这里整理一下另外一种求解边界态色散的方法，其实就是沈顺清老师Topological insulator这本书中提供的方法，只是自己之前并不是按照这种方法计算边界态理论的，最近在重复一篇文章，它用的就是这种方法，所以我就顺便整理了一下。

模型

先考虑一个哈密顿量

$\begin{equation} H(\mathbf{k})=\left(\begin{array}{cc}m_t-t(k_\perp^2+k_\parallel^2)&e^{-i \theta } v (k_\perp+i k_\parallel)\\e^{i \theta } v (k_\perp-i k_\parallel)&-(m_t-t(k_\perp^2+k_\parallel^2))\end{array}\right) \end{equation}$

因为边界态总是束缚在边界上的，所以这里可以先给定一个形式解

$\begin{equation} \psi(\mathbf{r})=e^{ik_\parallel x_\parallel}e^{\xi x_\perp}\left(\begin{array}{c}\alpha \\\beta\end{array}\right) \end{equation}$

那么就可以起来求解本征方程

$H\psi=E\psi$

将解的形式代入可以得到

$\begin{equation} \left(\begin{array}{cc}m_t-t(k_\perp^2+k_\parallel^2)&e^{-i \theta } v (k_\perp+i k_\parallel)\\e^{i \theta } v (k_\perp-i k_\parallel)&-(m_t-t(k_\perp^2+k_\parallel^2))\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\\beta\end{array}\right)=0 \end{equation}$

下面将$k_\perp$方向取为开放边界$k_\perp\rightarrow-i\partial_\perp\rightarrow-i\xi$

$\begin{equation} \left(\begin{array}{cc}m-t\xi^2-\epsilon&ive^{-i\theta}(k_\parallel-\xi)\\-ive^{i\theta}(k_\parallel+\xi)&-(m-t\xi^2)-\epsilon\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\\beta\end{array}\right)=0 \end{equation}$

这里的$m=m_t-tk_\parallel^2$，要求解得到$(\alpha,\beta)^T$的非平庸解，则系数矩阵的行列式为零，从而可以得到

$\begin{equation} -k_\parallel^2 v^2-m^2+\xi^2 \left(2 m t+v^2\right)-t^2 \xi^4+\epsilon ^2=0 \end{equation}$

得到关于$\xi$的四次方程，则对应的解为

$\begin{equation} \xi^2_\pm=\frac{2mt+v^2}{2t^2}\pm\frac{\sqrt{(2mt+v^2)^2-4t^2(k_\parallel^2v^2+m^2-\epsilon^2)}}{2t^2} \end{equation}$

这里将本征方程展开

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{cc}(m-t\xi^2-\epsilon)\alpha+ive^{-i\theta}(k_\parallel-\xi)\beta=0\\-ive^{i\theta}(k_\parallel+\xi)\alpha-((m-t\xi^2)+\epsilon)\beta=0\end{array} \right. \end{equation}$

情况1

取

$\alpha=ive^{-i\theta}(k_\parallel-\xi),\beta=-m+t\xi^2+\epsilon$

可以满足第一个等式，将其带入第二个方程中，得到的是前面的本征方程对应的4次方程，此时取波函数的形式为

$\begin{equation} \psi(\mathbf{r})=e^{ik_\parallel x_\parallel}e^{\xi x\perp}\left(\begin{array}{c}ive^{-i\theta}(k_\parallel-\xi)\\ -m+t\xi^2+\epsilon\end{array}\right) \end{equation}$

从前面的关于$\xi$的四次方程可以知道，存在四个对应的$\xi_i$，但是在考虑边界条件$\psi(0)=\psi(+\infty)=0$之后，只有两个解是满足条件的，则边界态可以写成这两个函数的叠加

$\begin{equation} \Psi(\mathbf{r})=C_1\psi_1(\mathbf{r})+C_2(\mathbf{r}) \end{equation}$

再结合边界条件之后，就可以得到这是一个关于$C_1,C_2$的久期方程

$\rvert C_1\quad C_2\rvert=0$

可就是需要满足系数行列式为零

$\begin{equation} \left|\begin{array}{cc}ive^{-i\theta}(k_\parallel-\xi_1)&ive^{-i\theta}(k_\parallel-\xi_2)\\-m+t\xi_1^2+\epsilon&-m+t\xi_2^2+\epsilon\end{array}\right|=0 \end{equation}$

