根据不变子群的表示来得到群的表示.
诱导表示
假设\(\mathbf{K}_1\)是\(\mathbf{G}\)的子群,不一定是不变子群,比如\(\mathbf{G}\)是空间群,\(\mathbf{K}_1\)是某个波矢\(\mathbf{k}_1\)的小群;将\(\mathbf{K}_1\)中的元素标记为\(k_\alpha(\alpha=1,\rvert\mathbf{K}_1\rvert)\),将群进行陪集分解
\[\mathbf{G}=\sum_\alpha p_\alpha\mathbf{K}_1\]这里的\(p_\alpha\)就是左陪集表示,\(\alpha=1,\cdots,\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert\),这个方程表明群\(\mathbf{G}\)中的每一个元素\(g\)都可以表示为\(p_\lambda k_s\)的形式. 这里的\(p_\lambda\)是分解中的一个陪集表示,而且\(p_\lambda.k_s\in\mathbf{K}_1\)都是由\(g\)唯一确定的.
群\(\mathbf{G}\)中的每个元素\(g\)都可以表示为\(g=k_bp_\lambda^{-1}\),这里的\(b,\lambda\)都是由\(g\)唯一确定的.
从上面的陪集分解中可以知道\(g^{-1}=p_\lambda k_s\),这里\(\lambda,s\)都是由\(g^{-1}\)唯一确定.因此可以有
\[g=k_s^{-1}p_\lambda^{-1}=k_bp_\lambda^{-1}\]这里因为\(\mathbf{K}_1\)是个群,所以\(k_b=k_s^{-1}\in\mathbf{K}_1\),而且\(b\)是被唯一确定的.但是这里需要注意的是\(p_\lambda^{-1}\)并不是上面陪集分解中的一员,因为上面的陪集并不一定是个群,只有当\(\mathbf{K}_1\)是\(\mathbf{G}\)的不变子群的时候,陪集才构成一个群,就是所谓的商群.
让\(\Omega_1\)是子群\(\mathbf{K}_1\)的不可约矢量空间,维度为\(d_i\),选择基矢为\(\langle\phi_r\rvert,r=1,\cdots,d_i\),对于每个\(k_\alpha\in\mathbf{K}_1\)都有
\[k_\alpha\phi_r=\sum_{p=1}^{d_j}\phi_p\Gamma^j(k_\alpha)_{pr}\]\(k_\alpha\)对应的特征标为\(\chi^j(k_\alpha)\),令\(\Omega\)是由\(d_j\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert\)个函数\(\phi_{\alpha r}\)张开的矢量空间
\[\phi_{\alpha r}=p_\alpha\phi_r\]这里的\(p_\alpha\)是群\(\mathbf{G}\)分解的左陪集表示,数目为\(\rvert\mathbf{G}\rvert/\mathbf{K}_1\),而这里的\(d_i\)则是子群 \(\mathbf{K}_1\)的一个不可约矢量空间的维度,从而相当于将每个陪集表示分别作用在子群\(\mathbf{K}_1\)的基矢上,从而得到了 \(d_j\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert\)个函数构成的一个矢量空间\(\Omega\),它的维数就是基函数的个数.
\(\Omega\)在\(\mathbf{G}\)操作下是不变的.
已知\(g=p_\lambda k_s\),那么\(g\phi_{\tau r}=p_\lambda k_sp_\tau\phi_r=p_\gamma k_t\phi_r\)(还是没有太想清楚这里为什么可以相等,先接受这个事实),从这里就可以发现\(\gamma,t\)可以通过\(g,\tau\)唯一的确定,再结合上面的方程可以得到
\[g\phi_{\tau r}=p_\lambda\sum_p\phi_p\Gamma^j(k_t)_{pr}=\sum_p\phi_{\gamma p}\Gamma^j(k_t)_{pr}\label{eq1}\]从这里就可以看到,从子群\(\Gamma\)的表示,可以得到\(\Omega\)矢量空间中的表示,而且从\(\phi_{\alpha r}=p_\alpha\phi_r\)可以看到,这些函数正是群\(\mathbf{G}\)的基矢,也就是说从子群的不可约表示可以得到群\(\mathbf{G}\)的不可约表示,上面的这种表示方法称为\(\Gamma^j\)在\(\mathbf{G}\)中的诱导表示,记作\(\Gamma^j\uparrow\mathbf{G}\),它的特征标记为\(\chi(g)\).
