在考虑空间坐标转动的时候，不可避免的遇到了欧拉转动的问题，借着这个机会整理一下SO(3)群和SU(2)之间的关系。

对于三维空间中的转动操作，可以利用欧拉转动操作来实现，这里转动按照右手系为参照，首先选定一个直角坐标$O-xyz$固定不动，另外有一个直角坐标系初始时与$O-xyz$重合，首先绕$z$周转动$\alpha$角，可转动的坐标系为$O-x^{‘}y^{‘}z^{‘}$，再绕着$y^{‘}$轴转动$\beta$角，坐标系为$O-x^{‘‘}y^{‘‘}z^{‘’}$，最后再绕着$z^{‘’}$轴转动$\gamma$角，最终转动的坐标系可以表示为$O-x^{‘’‘}y^{‘’‘}z^{‘’’}$，在这样的操作下，可以利用欧拉角来表示任意转动

\[R(\alpha,\beta,\gamma)=R(z^{''},\gamma)R(y^{'},\beta)R(z,\alpha)\]

但这中表示并不是很方便，可以就采用相对固定坐标系$O-xyz$的转动，表示为

\[R(\alpha,\beta,\gamma)=R(z,\alpha)R(y,\beta)R(z,\gamma)\]

这里的转动操作的表示矩阵为

\[R(\alpha,\beta,\gamma)=\left[ \begin{array}{ccc} \cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ \sin\alpha&\cos\alpha&0\\ 0&0&1 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} \cos\beta&0&\sin\beta\\ 0&1&0\\ -\sin\beta&0&\cos\beta \end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} \cos\gamma&-\sin\gamma&0\\ \sin\gamma&\cos\gamma&0\\ 0&0&1 \end{array} \right]\label{eq19}\]

对于一个二维矩阵满足

\[u=\left[ \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right]\quad u^{\dagger}u=1\quad \text{Det}(u)=1\]

那么这个矩阵$u$是二维幺模幺正矩阵，其矩阵元满足

\[a=d\quad b^{*}=-c\quad a^{*}a+bb^{*}=1\]

则可以得到

\[u=\left[ \begin{array}{cc} a&b\\ -b^{*}&a^{*} \end{array} \right]\label{eq11}\]

因为矩阵元素满足

\[a^{*}a+bb^{*}=1\]

所以$u$中独立元素的个数是3，满足上面这些条件的$2\times 2$的矩阵构成一个群，

1.幺正矩阵的乘积仍为幺正矩阵，且行列式同样不变，满足封闭性。

2.存在单位元${\bf I}$也是一个二维幺正幺模矩阵。

3.因为$\text{Det}(u)\neq 0$，所以$u$是非奇异矩阵，必然存在逆元。

4.矩阵之间的乘法运算就是乘法，满足结合律。

所有的$2\times 2$的幺正幺模矩阵组成群，称为二维幺正幺模群$SU(2)$。{\color{blue!50}这里可以看到，三维空间中的转动操作$SO(3)$与$SU(2)$都是由三个独立的变量去决定的，可以猜测这二者之间可能存在某种联系。}

对于任意的一个trace为零二维幺正矩阵${\bf h}$，可以将其表示为Pauli矩阵的线性组合

\[{\bf h}=\left[ \begin{array}{cc} h_{11}&h_{12}\\ h_{21}&h_{22} \end{array} \right]=x\sigma_{x}+y\sigma_{y}+z\sigma_{z}=\mathbf{r}\cdot{\bf \sigma}=\left[ \begin{array}{cc} z&x-iy\\ x+iy&-z \end{array}\right]\label{eq16}\]

因为$x,y,z$都是实数(要使的h仍然是二维幺正幺模群中的元素，必须令其为实数，否则就不满足群的封闭性)，所以有${\bf h}={\bf h}^{\dagger}$，即就是${\bf h}$是个厄米矩阵，从而有

\[x=\frac{h_{21}+h_{12}}{2}\quad y=\frac{h_{21}-h_{12}}{2i}\quad z=h_{11}=-h_{22}\]

利用二维幺正幺模群中的一个元素对${\bf h}$进行幺正变换

\[{\bf h}^{'}={\bf uhu^{-1}}=\left[ \begin{array}{cc} z^{'}&x^{'}-iy^{'}\\ x^{'}+iy^{'}&-z^{'} \end{array} \right]={\bf r}^{'}\cdot\sigma\]

由(\ref{eq11})可知

\[{\bf u^{-1}}=\left[ \begin{array}{cc} a^{*}&-b\\ b^{*}&a \end{array} \right]\]

结合前面的公式可以得到

\[\begin{aligned} {\bf h^{'}}&=\left[ \begin{array}{cc} a&b\\ -b^{*}&a^{*} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} z&x-iy\\ x+iy&-z \end{array}\right]\left[ \begin{array}{cc} a^{*}&-b\\ b^{*}&a \end{array} \right]\\ &=\left[ \begin{array}{cc} h_{11}^{'}&h_{12}^{'}\\ h_{21}^{'}&h_{22}^{'} \end{array} \right] \end{aligned}\]

