二维NSN结中的Tomasch振荡

考虑一个二维弹道NSN结，超导区域位于

$0<x<L,$

两侧为正常金属。界面与$y$方向垂直，体系沿$y$方向具有平移不变性，横向动量$k_y$守恒。这里关注能隙以上$E>\Delta$的准粒子输运。超导区是有限长度，因此电子型和空穴型 Bogoliubov 准粒子可以在两个 NS 界面之间往返反射，形成 Fabry-Pérot干涉。这种 above-gap 的准粒子干涉振荡就是 Tomasch 振荡。

连续BdG模型

这里先试用最简单的无自旋或者等效单自旋Nambu基矢

$\Psi= \begin{pmatrix} \psi\\ \psi^\dagger \end{pmatrix}.$

正常金属区域的哈密顿量为

$H_N(\mathbf k) = \xi_N(\mathbf k)\tau_z,\quad \xi_N(\mathbf k) = \frac{\hbar^2(k_x^2+k_y^2)}{2m_N}-\mu_N.$

这里为了解析推导方便，选择左右金属区域和超导区域的电子具有相同的质量和化学势

$m_N=m_S=m, \qquad \mu_N=\mu_S=\mu.$

普通的$s$波配对为常数$\Delta(\mathbf k)=\Delta_s$，对应的BdG哈密顿量为

$H_S^s(\mathbf k) = \xi_S(\mathbf k)\tau_z+\Delta_s\tau_x,\quad \xi_S(\mathbf k) = \frac{\hbar^2(k_x^2+k_y^2)}{2m}-\mu.$

能谱为

$\xi_S(\mathbf k) = \frac{\hbar^2(k_x^2+k_y^2)}{2m}-\mu.$

二维手征$p$波配对为$\Delta(\mathbf k)\propto k_x+i k_y$，对应的BdG哈密顿量写作

$H_S^p(\mathbf k) = \xi_S(\mathbf k)\tau_z + \Delta_p k_x\tau_x - \Delta_p k_y\tau_y.$

其能谱为

$E_\pm^p(\mathbf k) = \pm \sqrt{ \xi_S^2(\mathbf k)+\Delta_p^2(k_x^2+k_y^2) }.$

如果希望$p$波配对在费米面上能隙大小与$s$波相同，可以选择$\Delta_p k_F=\Delta_s$，即

$\Delta_p=\frac{\Delta_s}{k_F}.$

散射模式

由于$y$方向具有平移对称性，波函数可以写作

$\Psi(x,y)=e^{ik_y y}\psi(x).$

因此，对于每一个固定的$k_y$都对应一个沿$x$方向的一维BdG散射问题

$H(k_x\rightarrow -i\partial_x,k_y)\psi(x)=E\psi(x).$

对于给定能量$E$和横向动量$k_y$，正常金属中的电子模式满足$E=\xi_N(k_x,k_y)$，因此

$E= \frac{\hbar^2(k_x^2+k_y^2)}{2m}-\mu,$

得到电子纵向波矢

$k_e = \sqrt{ \frac{2m(\mu+E)}{\hbar^2}-k_y^2 }.$

空穴模式满足$E=-\xi_N(k_x,k_y)$，那么空穴纵向波矢为

$k_h = \sqrt{ \frac{2m(\mu-E)}{\hbar^2}-k_y^2 }.$

正常金属Nambu旋量为

$\chi_e= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \qquad \chi_h= \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}.$

考虑从左侧入射一个电子，左侧波函数写作

$\psi_L(x) = \chi_e e^{ik_e x} + b\,\chi_e e^{-ik_e x} + a\,\chi_h e^{ik_h x}.$

其中$b$是正常反射振幅，$a$是Andreev反射振幅；这里的反射空穴为$e^{+ik_h x}$而不是$e^{-ik_hx}$，因为空穴的色散是$E_h(k_x)=-\xi_N(k_x,k_y)$，群速度为