方程(\ref{eq1})的含义就是如果\(gp_\tau=p_\lambda k_t(k_t=p^{-1}_\lambda gp_\tau)\),那么对于元素\(g\)在诱导表示\(\Gamma\uparrow\mathbf{G}\)中就有\((\gamma,\tau)\)的块矩阵,维度为\(d_i\),表示为\(\Gamma^j(p_\lambda^{-1}gp_\tau)\),而且因为\(\gamma\)是由\(g,\tau\)共同决定的且唯一,因此这里在列指标中,唯一非零的块矩阵就可以由\(\tau\)来标记.
将上面的描述利用公式(\ref{eq})来重新解读一下,可以发现它是一个操作元作用在一个基函数上,等于一个矩阵乘以一些函数,这很明显就是通常在群论中求表示的方法.接下来再看每个元素的下标,在方程左边的下表是\((\tau r)\)方程右边的指标是\(\sum_p(\gamma p)(pr)\),这里可以看到矩阵\(\Gamma^j\)完全是由子群\(\mathbf{K}_1\)中的元素决定的,即只要\(k_t\)确定了,那么这个矩阵就确定了,无论左右两边的\((\tau,\gamma)\)如何变化,对应的表示都是相同的,也就是说在\(\Omega\)矢量空间中,其由\(\Omega_1\)的表示来得到的诱导表示中,一定会有\((\gamma,\tau)\)个块矩阵是完全相同的\(\Gamma^j(k_t)\),但是这里的\(\gamma,\tau\)之间是通过\(g\)联系起来的,从而在上面的\((\gamma,\tau)\)块的矩阵中,有一些块是等于零的,在满足联系关系的情况下,这些块矩阵对应的才是\(\Omega_i\)的表示矩阵\(\Gamma^j(k_t)_{pr}\).
如果表示\(\Gamma^j\)是幺正的,那么对应的诱导表示也是幺正的;但如果表示\(\Gamma^j\)是不可约的,则诱导表示\(\Gamma\uparrow\mathbf{G}\)并不一定也是不可约的.
空间群的表示其实就是小群的诱导表示.
接下来就是如何得到每个小群的表示,从而就可以得到对应空间群的表示,也就是在学习过程中,将上面的群\(\mathbf{G}\)视作空间群,而\(\mathbf{K}_1\)视作小群\(\mathbf{G}^{\mathbf{k}_1},\Gamma^j\)是小群的小表示\(\Gamma_p^{\mathbf{k}_1}\).
如果空间群\(\rvert\mathbf{G}\rvert=N_1N_2N_3h\),小群\(\rvert\mathbf{K}_1\rvert=N_1N_2N_3b\),那么对于一个给定的维度为\(t\)的小表示,对应空间群表示的维数\(d=th/b=qt\)=(star上的波矢数量)\(\times\)(小表示的维数).
定义\(\Omega_\alpha\)是由\(d_j\)个函数\(\phi_{\alpha r},(r=1,d_j)\)构成的矢量空间,对于固定的\(\alpha,\Omega_\alpha\)在子群\(\mathbf{K}_\alpha\)下是不变的,\(\mathbf{K}_\alpha=p_\alpha k_\alpha p_\alpha,k_\alpha\in\mathbf{K}_1\).
利用前面的变换,可以得到
\[p_\alpha k_\alpha p_\alpha\phi_{\alpha r}=p_\alpha k_\alpha\phi_r=\sum_s\phi_{\alpha s}\Gamma^j(k_\alpha)_{sr}\]这里利用了\(\phi_{\alpha r}=p_\alpha\phi_r\),着也就表明在基函数\(\langle\phi_{\alpha r}\rvert\)下,\(p_\alpha k_\alpha p_\alpha\)的表示为\(\Gamma^j(k_\alpha)\),这里的表示是个不可约的,从而也就证明了上面的定理.
可以将一个子群\(\mathbf{K}_\alpha\)可以表示为\(p_\alpha\mathbf{K}_1p_\alpha\),这里的\(p_\alpha\)是陪集分解中的陪集表示,因此对于每个子群\(\mathbf{K}_\alpha\)都有如下性质
- 1.它与\(\mathbf{K}_1\)具有相同的阶数.
- 2.在\(\mathbf{G}\)下与\(\mathbf{K}_1\)是共轭的,同时对于其他的\(\mathbf{K}_\alpha\)也是共轭的,共轭也就代表着等价关系.
