双栅屏蔽库仑势

假设有一个2D电子平面位于 $z=0$。在其上方 $z=d_s$ 和下方 $z=-d_s$ 处，各有一个接地（或电位恒定）的金属平面。电子层所在的介质介电常数为 $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$，在电子层之外的点，静电势 $\phi$ 满足 $\nabla^2 \phi = 0$。

边界条件

金属门极处势能为零：$\phi(z = \pm d_s) = 0$。

根据高斯定理，在 $z=0$ 处，电场强度的分量满足

$\left. \frac{\partial \phi}{\partial z} \right|_{z=0^+} - \left. \frac{\partial \phi}{\partial z} \right|_{z=0^-} = -\frac{\sigma}{\epsilon}$
其中 $\sigma$ 为点电荷的电荷密度。

将三维势能写成二维傅里叶形式：$\phi(r, z) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int \phi_q(z) e^{i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} d^2q$。代入拉普拉斯方程 $\nabla^2 \phi = 0$ 得到

$(\frac{d^2}{dz^2} - q^2) \phi_q(z) = 0$

该方程的通解为：$\phi_q(z) = A \sinh(q z) + B \cosh(q z)$。利用 $z = d_s$ 时 $\phi_q = 0$

$\phi_q(z) = C \sinh (q(d_s - |z|))$

这里取绝对值 $|z|$ 是为了保证上下对称性。在 $z=0$ 处放置一个点电荷 $e$，其二维电荷密度傅里叶分量为常数 $e$。利用导数跳变条件

$\left. \frac{d\phi_q}{dz} \right|_{0^+} - \left. \frac{d\phi_q}{dz} \right|_{0^-} = - \frac{e}{\epsilon}$

由于对称性，$\left. \frac{d\phi_q}{dz} \right|_{0^+} = - \left. \frac{d\phi_q}{dz} \right|_{0^-}$，所以得到

$2 \left. \frac{d\phi_q}{dz} \right|_{z=0^+} = -\frac{e}{\epsilon}$

对 $\phi_q(z) = C \sinh[q(d_s - z)]$ 求导

$2 \cdot C \cdot (-q) \cosh(q d_s) = -\frac{e}{\epsilon} \implies C = \frac{e}{2\epsilon q \cosh(q d_s)}$

相互作用能 $V_0(q)$ 定义为电子层（$z=0$）处的电势与电荷的乘积 $e \cdot \phi_q(0)$

$V_0(q) = e \cdot \left( \frac{e}{2\epsilon q \cosh(q d_s)} \cdot \sinh(q d_s) \right)$

利用双曲正切的定义 $\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)$

$V_0(q) = \frac{e^2}{2\epsilon_0\epsilon_r q} \tanh(q d_s)\label{eq:vq}$

其二维傅里叶逆变换可得实空间表达式

$V(r) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int d^2q \, e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} V(q) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \int_0^\infty dq\, J_0(qr)\tanh(q d_s)$

其中$J_0$是$0$阶贝塞尔函数，这个积分没有简单的解析解，只能数值计算或用特殊函数近似。

若使用镜像电荷法构造实空间势，电子层上下的金属面会在$z = ±2n d_s$处产生镜像电荷列。实空间势为无穷镜像电荷叠加

$V(r) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{r^2 + (2n d_s)^2}}$

该求和是严格形式。然而，解析求和很难；为了获得简单的物理解读，人们通常只保留前两项（原电荷 + 第一对镜像电荷）

$V(r) \approx \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 + 4d_s^2}} \right)$

方程$\eqref{eq:vq}$涵盖了两种极端的物理情况:

单体库仑极限 ($q d_s \gg 1$)：当门极离电子层很远，或者动量很大（考察短距离作用）时，$\tanh(q d_s) \to 1$

$V_0(q) \approx \frac{e^2}{2\epsilon q}$

这正是标准二维库仑势的傅里叶变换（在实空间对应 $1/r$）

偶极屏蔽极限 ($q d_s \ll 1$)：当门极离电子层很近，或者动量很小（考察长距离作用）时，利用级数展开 $\tanh(x) \approx x$

$V_0(q) \approx \frac{e^2}{2\epsilon q} (q d_s) = \frac{e^2 d_s}{2\epsilon}$

此时势能在 $q \to 0$ 时不再发散（由 $\infty$ 变成了常数）。这意味着在实空间，这种势能的衰减比 $1/r$ 快得多（类似于偶极子场）。

在转角电子学，特别是转角双层石墨烯的研究中，这种双门极屏蔽库仑势至关重要。在普通的二维电子气中，库仑势以 $1/r$ 缓慢衰减，在动量空间 $q \to 0$ 时发散，如果排斥力太强且作用范围太广，系统可能会直接进入电荷密度波（CDW）或 Wigner 晶体相。门电压提供的 $\tanh(qd_s)$ 因子将长程发散截断为常数。这使得研究者可以人工调节相互作用的“程长”，确保系统处于强关联但仍可控的区域。

在实验室中，MATBG 样品通常被夹在两层封装用的六方氮化硼（hBN）之间，最外层则是金属栅极（Gate）。实验中测量的电导、电容等输运性质，其边界条件严格符合“金属-电介质-半导体-电介质-金属”的结构。使用 $V_0(q) \propto \tanh(qd_s)/q$ 能让理论计算的势能分布与实验装置中的静电势分布完全吻合，从而使得理论拟合（如提取相互作用参数 $U$）具有高度可靠性。