在构建紧束缚模型的时候，不同规范的选择会对后续物理量的计算有影响，该 Blog 简单整理关于原子规范和晶格规范的对比。

晶格规范与原子规范

• 晶格规范（Periodic gauge / lattice-periodic gauge)

定义

$$|k,\alpha\rangle_{P}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_R e^{ik\cdot R}|R,\alpha\rangle,$$

相位只依赖于布拉菲向量$R$，与子晶格位$(\tau_\alpha)$无关。Bloch波函数的原胞部分为

$$u^P_{n\mathbf k}(\mathbf r)=e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf r}\psi_{n\mathbf k}(\mathbf r)$$

它满足完整的周期性

$$u^P_{n,\mathbf k+\mathbf G}(\mathbf r)=u^P_{n\mathbf k}(\mathbf r),~~ u^P_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R)=u^P_{n\mathbf k}(\mathbf r).$$

因此在该规范下面的哈密顿量同样具有周期性

$$H_P(\mathbf k+\mathbf G)=H_P(\mathbf k).$$

• 原子规范(Atomic/orbital gauge or Bloch-sum gauge)

定义

$$|k,\alpha\rangle_{N} =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_R e^{ik(R+\tau_\alpha)}|R,\alpha\rangle.$$

此时相位中包含了原胞内部原子的位置坐标$(\tau_\alpha)$，因此

$$|k+\mathbf G,\alpha\rangle_{N} =e^{i\mathbf G\cdot\tau_\alpha}|k,\alpha\rangle_{N}.$$

可以看到该规范下Bloch波函数在布里渊区边界上并非周期的，而是相差一个与原子坐标相关的相位。在该规范下的哈密顿量满足

$$H_N(\mathbf k+\mathbf G) =U(\mathbf G),H_N(\mathbf k),U^\dagger(\mathbf G), \quad U_{\alpha\beta}(\mathbf G)=\delta_{\alpha\beta}e^{i\mathbf G\cdot\tau_\alpha}.$$

两种规范之间的关系

虽然有两种规范可以构造哈密顿量，但是二者之间也存在关联。通过动量$k$依赖的幺正变换能够实现二者的相互转换

$$|k,\alpha\rangle_N = U_{\alpha\beta}(k), |k,\beta\rangle_P,\qquad U_{\alpha\beta}(k)=\delta_{\alpha\beta}e^{ik\cdot\tau_\alpha}.$$

因此两种规范下面的哈密顿量之间也通过幺正变换联系

$$H_N(k)=U(k),H_P(k),U^\dagger(k),$$

对应的本征态之间有

$$|u^N_{nk}\rangle = U(k)|u^P_{nk}\rangle.$$

两种规范下几何量的影响

不同规范的选取对于物理量的计算是不同的，首先来看Berry联络。对于某一条能带$n$，其定义为

$$A_i(k)= i \langle u_{n k}|\partial_{k_i}u_{n k}\rangle.$$

在两种不同的规范下，Berry联络满足

$$A_i^N(k)=A_i^P(k) + \sum_\alpha |c_{n\alpha}(k)|^2\tau_\alpha^i,$$

更精确的可以表示为

$$A_i^N = A_i^P + {\color{blue}iU^\dagger\partial_{k_i}U},\quad U^\dagger\partial_{k_i}U = \mathrm{diag}(i\tau_\alpha^i).$$

因此在两种规范下，Berry联络相缠一个”位移”项$\tau_\alpha$。

对于Berry曲率，其定义为

$$\Omega_{ij} = \partial_{k_i}A_j - \partial_{k_j}A_i,$$

因为位移项$\tau_\alpha$与动量$k$无关，所以$\textcolor{blue}{附加项}$对于动量的偏导为零，所以两种规范下的Berry曲率都是相同的

$$\Omega^N(\mathbf k) = \Omega^P(\mathbf k).$$

电极化与Berry联络紧密相关

$$P = -\frac{e}{2\pi}\int_{\rm BZ} A(k) dk.$$

由于在两种规范下$A^N = A^P + \tau$，因此电极化在两种规范下有

$$P_N = P_P + e\sum_\alpha \tau_\alpha Q_\alpha,$$

其中$Q_\alpha$是轨道占据。这也是正确的物理结果，因为极化本身就依赖与原胞原点的选择，所以极化并不是规范不变的量。

参考文献

1.Contrasting lattice geometry dependent versus independent quantities: Ramifications for Berry curvature, energy gaps, and dynamics

2.Embedding independent length scale of flat bands

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