根据对称性计算体系电四极矩
这里整理一下如何通过Wannier band basis的高对称点对称性本征值来计算体系的电四极矩。想使用这个方法的主要原因是在计算Nested Wilson loop得到电四极矩的时候，如果占据态能带存在简并，这个时候直接利用公式计算会得到不稳定的结果，暂时也没找到解决的办法，所以换个方法来计算电四极矩，而且发现利用对称性指标计算效率更高。
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模型
这里研究我最熟悉的模型，将BHZ模型和$d$波超导体结合起来，这早期实现高阶拓扑超导体的方案之一，其模型为
这个是一个体态电四极矩贡献的高阶拓扑相(这里我就不解释为什么了，感兴趣可以和我讨论)。它具有$x$和$y$方向的Mirror对称性
哈密顿量在Mirror对称操作下满足
除此之外系统还存在inverison对称性
当体系存在Mirror对称性和空间反演对称性之后，其Wannier sector的极化满足(可以参考Electric multipole moments, topological multipole moment pumping, and chiral hinge states in crystalline insulators这篇文章)
所以，如果存在$\mathcal{M}_x,\mathcal{M}_y,\mathcal{P}$的时候，$p_y^{\theta_x^{\pm}}$一定会是量子化的
此时可以通过对称操作在高对称点的本征值来计算Wannier sector的极化(参考Electric multipole moments, topological multipole moment pumping, and chiral hinge states in crystalline insulators)，此时Wannier band basis(参考Nested Wilson loop)满足
这里$\alpha^{\pm}_{M_y}(k_x,k_y)$是$U(1)$的位相。
在reflection不变动量点$k_{y}=0 \text{ 和 }\pi$上，$\alpha^{\pm}_{M_y}(k_x, k_{y})$ 是 $\rvert w^\pm_{x,\bf k}\rangle$ 在 $(k_x,k_{*y})$reflection表示的本征值，对spinless的系统它的取值为$\pm 1$，对于spinfull的系统，取值为$\pm i$。
所以如果在 $k_{y} = 0$ 和 $k_{y} = \pi$表示有相同的本征值，那么Wannier sector就是平庸的，如果具有不同的值，那么Wannier sector就是非平庸的。所以在一个reflection对称的绝缘体中，Wannier sector极化可以通过下面的表达式计算
这里的$*$表示复共轭操作。Wannier sector可以取量子化的值
而体态的电四极矩$Q_{xy}$可以表示为
通过上面的分析可以看到，只要在Wannier band basis上计算得到reflection对称操作的本征值，就可以得到体系的电四极矩。
对于高阶拓扑超导体的模型
可以知道的是，只要正常态处于拓扑相，那么在$d$波电子配对的情况下就一定会实现高阶拓扑超导体，选择一组参数
那么只要$m_0\in(-2,2)$的区间内，那么体系就会是高阶拓扑超导体，相对应的电四极矩就是$1/2$。下面直接上程序进行计算
Mirror eigenvals
1 | # 计算mirror不变点上Wannier 能带对应的镜面本征值 |
这个程序就是计算了Wannier band basis下面，在每一个$m_0$下面的镜面操作的本征值，下面再通过对这些本征值的分析来得到电四极矩。程序的思路就是判断在哪些参数区间内，在$0$和$\pi$位置处的本征值是相反的，而且此时要求一定要在$\mathcal{M}_x$和$\mathcal{M}_y$都要在参数区间内反号，才能实现高阶拓扑相1
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165from telnetlib import X3PAD
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams
import os
config = {
"font.size": 30,
"mathtext.fontset":'stix',
"font.serif": ['SimSun'],
}
rcParams.update(config) # Latex 字体设置
#---------------------------------------------------------
def mirrorval(cont):
# 单独画出每个以文件中的数据
#da1 = "m" + str(cont) + "-pro-ox" + ".dat"
#da2 = "m" + str(cont) + "-pro-oy" + ".dat"
da1 = "mx-dw.dat"
da2 = "my-dw.dat"
picname = "mirrorval-" + str(cont) + ".png"
os.chdir(os.getcwd())# 确定用户执行路径
x0 = []
y0 = []
with open(da1) as file:
da = file.readlines()
for f1 in da:
if len(f1) > 3:
ldos = [float(x) for x in f1.strip().split()]
x0.append(ldos[0])
y0.append(ldos[1])
y0 = np.array(y0)
plt.figure(figsize=(10,8))
#-------------------------
# 颜色填充
x1 = np.linspace(-4,0,50)
x2 = np.linspace(0,8,50)
x3 = np.linspace(8,10,50)
y1 = 1.5 + np.sqrt(x1**2*0)
y2 = -1.5 + np.sqrt(x1**2*0)