通过求解上式可以得到

\[\begin{aligned} x^{'}&=\frac{h_{21}^{'}+h_{12}^{'}}{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+a^{*2}-b^{2}b^{*2})x+\frac{i}{2}(-a^{2}+a^{*2}-b^{2}+b^{*2})y-(ab+a^{*}b^{*})z\\ y^{'}&=\frac{h_{21}^{'}-h_{12}^{'}}{2i}=\frac{i}{2}(a^{2}-a^{*2}+b^{*2}-b^{2})x+\frac{1}{2}(a^{2}a^{*2}+b^{2}+b^{*2})y+i(a^{*}b^{*}-ab)z\\ z^{'}&=h_{11}^{'}=-h_{22}^{'}=(a^{*}b+ab^{*})x+i(a^{*}b-ab^{*})y+(aa^{*}-bb^{*})z \end{aligned}\]

通过上面的分析可以看到，要使一个矩阵${\bf h}$变成${\bf h^{‘}}$的幺正矩阵${\bf u}$，总是存在一个$3\times 3$的矩阵$R({\bf u})$使得

\[{\bf r}(x,y,z)\rightarrow{\bf r^{'}}(x^{'},y^{'},z^{'})\quad {\bf r^{'}}={\bf R(u)}{\bf r}\]

对应的{\bf R(u)}为

\[{\bf R(u)}=\left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2}(a^{2}+a^{*2}-b^{2}b^{*2})&\frac{i}{2}(-a^{2}+a^{*2}-b^{2}+b^{*2})&-(ab+a^{*}b^{*})\\ \frac{i}{2}(a^{2}-a^{*2}+b^{*2}-b^{2})&\frac{1}{2}(a^{2}a^{*2}+b^{2}+b^{*2})&i(a^{*}b^{*}-ab)\\ (a^{*}b+ab^{*})&i(a^{*}b-ab^{*})&(aa^{*}-bb^{*}) \end{array} \right]\]

这里举一个例子，将幺正变换矩阵${\bf u}$选择为

\[{\bf u}(\alpha)=\left[ \begin{array}{cc} e^{-i\frac{\alpha}{2}}&0\\ 0&e^{i\frac{\alpha}{2}} \end{array} \right]\]

则这个幺正矩阵对应的转动操作为

\[{\bf R}(\alpha)=\left[ \begin{array}{ccc} \cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ \sin\alpha&\cos\alpha&0\\ 0&0&1 \end{array} \right]\]

它对应的正是绕$z$轴转动$\alpha$角的转动操作矩阵${\bf R}(z,\alpha)$。若选择一个实矩阵

\[{\bf u}(\beta)=\left[ \begin{array}{cc} \cos\frac{\beta}{2}&-\sin\frac{\beta}{2}\\ \sin\frac{\beta}{2}&\cos\frac{\beta}{2} \end{array} \right]\]

其对应的旋转矩阵为

\[{\bf R}(\beta)=\left[ \begin{array}{ccc} \cos\beta&0&\sin\beta\\ 0&1&0\\ -\sin\beta&0&\cos\beta \end{array} \right]\]

表示绕着$y$轴转动$\beta$角。

当用欧拉角来表示正当转动时

\[R(\alpha,\beta,\gamma)=R(z,\alpha)R(y,\beta)R(z,\gamma)\]

由前面的分析可知对于任意的转动$R(\alpha,\beta,\gamma)$必然存在一个二维的幺正幺模矩阵${\bf u}(\alpha,\beta,\gamma)$满足

\[\begin{aligned} {\bf u}(\alpha,\beta,\gamma)&={\bf u}_{1}(\alpha){\bf u}_{2}(\beta){\bf u}_{3}(\gamma)\\ &=\left[ \begin{array}{cc} e^{-i\frac{\alpha+\gamma}{2}}\cos\frac{\beta}{2}&e^{-i\frac{\alpha-\gamma}{2}}\sin\frac{\beta}{2}\\ e^{i\frac{\alpha+\gamma}{2}}\sin\frac{\beta}{2}&e^{i\frac{\alpha+\gamma}{2}}\cos\frac{\beta}{2} \end{array} \right] \end{aligned}\]

到这里可以看到，通过矩阵${\bf h}$作为中间媒介，$SU(2)$群元和$SO(3)$转动群的群元之间存在着对应的关系，即就是当${\bf uhu^{-1}}=h^{‘}$时，相应的存在$R({\bf u}){\bf r}={\bf r^{‘}}$，从而就可以建立起${\bf u}$与$R{\bf u}$之间的对应关系。但是这里存在一个关系$(-{\bf u}){\bf h}(-{\bf u^{-1}})={\bf h^{‘}}$，同样存在$R({\bf u}){\bf r}={\bf r^{‘}}$，这说明${\bf u,-u}$同时对应着$R({\bf u})$，也就是说他们之间时满足2对1的关系，出现这个对应关系的原因是因为，在几何空间中，绕某个轴转动$\alpha$角和转动$\alpha+2\pi$是相同的，但是对于二维幺正矩阵则是不同的，比如绕$z$轴的转动

\[\begin{aligned} R(z,\alpha)&=R(z,\alpha+2\pi)\\ {\bf u}(\alpha+2\pi)&=\left[\begin{array}{cc} e^{-i\frac{\alpha+2\pi}{2}}&0\\ 0&e^{i\frac{\alpha+2\pi}{2}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -e^{-i\frac{\alpha}{2}}&0\\ 0&-e^{i\frac{\alpha}{2}} \end{array}\right]=-{\bf u}(\alpha) \end{aligned}\]

这也就是说$R(\alpha,\beta,\gamma),R(\alpha+2\pi,\beta,\gamma)$在$SO(3)$群是相同的群元，但是却对应着$SU(2)$群的两个不同的群元（一个是正另外一个是负），即就是$SU(2)$与$SO(3)$是满足2对1的同态关系。

参考

1.Surface States of Topological Insulators

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