- 3.这里的每个子群都与陪集分解中的\(p_\alpha\mathbf{K}_1\)是一一对应的.
如果将上面的\(\mathbf{G}\)识别为空年间群的同形点群(isogonal point group)\(\mathbf{F},\mathbf{K}_1\)为小共群\(\mathbf{k}_1\),那么\(\mathbf{K}_\alpha\)就是小共群\(\mathbf{k}_\alpha\),这里的\(\mathbf{k}_\alpha\)是由小群\(\mathbf{k}_1\)定义的star中的元素,满足\(\mathbf{k}_\alpha=p_\alpha\mathbf{k}_1\).
元素\(g\)在\(\Omega_\alpha\)中的特征标为\(\chi(g)\),那么它在诱导表示\(\Gamma^j\uparrow\mathbf{G}\)中的特征标为\(\sum_\alpha\chi_\alpha(g)\),那么\(\Omega\)是群\(\mathbf{G}\)的不可约表示满足
\[\sum_t\chi_\alpha(t)\chi_\beta(t)=0,\quad\alpha\neq\beta\]这里的\(t\in\mathbf{K}_\alpha\cap\mathbf{K}_\beta\).
如果\(\mathbf{K}_1\)在\(\mathbf{G}\)是不变的,那么对所有的\(\alpha\)都有\(\mathbf{K}_\alpha=\mathbf{K}_1\),可以有下面的关系
\[\sum_a\chi_\alpha^*(k_a)\chi_\beta(k_a)=0,\quad\alpha\neq\beta\]当由基函数\(\langle\phi_{\alpha r}\rvert,\alpha=1,\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert\)张开的\(\mathbf{K}_1\)的不可约表示是相互等价的.(这里的\(\alpha\)就可以认为是陪集分解中的陪集表示的index)
对\(\mathbf{K}_\alpha\cap\mathbf{K}_\beta\)的任何一个子群\(\mathbf{H}_{\alpha\beta}\)一定满足
\[\sum_h\chi^*_\alpha(h)\chi_\beta(h),\quad h\in\mathbf{H}_{\alpha\beta}\label{eq2}\]上面这个等式的意思也就是,\(\mathbf{H}_{\alpha\beta}\)两个表示之间是正交关系,二者之间没有不可约的公共元素,而且上面的求和之中只会包含零和正数,非零项的出现表明这里存在一个\(\Omega_\alpha\)和\(\Omega_\beta\)的不可约子空间,它同时也可以生成\(\mathbf{H}_{\alpha\beta}\)的表示.
方程(\ref{eq2})等于\(n\rvert\mathbf{H}_{\alpha\beta}\rvert\),这里的\(n\)表示上面描述的满足\(\Omega_\alpha,\Omega_\beta\)的不可约子空间的数目,有时候也被称为\(\Omega_\alpha,\Omega_\beta\)在\(\rvert\mathbf{H}_{\alpha\beta}\)下的缠绕数(intertwinding number),而对于前面的介绍,可以看到\(n=0\).
当\(\mathbf{K}_\alpha,\alpha=1,\rvert\mathbf{G}\rvert/\rvert\mathbf{K}_1\rvert\)是一个star的小群时,且\(\mathbf{H}_{\alpha\beta}\)对所有的\(\alpha,\beta\)对取为空间群的平移群\(\mathbf{T}\),作为所有的\(\mathbf{K}_\alpha\)的子群,那么 \(\mathbf{H]_{\alpha\beta}\)是所有\(\mathbf{K}_\alpha\cap\mathbf{K}_\beta\)的子群.
不同的star产生的\(\mathbf{T}\)的表示是不等价的,从而可以看到(\ref{eq2})等于零的结果,这也就确保了从小群的小表示诱导得到的空间群的诱导表示\(\Gamma^j\uparrow\mathbf{G}\)是不可约的.
假设$\Gamma$是群$\mathbf{G}$的一个表示,特征标为$\chi^\Gamma(g)$,将诱导表示$\Gamma^j\uparrow\mathbf{G}$分解到群$\mathbf{G}$的不可约表示上时,$\Gamma$出现的次数就等于表示$\Gamma^j$出现在\(\Gamma\downarrow\mathbf{K}_1\).这里的\(\Gamma\downarrow\mathbf{K}_1\)表示的是将$\Gamma$限制到子群\(\mathbf{K}_1\)的元素上(我理解为就是用这个来作为子群的表示),这个通常称为$\Gamma$子诱导的\(\mathbf{K}_1\)的表示;因为\(\mathbf{K}_1\)是$\mathbf{G}$的子群,那么很明显\(\Gamma\downarrow\mathbf{K}_1\)是群\(\mathbf{K}_1\)的一个维度与$\Gamma$相同的表示.
