转角石墨烯学习笔记

TBG的手征极限

Bistritzer–MacDonald（BM）模型为

$H = \begin{pmatrix} -iv_0\, \boldsymbol{\sigma}_{\theta/2}\!\cdot\!\nabla & T(\mathbf{r}) \\ T^{\dagger}(\mathbf{r}) & -iv_0\, \boldsymbol{\sigma}_{-\theta/2}\!\cdot\!\nabla \end{pmatrix}$

其中

$\begin{aligned} &\boldsymbol{\sigma}_{\pm\theta/2} = e^{\mp i\frac{\theta}{4}\sigma_z}(\sigma_x, \sigma_y)e^{\pm i\frac{\theta}{4}\sigma_z}, \quad \nabla=(\partial_x,\partial_y),\\ &T(\mathbf{r}) = \sum_{n=1}^3 T_n e^{-i\mathbf{q}_n\cdot\mathbf{r}}, \quad T_n = w_{AA}\sigma_0 + w_{AB}(\sigma_x\cos n\phi + \sigma_y\sin n\phi), \quad \phi = \frac{2\pi}{3}. \end{aligned}$

基矢为

$\Phi(\mathbf{r})=(\psi_1,\chi_1,\psi_2,\chi_2)^T$

其中$\ell=1,2$是层指标。定义旋转算符

$R(\theta/4) = e^{i\frac{\theta}{4}\sigma_z}.$

对上下两层波函数分别施加相反旋转

$\Psi_1'(\mathbf{r}) = R(\theta/4)\Psi_1(\mathbf{r}), \quad \Psi_2'(\mathbf{r}) = R(-\theta/4)\Psi_2(\mathbf{r}).$

新的旋量定义为

$\Phi'(\mathbf{r}) = \begin{pmatrix} \Psi_1' \\ \Psi_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R(\theta/4) & 0\\ 0 & R(-\theta/4) \end{pmatrix} \Phi(\mathbf{r}).$

将其代入哈密顿量中，变换后哈密顿量为

$H' = U H U^\dagger, \quad U = \begin{pmatrix} R(\theta/4) & 0\\ 0 & R(-\theta/4) \end{pmatrix}.$

其中动能项为

$R(\theta/4)\, \boldsymbol{\sigma}_{\theta/2}\!\cdot\!\nabla\, R(-\theta/4) = R(\theta/4) e^{-i\frac{\theta}{4}\sigma_z} (\sigma_x, \sigma_y) e^{i\frac{\theta}{4}\sigma_z} R(-\theta/4)=(\sigma_x,\sigma_y)\cdot\nabla$

因此动能项中的旋转角被完全消除

$H' = \begin{pmatrix} -iv_0\, \boldsymbol{\sigma}\!\cdot\!\nabla & T'(\mathbf{r}) \\ T'^{\dagger}(\mathbf{r}) & -iv_0\, \boldsymbol{\sigma}\!\cdot\!\nabla \end{pmatrix},$

其中

$T'(\mathbf{r}) = R(\theta/4)\, T(\mathbf{r})\, R(\theta/4).$

由于 $R(\theta/4)$ 只在 Pauli 矩阵空间旋转，相位不影响 $T(\mathbf{r})$ 的周期结构。在小扭转角极限下，能量上有利的 Bernal 叠层使得 $w_{AA}\ll w_{AB}$。因此取

$w_{AA}=0, \quad T_n = w_{AB}(\sigma_x\cos n\phi + \sigma_y\sin n\phi).$

层间势能变为

$T(\mathbf{r}) = w_{AB}\sum_{n=1}^3 (\sigma_x\cos n\phi + \sigma_y\sin n\phi)e^{-i\mathbf{q}_n\cdot\mathbf{r}}.$

引入复导数算符

$\partial = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y), \quad \bar{\partial} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y),$

动能项可以改写

$\boldsymbol{\sigma}\!\cdot\!\nabla = \sigma_x \partial_x + \sigma_y \partial_y = 2\begin{pmatrix} 0 & \bar{\partial}\\ \partial & 0 \end{pmatrix}.$

因此，在手征极限下$(\omega_{AA}=0)$，单层石墨烯的狄拉克哈密顿量为

$h_0 = -iv_0\boldsymbol{\sigma}\!\cdot\!\nabla = -2iv_0 \begin{pmatrix} 0 & \bar{\partial}\\ \partial & 0 \end{pmatrix}.$

我们现在重新排列四分量旋量的顺序

$\Phi' = (\psi_1, \psi_2, \chi_1, \chi_2)^T,$

即把每层的 $A$、$B$ 亚晶格变量重排，使哈密顿量具有手性块结构。此时矩阵形式为

$\mathcal{H} = \begin{pmatrix} 0 & \mathcal{D}^*(-\mathbf{r})\\ \mathcal{D}(\mathbf{r}) & 0 \end{pmatrix},\qquad \mathcal{D}(\mathbf{r}) = \begin{pmatrix} -2i\bar{\partial} & \alpha U(\mathbf{r})\\ \alpha U(-\mathbf{r}) & -2i\bar{\partial} \end{pmatrix},\label{eq:q2}$

其中

$U(\mathbf{r}) = e^{-i\mathbf{q}_1\cdot\mathbf{r}} + e^{i\phi} e^{-i\mathbf{q}_2\cdot\mathbf{r}} + e^{-i\phi} e^{-i\mathbf{q}_3\cdot\mathbf{r}}, \quad \phi = \frac{2\pi}{3},\qquad \alpha = \frac{w_{AB}}{v_0 k_\theta}.$

哈密顿量$\eqref{eq:q2}$反对易于 $\Gamma = \mathrm{diag}(I_2, -I_2)$

$\{\Gamma, \mathcal{H}\} = 0,$

因此系统具有严格的手性对称性。