x-i,\\ h_y(\mathbf{k})=\sin k_y,h_z(\mathbf{k})=\cos k_x+\cos k_y -2\]

当化学势为$\mu=\sqrt{3}/4$的时候两个FPs位置为$\mathbf{k}_F^{-}=(0,-0.479\pi),\mathbf{k}_F^{+}=(0,\pi/2)$,对应的winding number为$W(\mathbf{k}_F^{\pm})=\mp 1$,此时是满足doubling theorem的.

哈密顿量$\mathcal{H}(\mathbf{k})$的能谱为$E_\pm(\mathbf{k})=(s_y/2)\pm\sqrt{5-4(c_x+c_y)+c_{x+y}+c_{x-y}-2is_x}$.这里记号$c_{x/y}=\cos k_{x/y},s_{x/y}=\sin k_{x/y},c_{x\pm y}=\cos (k_x\pm k_y)$.这个能谱是多值的,且存在brach cut终止与两个EPs处,在$(0,\pm\pi/3)$处的能量为$E-\mu=0,E-\mu=-\sqrt{3}/2$.

又是后会遇到EPs和FPs出现在相同的位置,这纯属偶然,通常情况下载一般的非厄米哈密顿量中,两者是处在不同位置的.

判别式与DPs

下面来研究非厄米哈密顿量中的简并点(DP),并通过特征多项式$f_E(\mathbf{k})$的判别式来快速寻找简并点.这里$f_E(\mathbf{k})$的定义为(\ref{a3}),但是化学势会被$E$代替.一个DP点$\mathbf{k}_D$出现在$E_i(\mathbf{k}_D)=E_j(\mathbf{k}_D),i\neq j$,因此多项式$f_E(\mathbf{k})$在$\mathbf{k}_D$一定会有多个根,多项式的判别式定义为

\[\text{Disc}_E[\mathcal{H}](\mathbf{k})=\Pi_{i<j}[E_i(\mathbf{k})-E_j(\mathbf{k})]^2\]

一定会在$\mathbf{k}D$处消失,当DP出现在$\mathbf{k}_D$处,一定会有$\text{Disc}_E\mathcal{H}=0$.从判别式来计算DPs相比于求解多项式$f_E(\mathbf{k})$的根要更有效率.判别式可以通过计算$f_E(\mathbf{k})$和$\partial_Ef_E(\mathbf{k})$的Sylvester矩阵的行列式得到,因此利用判别式$\text{Disc}\mathcal{H}$的零值来寻找整个布里渊区中所有的DPs是最有效的方法.

判别式还有一个额外的优点,它是单值的,因为多项式$f_E(\mathbf{k})$的系数都是单只的,这个性质在根据$\text{Disc}_E\mathcal{H}$定义量子化不变量的时候很重要,对证明doubling theorem也同样重要.首先来给出说明性的一个解释为什么DPs一定会满足doubling theorme.可以发现判别式的零点一定会满足两个限制$\text{Re}[\text{Disc}_E\mathcal{H})]=0,\text{Im}[\text{Disc}_E\mathcal{H}]=0$.通过这两个等式可以在布里渊区中确定两个闭合的线,他们的交点就是DPs的位置,而布里渊区是具有周期性的,那么这两条线的交点数目也一定会是偶数次,因此DPs一定也是成对出现的,从而满足doubling theorem.

在不存在额外对称性的时候,DPs一般只存在两重简并,热河一个具有高简并度的DPs可以通过加入一个微扰,是的分开成多对具有双重简并的DPs.

Doubling theorem for DPs

一个DPs可以使EPs或者NDPs,它的拓扑表征不变量,可以根据沿着判别式进行积分的结果来确定

\[\nu(\mathbf{k}_D^l)=\frac{i}{2\pi}\oint_{\Gamma(\mathbf{k}_D^l)}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\ln\text{Disc}_E[\mathcal{H}](\mathbf{k})\label{a4}\]

这里$\Gamma(\mathbf{k}_D^l)$是包含在$\mathbf{k}_D^l$处DP的一个顺时针路径,因为$\text{Disc}_E\mathcal{H}$是单值的,这个不变量是量子化的,叫做判别式数.它的数学结构与FPs的winding number是相同的,唯一的区别就是在积分中将$\text{det}[\mu-\mathcal{H}(\mathbf{k})]$替换成了$\text{Disc}_E\mathcal{H}$.非零的$\nu$值保证了DPs对于能隙的打开具有稳定性，利用方程 $\nu(\mathbf{k}_D^l)=\frac{i}{2\pi}\oint_{\Gamma(\mathbf{k}_D^l)}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\ln\text{Disc}_E[\mathcal{H}](\mathbf{k})\label{a5}$