# plt.fill_between(x1,y2,y1,color = "lightblue", alpha = 0.3)
# plt.fill_between(x2,y2,y1,color = "pink",alpha = 0.3)
# plt.fill_between(x3,y2,y1,color = "lightblue", alpha = 0.3)
#----------------------------------------------------------------
plt.scatter(x0, y0, s = 30, color = 'lightskyblue', label = "$a_{M_x}(0)a^*_{M_x}(\pi)$", marker = "^")
x1 = []
y1 = []
with open(da2) as file:
da = file.readlines()
for f1 in da:
if len(f1) > 3:
ldos = [float(x) for x in f1.strip().split()]
x1.append(ldos[0])
y1.append(ldos[1])
y1 = np.array(y1)
# print(y0)
# sc = plt.scatter(x0, y0, c = z1, s = 2,vmin = 0, vmax = 1, cmap="magma")
plt.scatter(x1, y1, s = 30, color = 'deeppink', label = "$a_{M_y}(0)a^*_{M_y}(\pi)$", marker = "D" )
font2 = {'family': 'Times New Roman',
'weight': 'normal',
'size': 40,
}
font3 = {'family': 'Times New Roman',
'weight': 'normal',
'size': 20,
}
plt.xlim(np.min(x1),np.max(x1))
plt.ylim(-1.5,1.5)
plt.xlabel("$m_0$",font2)
plt.yticks([-1,0.,1],fontproperties='Times New Roman', size = 40)
plt.xticks([np.min(x1),-1,0,2,4,np.max(x1)],fontproperties='Times New Roman', size = 40)
plt.legend(loc = 'upper left', bbox_to_anchor=(0.0,0.8), shadow = True, prop = font3, markerscale = 1, borderpad = 0.1)
#plt.text(x = 0.6,y = 0.7,s = 'MCM', fontdict=dict(fontsize=20, color='black',family='Times New Roman'))
#plt.text(x = 0.1,y = 0.7,s = 'NSC', fontdict=dict(fontsize=20, color='black',family='Times New Roman'))
# plt.vlines(x = 0, ymin = -1.5, ymax = 1.5,lw = 3.0, colors = 'black', linestyles = '--')
plt.vlines(x = 2, ymin = -1.5, ymax = 1.5,lw = 3.0, colors = 'black', linestyles = '--')
plt.vlines(x = -2, ymin = -1.5, ymax = 1.5,lw = 3.0, colors = 'black', linestyles = '--')
plt.savefig(picname, dpi = 100, bbox_inches = 'tight')
plt.close()
#------------------------------------------------------------
def qxy(cont):
# 通过Mx和Mx共同来决定电四极矩，这才是正确的结果
da1 = "mx-dw.dat"
da2 = "my-dw.dat"
picname = "Qxy-" + str(cont) + ".png"
os.chdir(os.getcwd())# 确定用户执行路径
x0 = []
y0 = []
with open(da1) as file:
da = file.readlines()
for f1 in da:
if len(f1) > 3:
ldos = [float(x) for x in f1.strip().split()]
x0.append(ldos[0])
y0.append(ldos[1])
plt.figure(figsize=(8,8))
#-------------------------
# 颜色填充
x1 = np.linspace(-4,0,50)
x2 = np.linspace(0,8,50)
x3 = np.linspace(8,10,50)
y1 = 1 + np.sqrt(x1**2*0)
y2 = -1 + np.sqrt(x1**2*0)
# plt.fill_between(x1,y2,y1,color = "lightblue", alpha = 0.3)
# plt.fill_between(x2,y2,y1,color = "pink",alpha = 0.3)
# plt.fill_between(x3,y2,y1,color = "lightblue",alpha = 0.3)
#----------------------------------------------------------------
y0 = np.array(y0)
# plt.scatter(x0, y0, s = 30, color = 'lightskyblue', label = "$a_{M_x}(0)a_{M_x}(\pi)$", marker = "x")
x1 = []
