磁场下的Josephson电流

考虑一个标准的Josephson结，电流传输沿$x$方向，结的横向宽度沿$y$方向，磁场取垂直于结面的$z$方向，这样磁场会在横向$y$方向上引入位置依赖的相位差。取短结情形$L\ll \xi$，其中$\xi$是Cooper对的相干长度，局域Josephson电流密度表示为

$j(y)=j_c(y)\sin\phi(y).$

施加磁场之后，规范不变的相位差沿横向方向满足

$\frac{d\phi(y)}{dy}=\frac{2\pi}{\Phi_0}\,\Lambda B,$

其中$\Phi_0=h/2e$是超导磁通量子，$\Lambda$是有效磁厚度，通常包含势垒厚度以及两侧London穿透深度的共线，$B$是穿过有效结面积的磁场分量。因此

$\phi(y)=\phi_0+ky, \qquad k=\frac{2\pi}{\Phi_0}\Lambda B.$

对应的局域电流密度为

$j(y)=j_c(y)\sin(\phi_0+ky).$

总电流密度是对局域电流密度的积分

$I(\phi_0,B)=\int dy\, j_c(y)\sin(\phi_0+ky).$

可以看到，局域电流密度$j_c(y)$的分布不同，最后得到的电流随磁场比的变化也会不同。下面对公式进行改写，将正弦函数改写为

$\sin(\phi_0+ky)=\Im\left[e^{i(\phi_0+ky)}\right].$

于是

$I(\phi_0,B) = \Im\left[ e^{i\phi_0}\int dy\, j_c(y)e^{iky} \right].$

设

$\mathcal J(k)=\int dy\, j_c(y)e^{iky},$

从而得到

$I(\phi_0,B)=\Im\left[e^{i\phi_0}\mathcal J(k)\right].$

临界电流$I_c(B)$是对$\phi_0$取最大值，因此

$I_c(B)=\max_{\phi_0}|I(\phi_0,B)| =|\mathcal J(k)| = \left|\int dy\, j_c(y)e^{iky}\right|.\label{eq:m1}$

可以看到临界电流$I_c(B)$本质上就是横向电流分布$j_c(y)$的Fourier模值

Fraunhofer图案

考虑最理想的宽结情形：结的横向方向$[-W/2,W/2]$有均匀的电流传输，即

$j_c(y)= \begin{cases} j_0, & -\dfrac W2 \le y \le \dfrac W2,\\[4pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}$

将其代入方程$\eqref{eq:m1}$

$I_c(B) = \left| \int_{-W/2}^{W/2} dy\, j_0 e^{iky} \right| = j_0 \left| \int_{-W/2}^{W/2} e^{iky}dy \right|.$

直接积分有

$\int_{-W/2}^{W/2} e^{iky}dy = \left[\frac{e^{iky}}{ik}\right]_{-W/2}^{W/2} = \frac{e^{ikW/2}-e^{-ikW/2}}{ik} = \frac{2\sin(kW/2)}{k}.$

从而得到电流与磁场的关系

$I_c(B) = j_0\left|\frac{2\sin(kW/2)}{k}\right|.$

临界电流为$I_c(0)=j_0W$，最终可以归一化的将电流表示为

$I_c(B) = I_c(0) \left| \frac{\sin(kW/2)}{kW/2} \right|.$

将

$k=\frac{2\pi}{\Phi_0}\Lambda B, \qquad \Phi=B\Lambda W,$

代入最终得到电流随磁场的变化分布为

${ I_c(B)=I_c(0)\left| \frac{\sin(\pi\Phi/\Phi_0)}{\pi\Phi/\Phi_0} \right| }$

其中$\Phi$是穿过有效结面积$A_{\rm eff}=\Lambda W$的磁通，上式就是标准的Fraunhofer图案。

在这种电流均匀分布的情形中，因为每个位置$y$都会贡献电流，而且磁场在不同$y$处还附加了额外的相位$ky$，因此总电流就是连续一整个区域内所有局域电流的相干叠加
$I \sim \int_{-W/2}^{W/2} dy\, e^{iky}.$
这就像是单缝衍射，磁场为零时所有位置局域电流都相同，此时$I_c$最大；随着磁场增大，不同$y$处的相位不再相同，当$\Phi=n\Phi_0$时，整个宽度上局域电流的贡献完全抵消，从而出现节点。

SQUID图案

现在考虑另外一种极端情形：不是整个结面宽度都存在电流输运，而只在边界两个窄通道处存在电流传输，位于

$y=+\frac d2,\qquad y=-\frac d2.$

将它们表示成两个delta峰

$j_c(y)=I_1\,\delta\!\left(y-\frac d2\right) +I_2\,\delta\!\left(y+\frac d2\right).$

这里的$I_1,I_2$不是电流密度，而是两条通道各自能提供的临界电流权重，将上式代入方程$\eqref{eq:m1}$得到

$I_c(B) = \left| I_1 e^{ikd/2}+I_2 e^{-ikd/2} \right|.$

将模方展开得到

$\begin{aligned} I_c^2(B) &= \left(I_1 e^{ikd/2}+I_2 e^{-ikd/2}\right) \left(I_1 e^{-ikd/2}+I_2 e^{ikd/2}\right),\\ &=I_1^2+I_2^2+2I_1I_2\cos(kd). \end{aligned}$

最终得到电流随磁场的变化为

${ I_c(B)=\sqrt{I_1^2+I_2^2+2I_1I_2\cos(kd)} }$

这就是双通道干涉的一般结果。如果两条通道完全对称$I_1=I_2=I_0$，则

$I_c(B) = \sqrt{2I_0^2+2I_0^2\cos(kd)} = 2I_0\left|\cos\frac{kd}{2}\right|.$

再结合

$k=\frac{2\pi}{\Phi_0}\Lambda B, \qquad \Phi=B\Lambda d,$

得到

${ I_c(B)=2I_0\left|\cos\left(\pi\Phi/\Phi_0\right)\right| }$

这就是标准的SQUID图案。

因为现在不再是“整个宽度都具有连续电流分布”，而只是在两个离散位置存在电流，因此总的电流只是两个向量的矢量和
$I_c \sim \left|I_1 e^{i\phi_1}+I_2 e^{i\phi_2}\right|.$
这就是标准的SQUID，两条臂各积累一个磁场相关的相位，最终只做两项的干涉，从而给出余弦振荡。所以SQUID的本质就是两个离散通道的向量叠加。

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