从而可以得到

$\begin{equation} i e^{-i \theta } v (\xi_1-\xi_2) (-k_\parallel t (\xi_1+\xi_2)+m+t \xi_1 \xi_2+\epsilon )=0\rightarrow\epsilon=k_\parallel t(\xi_1+\xi_2)-m-t\xi_1\xi_2 \end{equation}$

情况2

此时取

$\alpha=m-t\xi^2+\epsilon,\beta=-ive^{i\theta}(k_\parallel+\xi)$

满足本征方程展开中的第二个表达式，将结果带入第一个表示式即可以得到4次方程，和前面的情况完全相同，此时的波函数形式为

$\begin{equation} \psi(\mathbf{r})=e^{ik_\parallel x_\parallel}e^{\xi x\perp}\left(\begin{array}{c}-m-t\xi^2+\epsilon\\-ive^{-i\theta}(k_\parallel+\xi) \end{array}\right) \end{equation}$

同样的，在满足边界条件的基础上，四次方程中只有两个根满足条件，记作$\xi_3,\xi_4$，此时边界态仍然可以写成这两个波函数的叠加

$\begin{equation} \Psi(\mathbf{r})=C_3\psi(\mathbf{r})+C_4\psi(\mathbf{r}) \end{equation}$

在边界条件$\Psi(0)=\Psi(+\infty)=0$的条件下，得到关于$C_3,C_4$的久期方程

$\begin{equation} \left|\begin{array}{cc}-m-t\xi_3^2+\epsilon&-m-t\xi_4^2+\epsilon\\ -ive^{-i\theta}(k_\parallel+\xi_3)&-ive^{-i\theta}(k_\parallel+\xi_4)\end{array}\right|=0 \end{equation}$

从而有

$\begin{equation} i e^{i \theta } v \xi_3-\xi_4) (k_\parallel t (\xi_3+\xi_4)+m+t \xi_3 \xi_4-\epsilon )=0\rightarrow\epsilon=k_\parallel t(\xi_3+\xi_4)+m+t\xi_3\xi_4 \end{equation}$

此时需要说明，这里的两种情况中，不同的只是spinor部分的形式不同，空间部分的形式是完全一样的，而且可以知道，spinor部分的形式对于波函数满足空间中的边界条件是没有影响的，因此可以得到
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$\begin{equation} \xi_1=\xi_3,\quad\xi_2=\xi_4 \end{equation}$

而由这两种情况得到的边界态的色散关系为

$\begin{equation} \begin{aligned}\epsilon&=k_\parallel t(\xi_1+\xi_2)-m-t\xi_1\xi_2\\\epsilon&=k_\parallel t(\xi_3+\xi_4)+m+t\xi_3\xi_4\end{aligned} \end{equation}$

因此可以得到$m=-t\xi_1\xi_2$，再结合前面的四次方程

$\begin{equation} -k_\parallel^2 v^2-m^2+\xi^2 \left(2 m t+v^2\right)-t^2 \xi^4+\epsilon ^2=0 \end{equation}$

利用维达定理可得到

$\begin{equation} \xi_1^2\xi_2^2=\frac{m^2+k_\parallel^2 v^2-\epsilon^2}{t^2} \end{equation}$

这里的$m>0$，则可以得到边界态的色散关系为

$\begin{equation} \epsilon=\rvert v\rvert k_\parallel \end{equation}$

将色散关系带入前面的本征方程即可求解得到对应的波函数为

$\begin{equation} \Psi(\mathbf{r})=\mathcal{N}e^{ik_\parallel x_\parallel}(e^{\xi_1 x_\perp}-e^{\xi_2 x_\perp})\left(\begin{array}{c}1\\ -ie^{i\theta}\end{array}\right) \end{equation}$

这里的$\mathcal{N}$是归一化系数，$\xi_i$为

$\begin{equation} \xi_i=\frac{\sqrt{4 m t+v^2}-v}{2 t},-\frac{\sqrt{4 m t+v^2}+v}{2 t} \end{equation}$

这里将$\epsilon=\rvert v\rvert k_\parallel$代入，并利用边界态的本征方程，就可以得到两个解。

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