$v_h= \frac{1}{\hbar}\frac{\partial E_h}{\partial k_x} = -\frac{\hbar k_x}{m}.$

所以$k_x=+k_h$的空穴群速度沿负$x$方向传播，对应反射回左侧。

右侧波函数写作

$\psi_R(x) = c\,\chi_e e^{ik_e(x-L)} + d\,\chi_h e^{-ik_h(x-L)}.$

其中$c$是电子透射振幅，$d$是交叉Andreev透射振幅。

超导区域的波函数写成所有允许的BdG模式的线性组合

$\psi_S(x) = \sum_{j=1}^{4} A_j\chi_j e^{iq_jx}.$

其中$q_j$和$\chi_j$满足

$H_S(q_j,k_y)\chi_j=E\chi_j.$

因为BdG哈密顿量是$2\times2$的，而$q$通常以$q^2$或者$q$的形式进入，给定能量$E,k_y$之后一般有四个$q_j$

$q_1,\ q_2,\ q_3,\ q_4.$

它们对应右行、左行、右衰减、左衰减模式。

$s$波超导

对于$s$波超导

$H_S^s=\xi_S\tau_z+\Delta_s\tau_x,$

能谱满足$E^2=\xi_S^2+\Delta_s^2$，因此

$\xi_S=\pm\Omega,\quad \Omega=\sqrt{E^2-\Delta_s^2}.$

可以得到两类纵向波矢

$q_e = \sqrt{ \frac{2m(\mu+\Omega)}{\hbar^2}-k_y^2 },\qquad q_h = \sqrt{ \frac{2m(\mu-\Omega)}{\hbar^2}-k_y^2 }.$

四个超导模式为

$+q_e,\quad -q_e,\quad +q_h,\quad -q_h.$

对应的旋量可以写成BCS相干因子形式

$\chi_e= \begin{pmatrix} u\\v \end{pmatrix}, \qquad \chi_h= \begin{pmatrix} v\\u \end{pmatrix},\qquad u^2= \frac12 \left( 1+\frac{\Omega}{E} \right),\quad v^2= \frac12 \left( 1-\frac{\Omega}{E} \right).$

当$E>\Delta_s$时$\Omega$为实数，准粒子可以传播；当$E<\Delta_s$时$\Omega$为虚数，超导区域的主要模式为evanescent波。

$p$波超导

为了简化公式，取单位

$\frac{\hbar^2}{2m}=1.$

此时$\xi_S(q,k_y)=q^2+k_y^2-\mu$，对于$p$波

$H_S^p(q,k_y) = \xi_S(q,k_y)\tau_z + \Delta_p q\,\tau_x - \Delta_p k_y\tau_y.$

能谱满足

$E^2 = \xi_S^2(q,k_y) + \Delta_p^2(q^2+k_y^2).$

定义$X=q^2+k_y^2$，则

$E^2=(X-\mu)^2+\Delta_p^2 X.$

展开$X^2
+
(\Delta_p^2-2\mu)X
+
\mu^2-E^2
=
0$，这个二次方程有两个根$X_1,\quad X_2$，每个$X_i$对应$q=\pm\sqrt{X_i-k_y^2}$，因此总共有四个超导模式。对应的旋量可以通过

$\begin{pmatrix} \xi_j & \Delta_p(q_j+ik_y)\\ \Delta_p(q_j-ik_y) & -\xi_j \end{pmatrix} \chi_j = E\chi_j,\qquad \xi_j=q_j^2+k_y^2-\mu.$

得到。一个常用的本征矢量写法为

$\chi_j \propto \begin{pmatrix} \Delta_p(q_j+ik_y)\\ E-\xi_j \end{pmatrix},$

边界条件

边界势垒取为

$U(x)=U[\delta(x)+\delta(x-L)].$

引入无量纲势垒强度

$Z= \frac{mU}{\hbar^2 k_F}.$

对普通二阶导数 Schrödinger 型方程，在界面附近积分可得波函数连续以及导数跃变

$\begin{aligned} &\psi_N=\psi_S,\\ &\partial_x\psi_S-\partial_x\psi_N = \frac{2mU}{\hbar^2}\psi. \end{aligned}$

由于

$\frac{2mU}{\hbar^2}=2Zk_F,$

左界面可以写成

$\partial_x\psi_S(0^+)-\partial_x\psi_L(0^-) = B_0\psi(0),\quad B_0=2Zk_F.$

右界面可以写成

$\partial_x\psi_R(L^+)-\partial_x\psi_S(L^-) = B_L\psi(L).$

对于普通的$s$波超导，$B_0,B_L$是标量乘以单位矩阵。

在$p$波超导中

$\Delta_p k_x \rightarrow -i\Delta_p\partial_x.$

如果配对在界面处从正常态区域的$0$在超导区域突然变为有限只，更严格的应该采用对称化算符

$\frac12 \left[ \Delta(x)(-i\partial_x) + (-i\partial_x)\Delta(x) \right].$

因为$\partial_x \Delta(x)$在界面处包含$\delta$函数，所以边界条件中会多出一个与配对有关的项

$\partial_x\psi_S-\partial_x\psi_N = 2Zk_F\psi + P_p\psi.$

其中$P_p$是Nambu空间矩阵，通常与$\Delta_p\tau_x$同类型。此时发现$p_x$配对中含有$-i\partial_x$，会直接改变界面导数的匹配条件。为了统一写法，后面将左、右界面的边界矩阵标记为