y1 = []
with open(da2) as file:
da = file.readlines()
for f1 in da:
if len(f1) > 3:
ldos = [float(x) for x in f1.strip().split()]
x1.append(ldos[0])
y1.append(ldos[1])
y1 = np.array(y1)
# print(y0)
# sc = plt.scatter(x0, y0, c = z1, s = 2,vmin = 0, vmax = 1, cmap="magma")
# plt.scatter(x1, y1, s = 30, color = 'deeppink', label = "$a_{M_y}(0)a_{M_y}(\pi)$", marker = "+" )
re1 = []
for i0 in range(len(y1)):
if y0[i0]==-1 and y1[i0]==-1:
re1.append(1/2.0)
else:
re1.append(0)
re1 = np.array(re1)
# print(len(x1))
# print(len(re1))
plt.scatter(x1, re1, s = 30, color = 'orange', label = "$q_{xy}$", marker = "o" )
font2 = {'family': 'Times New Roman',
'weight': 'normal',
'size': 40,
}
font3 = {'family': 'Times New Roman',
'weight': 'normal',
'size': 20,
}
plt.xlim(np.min(x1),np.max(x1))
plt.ylim(-1,1)
plt.xlabel("$m_0$",font2)
plt.ylabel("$q_{xy}$",font2)
plt.yticks([-1,-0.5,0.,0.5,1],fontproperties='Times New Roman', size = 40)
plt.xticks([np.min(x1),-2,0,2,4,np.max(x1)],fontproperties='Times New Roman', size = 40)
plt.legend(loc = 'upper left', bbox_to_anchor=(0.0,0.8), shadow = True, prop = font3, markerscale = 1, borderpad = 0.1)
#plt.text(x = 0.6,y = 0.7,s = 'MCM', fontdict=dict(fontsize=20, color='black',family='Times New Roman'))
#plt.text(x = 0.1,y = 0.7,s = 'NSC', fontdict=dict(fontsize=20, color='black',family='Times New Roman'))
# plt.vlines(x = -0.5, ymin = -1.5, ymax = 1.5,lw = 3.0, colors = 'blue', linestyles = '--')
# plt.vlines(x = 1.0, ymin = -1.5, ymax = 1.5,lw = 3.0, colors = 'blue', linestyles = '--')
plt.vlines(x = 2, ymin = -1.5, ymax = 1.5,lw = 3.0, colors = 'blue', linestyles = '--')
plt.vlines(x = -2, ymin = -1.5, ymax = 1.5,lw = 3.0, colors = 'blue', linestyles = '--')
# plt.text(x = 1.5,y = -0.7,s = '$m_0$=1.0', fontdict=dict(fontsize=20, color='blue',family='Times New Roman'))
# plt.text(x = -3,y = -0.7,s = '$m_0$=-0.5', fontdict=dict(fontsize=20, color='blue',family='Times New Roman'))
# plt.text(x = 7,y = -0.7,s = '$m_0$=8.0', fontdict=dict(fontsize=20, color='black',family='Times New Roman'))
# plt.text(x = -2,y = -0.7,s = '$m_0$=0.0', fontdict=dict(fontsize=20, color='black',family='Times New Roman'))
plt.savefig(picname, dpi = 100, bbox_inches = 'tight')
plt.close()
#---------------------------------------------------------
def main():
for i0 in range(1,2):
mirrorval(i0)
qxy(i0)
#---------------------------------------------------------
if __name__=="__main__":
main()
通过上面的计算可以看到，在$m_0\in(-2,2)$的区间内，$\mathcal{M}_x$和$\mathcal{M}_y$的本征值在$0$和$\pi$位置处都是相反的，那么根据
就可以确定对应的Wannier sector极化，然后通过两个不同方向的Wannier sector得到体系的电四极矩，计算结果与我们对正常态的分析是符合的。完整的代码和计算结果可以点击这里下载
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