这里$\Gamma(\mathbf{k}_D^l)$是包含在$\mathbf{k}_D^l$处DP的一个顺时针路径,因为$\text{Disc}_E\mathcal{H}$是单值的,这个不变量是量子化的,叫做判别式数.它的数学结构与FPs的winding number是相同的,唯一的区别就是在积分中将$\text{det}[\mu-\mathcal{H}(\mathbf{k})]$替换成了$\text{Disc}_E\mathcal{H}$.为了得到DPs的doublin theorem,对所有在BZ中的DPs的判别式数进行求和.

\[\sum_{\mathbf{k}_D^l\in BZ}\nu(\mathbf{k}_D^l)=\frac{i}{2\pi}\oint_{\partial BZ}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\ln\text{Disc}_E[\mathcal{H}](\mathbf{k})\]

因为DPs的歧义性仅发生在(\ref{a5})的积分中,积分路径在对所有奇异点的求和中可以连续的变化成布里渊区的边界,如上图(b)所示.因此上面的求和一定等于零,也就是所通过判别式数确定的DPs一定是成对出现的,这就证明了DPs的doubling theorem.对所有的奇异点求积分,其实就是利用留数定理.

在前面的研究中,由两个能带形成的DPs的拓扑性质是通过vorticity不变量表征的

\[\nu_{ij}(\mathbf{k}_D^l)=-\frac{1}{2\pi}\oint_{\Gamma(\mathbf{k}_D^l)}\nabla_\mathbf{k}\text{arg}[E_i(\mathbf{k})-E_j(\mathbf{k})]\cdot d\mathbf{k}\]

这里的$i,j$是两个能带的标记,$\text{arg}(z)=-i\ln(z/\rvert z\rvert)$,下面来证明它与判别式数是等价的.在$\mathbf{k}_D^l$处的判别式数为

\[\nu(\mathbf{k}_D^l)=\frac{i}{2\pi}\oint_{\Gamma(\mathbf{k}_D^l)}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\ln \Delta_f(\mathbf(k))\]

这里的$\Delta f_E(\mathbf{k})$是$n\times n$哈密顿量$\mathcal{H}$的特征多项式$f_E(\mathbf{k})$的判别式

\[\Delta_f(\mathbf{k})=\Pi_{1\leq i\leq j\leq n}[E_i(\mathbf{k})-E_j(\mathbf{k})]^2\]

$E_i(\mathbf{k})$是哈密顿量$\mathcal{H}(\mathbf{k})$的能带,将上面的两个方程结合起来可以得到

\[\begin{equation}\begin{aligned}\nu(\mathbf{k}_D^l)&=\frac{i}{2\pi}\oint_{\Gamma(\mathbf{k}_D^l)}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\ln \Pi_{1\leq i\leq j\leq n}[E_i(\mathbf{k})-E_j(\mathbf{k})]^2\\ &= \frac{i}{2\pi}\sum_{i\neq j}\oint_{\Gamma(\mathbf{k}_D^l)}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\ln[E_i(\mathbf{k})-E_j(\mathbf{k})]\\ &= \frac{-1}{2\pi}\sum_{i\neq j}\oint_{\Gamma(\mathbf{k}_D^l)}d\mathbf{k}\cdot\nabla_\mathbf{k}\text{arg}[E_i(\mathbf{k})-E_j(\mathbf{k})]=\sum_{i\neq j}\nu_{ij}(\mathbf{k}_D^l)\end{aligned}\end{equation}\]

这里利用了$\ln(z)=\ln(\rvert z\rvert)+i\text{arg}(z)$.通过上面的证明可以发现判别式数等于vorticity不变量对所有不同带的贡献之和

\[\nu(\mathbf{k}_D^l)=\sum_{i\neq j}\nu_{ij}(\mathbf{k}_D^l)\]

双DPs的实例

这里通过一个具体的例子来研究DPs的doubling theorem,可以发现对于EPs一般是稳定的,但是对于NDPs会被任意小的微扰破坏.博涵两个NDPs的一个两带模型为

\[\mathcal{H}=\left(\begin{array}{c}0&F(\mathbf{k})\\ G(\mathbf{k})&0\end{array}\right)\\ F(\mathbf{k})=\sin^2k_x-\frac{1}{2}\sin^2k_y+2i\sin k_x\sin k_y+\cos k_y-1,G(\mathbf{k})=\sin k_x-i\sin k-Y+\cos k_y-1\]

对应的本征能谱为$E_\pm=\pm\sqrt{F(\mathbf{k})G(\mathbf{k})}$,对应的特征多项式为$f_E(\mathbf{k})=E^2-F(\mathbf{k})G(\mathbf{k})$,d对应的判别式$\text{Disc}_E\mathcal{H}=4F(\mathbf{k})G(\mathbf{k})$,存在两个NDPs分别位于$(0,0),(0,\pi)$.利用(\ref{a5})可以得到对应的判别式数为$\pm 1$,因此满足doubling theorem.这两个DPs都是branch cut的终点,所以复能带的branch cut不必要一定就终结在EPs点,如下图所示

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但是NDPs是不稳定的,当加入小的微扰$\delta\sigma_z$之后就会变成EPs.