$B_0,B_L$，那么

$\begin{aligned} &B_0=B_L=2Zk_F\,\mathbb I.\qquad \text{$s$波}\\ &B_0=2Zk_F\,\mathbb I+P_0,\qquad B_L=2Zk_F\,\mathbb I+P_L.\qquad \text{$p$波} \end{aligned}$

模式匹配

把四个超导模式的 spinor 组成矩阵

$C_0= \begin{pmatrix} | & | & | & |\\ \chi_1&\chi_2&\chi_3&\chi_4\\ | & | & | & | \end{pmatrix}.$

这是一个$2\times4$的矩阵，在$x=0$处$\psi_S(0)=C_0 A$，其中

$A= \begin{pmatrix} A_1\\A_2\\A_3\\A_4 \end{pmatrix}.$

定义

$Q_0= \begin{pmatrix} | & | & | & |\\ iq_1\chi_1&iq_2\chi_2&iq_3\chi_3&iq_4\chi_4\\ | & | & | & | \end{pmatrix}.$

则$\partial_x\psi_S(0)=Q_0 A$。在$x=L$处，定义

$\begin{aligned} &C_L= \begin{pmatrix} | & | & | & |\\ e^{iq_1L}\chi_1&e^{iq_2L}\chi_2&e^{iq_3L}\chi_3&e^{iq_4L}\chi_4\\ | & | & | & | \end{pmatrix},\\ &Q_L= \begin{pmatrix} | & | & | & |\\ iq_1e^{iq_1L}\chi_1& iq_2e^{iq_2L}\chi_2& iq_3e^{iq_3L}\chi_3& iq_4e^{iq_4L}\chi_4\\ | & | & | & | \end{pmatrix}. \end{aligned}$

于是

$\begin{aligned} &\psi_S(L)=C_L A,\\ &\partial_x\psi_S(L)=Q_L A. \end{aligned}$

左侧正常金属在$x=0$处的波函数为

$\psi_L(0) = \chi_e+b\chi_e+a\chi_h.$

超导区域在$x=0$处为

$\psi_S(0)=C_0A.$

连续性条件$\psi_L(0)=\psi_S(0)$给出

$\chi_e+b\chi_e+a\chi_h-C_0A=0.$

将未知量放在左边，常数项放在右边

$a\chi_h+b\chi_e-C_0A=-\chi_e.\label{eq:m1}$

这是一个二分量方程。

左侧波函数的导数为

$\partial_x\psi_L(x) = ik_e\chi_e e^{ik_ex} - ik_e b\chi_e e^{-ik_ex} + ik_h a\chi_h e^{ik_hx}.$

在$x=0$处

$\partial_x\psi_L(0) = ik_e\chi_e - ik_e b\chi_e + ik_h a\chi_h.$

超导侧导数为

$\partial_x\psi_S(0)=Q_0A.$

左侧界面的跃变条件为

$\partial_x\psi_S(0)-\partial_x\psi_L(0) = B_0\psi(0).$

由于波函数连续，可以选择

$\psi(0)=\psi_L(0) = \chi_e+b\chi_e+a\chi_h.$

所以

$Q_0A - \left( ik_e\chi_e - ik_e b\chi_e + ik_h a\chi_h \right) - B_0 \left( \chi_e+b\chi_e+a\chi_h \right) = 0.$

展开未知量

$Q_0A + \left( -ik_h\chi_h-B_0\chi_h \right)a + \left( ik_e\chi_e-B_0\chi_e \right)b - ik_e\chi_e - B_0\chi_e = 0.$

然后移项

$\left( -ik_h\chi_h-B_0\chi_h \right)a + \left( ik_e\chi_e-B_0\chi_e \right)b + Q_0A = ik_e\chi_e+B_0\chi_e.\label{eq:m2}$