群的不变子群
将群$\mathbf{G}$根据不变子群$\mathbf{T}$进行陪集分解,如果这些陪集表示$r_\alpha$可以构成一个子群$\mathbf{F}$,那么群$\mathbf{G}$就是平移群和子群$\mathbf{F}$的半直积$\mathbf{G}=\mathbf{T}\land\mathbf{F}$.
将$\mathbf{G}$中的元素表示为\((r_\alpha t_a)\),它们的乘法规则为
\[(r_\alpha t_a)(r_\beta t_b)=(r_{\alpha\beta}t_{\alpha\beta}[t_\alpha]_\beta t_b)\label{eq5}\]这里的\(r_\alpha\)是陪集表示,\([t_\alpha]_\beta=r^{-1}_\beta t_\alpha r_\beta\in\mathbf{T}\),因为$\mathbf{T}$是个不变子群有
\[r_\alpha r_\beta=r_{\alpha\beta}t_{\alpha\beta}\label{eq4}\](\ref{eq4})中右端的分解时唯一的,群元\(r_\alpha r_\beta\in\mathbf{G}\)可以被分解为左陪集表示$r_{\alpha\beta}$和\(t_{\alpha\beta}\in\mathbf{T}\)的乘积.对于一个半直积群,对所有的$\alpha,\beta$,存在$t_{\alpha\beta}=1$.
利用群$\mathbf{G}$中的单位元\((r_1t_1)\)并结合(\ref{eq4}-\ref{eq5})可以得到
\[\begin{equation}\begin{aligned}&[t_\alpha]_1=t_\alpha,\quad [t_1]_\alpha=t_1,\quad r_{\alpha 1}=r_{1\alpha}=r_\alpha,\quad t_{\alpha 1}=t_{1\alpha}=t_1\\ &[t_a]_\alpha[t_b]_\alpha=[t_at_b]_\alpha,\quad [t_a^{-1}]_\alpha=([t_a]_\alpha)^{-1}\end{aligned}\end{equation}\]对所有的$\alpha,\beta,a,\gamma$存在
\[r_{\alpha\beta,\gamma}=r_{\alpha,\beta\gamma},\quad t_{\alpha\beta,\gamma}[t_{\alpha\beta}]_\gamma[[t_a]_\beta]_\gamma=t_{\alpha,\beta\gamma}[t_a]_{\beta\gamma}t_{\beta\gamma}\label{eq6}\]利用上面的关系可以得到
\[r_{\alpha,\beta 1}=r_{\alpha\beta,1}=r_{\alpha\beta}=r_{1,\alpha\beta}=r_{\alpha,1\beta}=r_{\alpha 1,\beta}\] \[t_{\alpha,\beta 1}=t_{1\alpha,\beta}=t_{\alpha,1\beta}=t_{\alpha 1,\beta}=t_{\alpha\beta},\quad t_{\alpha\beta,1}=t_{1,\alpha\beta}=t_1\]将方程(\ref{eq6})中令$a=1$可以得到对所有的$\alpha,\beta,\gamma$存在
\[t_{\alpha\beta,\gamma}[t_{\alpha\beta}]_\gamma=t_{\alpha,\beta\gamma}t_{\beta\gamma}\]\((r_1t_\alpha)\)的逆为\((r_1t_\alpha^{-1})\).给定一个$r_\alpha$一定存在一个唯一的陪集表示\(r_{\alpha\bar{\alpha}}=r_{\bar{\alpha}\alpha}=r_1\),\((r_\alpha t_1)\)的逆是\((r_\alpha t_{\alpha\alpha}^{-1})\),还有下面的一些关系
\[t_{\bar{\alpha}\alpha}=[t_{\alpha\bar{\alpha}}]_\alpha\] \[[[t_a]_\alpha]_\bar{\alpha}=t_{\alpha\bar{\alpha}}^{-1}t_at_{\alpha\bar{\alpha}}\]上面的这些恒等式和方程我自己也并没有证明,而且看得是云里雾里,不是很明白它的具体含义是什么,就暂时从书上抄了下来.
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