第二个例子包含一个NDP和一个EP,可以由下面的哈密顿量描述

\[\mathcal{H}(\mathbf{k})=\left(\begin{array}{cc}A(\mathbf{k})&B(\mathbf{k})\\ 0&-A(\mathbf{k})\end{array}\right)\\ A(\mathbf{k})=1-\cos k_x-\cos k_y+i\sin k_x,B(\mathbf{k})=1-\sin k_y\]

对应的能谱为$E_\pm(\mathbf{k})=\pm B(\mathbf{k})$,特征多项式为$f_E(\mathbf{k})=E^2-A^2(\mathbf{k})$,从而得到判别式为

\[\text{Disc}_E[\mathcal{H}](\mathbf{k})=4A^2(\mathbf{k})\]

通过求解判别式的零点可以得到两个DPs的位置$(0,\pm\pi/2)$,处于$(0,-\pi/2)$的DP是个EP点对应的$\nu=-2$,而处于$(0,+\pi/2)$的DP点是个NDP对应的$\nu=-2$,它们同样满足doubling theorem.这里可以发现EP点并不是branch cut的终点,如上图(c,d)所示,因为能谱$E_\pm(\mathbf{k})$在整个BZ中是单值的.但这里存在一个参数可调的情况,当加入一个很小的形变$\eta\sigma_x$,这个微扰会将NDP和EP分离开来,每个都会变成$\nu\pm 1$的EPs,最终会变成branch cut的终点.

通常,一个两重简并的EP对应的$\nu=\pm 1$就会是能谱中branch cut的终点;在两维系统中,NDPs都是不稳定的,在微扰下回演化成EPs.而且对于$\rvert\nu\rvert> 1$的EPs都是可以在微扰下分裂为几个$\rvert\nu\rvert=1$的EPs,而且只有$\mu=\pm 1$的EPs是稳定的.总上所述,也就可以得到两维中,唯一稳定的DPs是EPs,对应的$\nu\pm 1$,基矢存在微扰,这些EPs也一定是带有相反的判别式数$\nu$成对出现的.

表面反常的FPs和EPs

在三维的表面上,doubling theorem是会违反的,三维系统的表面可以看做是半个两维的体态,原则上表面上可以存在奇数个稳定的FPs或者EPs,因此会违反doubling theorem.在存在这种反常的表面的时候,体态通常会有比较特殊的性质,这依赖于晶体的对称性.

首先考虑一个联系三维系统上下表面的对称性

当上下两个表面通过反演对称或者反射对称联系联系的时候,作用在表面哈密顿量上之后

\[P_\pm\mathcal{H}_\text{top}(k_x,k_y)P^{-1}_\pm=\mathcal{H}_\text{bot}(\pm k_x,\pm k_y)\label{a6}\]

这里$P_\pm$是个幺正算符,表示反射(+)或者反演(-).当只关注表面的时候,量对称性(\ref{a6})作用在判别式数(\ref{a5})上之后,可以发现上表面上所有EPs的$\nu$求和等于下表面上所有EPs的$\nu$求和

\[\sum_{\mathbf{k}_D^l\in BZ_\text{top}}\nu(\mathbf{k}_D^l)=\sum_{\mathbf{k}_D^l\in BZ_\text{bot}}\nu(\mathbf{k}_D^l)\]

与三维拓扑绝缘体不同,上下表面的EPs对应的拓扑荷并不会相互抵消,因此在三维的体态中,一定也会渗透着判别式数非零的EPs.事实上,因为非零的$\nu$是根据线积分定义的,通过形变并不能使其消失,所在在三维体态中一定存在整个EPs构成的线.因此对于非厄米的系统,会存在反常的表面,体态也会存在奇异线.

同样的对于表面上的FPs,也会具有相同的性质,如果在具有反演或者反射对称性的系统中表面上的FPs违反了doubling theorem,那么体态内一定至少存在一个费米线.下面给出一个格点模型

\[H_{3D}(\mathbf{k})=(m(\mathbf{k})+\cos k_z)\Gamma_0+\sqrt{2}\sin (k_x+\pi/4)\Gamma_1+(i+\sin k_y)\Gamma_2+\sin k_z\Gamma_3 -gi\Gamma_1\Gamma_2\\ m(\mathbf{k})=\cos k_x+\cos k_y-2.7,g=0.2,\Gamma_0\rho_3\sigma_0,\Gamma_i=\rho_1\sigma_i,\{\Gamma_\alpha,\Gamma_\beta\}=2\delta_{\alpha\beta}\mathbb{I}_{4\times 4}\]

这个哈密顿量是反射对称的$z\rightarrow -z,R_zH_{3D}(k_x,k_y,-k_z)R_z^{-1}=H_{3D}(\mathbf{k}),R_z=\rho_3\sigma_3$.通过反射对称可以将上表面(001)与下表面$(00\bar{1})$联系起来.

参考

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上篇拓扑绝缘体哈密顿量推导

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