这也是一个二分量方程。

右侧正常金属在$x=L$处为

$\psi_R(L)=c\chi_e+d\chi_h.$

超导区域在$x=L$处为

$\psi_S(L)=C_LA.$

结合连续性条件$\psi_S(L)=\psi_R(L)$给出

$C_LA-c\chi_e-d\chi_h=0.\label{eq:m3}$

右侧正常金属导数为

$\partial_x\psi_R(x) = ik_ec\chi_e e^{ik_e(x-L)} - ik_hd\chi_h e^{-ik_h(x-L)}.$

在$x=L$处

$\partial_x\psi_R(L) = ik_ec\chi_e - ik_hd\chi_h.$

超导侧导数为

$\partial_x\psi_S(L)=Q_LA.$

右界面导数跃变写作

$\partial_x\psi_R(L)-\partial_x\psi_S(L) = B_L\psi(L).$

由于连续性

$\psi(L)=\psi_R(L)=c\chi_e+d\chi_h.$

因此

$ik_ec\chi_e - ik_hd\chi_h - Q_LA - B_L(c\chi_e+d\chi_h) = 0.$

整理可得

$\left( ik_e\chi_e-B_L\chi_e \right)c + \left( -ik_h\chi_h-B_L\chi_h \right)d - Q_LA = 0.\label{eq:m4}$

定义未知向量

$X= \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d\\ A_1\\ A_2\\ A_3\\ A_4 \end{pmatrix}.$

结合方程$\eqref{eq:m1},\eqref{eq:m2},\eqref{eq:m3},\eqref{eq:m4}$可以得到一个$8\times 8$的线性方程

$\mathcal M(E,k_y)X=\mathcal B(E,k_y).$

其中矩阵按$2\times1,2\times4$块写

$\mathcal M= \begin{pmatrix} \chi_h & \chi_e & 0 & 0 & -C_0\\ -ik_h\chi_h-B_0\chi_h & ik_e\chi_e-B_0\chi_e & 0 & 0 & Q_0\\ 0 & 0 & -\chi_e & -\chi_h & C_L\\ 0 & 0 & ik_e\chi_e-B_L\chi_e & -ik_h\chi_h-B_L\chi_h & -Q_L \end{pmatrix}.$

右侧为

$\mathcal B= \begin{pmatrix} -\chi_e\\ ik_e\chi_e+B_0\chi_e\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.$

这里要注意：每一个$\chi_e,\chi_h$都是$2\times1$的列向量，每一个$C_0,Q_0,C_L,Q_L$都是$2\times 4$的矩阵。因此整块矩阵的总维度是$8\times 8$。求解

$X=\mathcal M^{-1}\mathcal B.$

其中第一、第二个分量分别是

$a=a_L(k_y,E), \qquad b=b_L(k_y,E).$

正常反射的概率为

$R_N(k_y,E)=|b_L(k_y,E)|^2.$

Andreev反射概率需要考虑速度比

$R_A(k_y,E)=\frac{|v_h|}{|v_e|}|a_L(k_y,E)|^2.$

在正常金属中

$v_e= \frac{\hbar k_e}{m},\quad |v_h|= \frac{\hbar k_h}{m}.$

所以

$R_A(k_y,E)=\frac{k_h}{k_e}|a_L(k_y,E)|^2.$

在Andreev极限

$\mu\gg E,\Delta,$

下有$k_h\approx k_e$，所以$R_A\approx |a_L|^2$。BKT形式的单通道电导权重为

$T(k_y,E)=1+R_A(k_y,E)-R_N(k_y,E).$

该表达式说明：入射电子贡献为$+1$，正常反射把电子反射回左侧，减少向右的电流，贡献$-R_N$；Andreev反射把一个空穴反射回左侧，等效与向超导体中注入Cooper对，贡献$+R_A$。因为二维体系动量$k_y$是好量子数，给定能量$E$，入射电子允许的横向动量满足

$|k_y|\le K(E),\quad K(E)= \sqrt{ \frac{2m(\mu+E)}{\hbar^2} }.$

总的电导为

${\color{blue} \frac{G(E)}{G_0} = \int_{-K(E)}^{K(E)} \frac{dk_y}{2K(E)} T(k_y,E). }$

Tomasch 振荡

在$E>\Delta$时，超导区域存在传播的类电子和类空穴Bogoliubov模。它们在长度为$L$的超导腔内来回反射，形成类似Fabry-Pérot 腔的干涉。设超导区中类电子和类空穴的纵向波矢分别为

$q_e(E,k_y), \qquad q_h(E,k_y).$

它们穿过长度为$L$的超导区域时积累的相位差为

$\Delta\varphi(E,k_y)=\frac{[q_e(E,k_y)-q_h(E,k_y)]}{L}$

当

$[q_e(E,k_y)-q_h(E,k_y)]L=2\pi n$

时实现相长干涉。因此Tomasch振荡的基本条件为

$q_e(E,k_y)-q_h(E,k_y)=\frac{2\pi n}{L}.$

在Andreev极限下可以近似为

$q_{e,h} \approx k_x^F \pm \frac{\Omega}{v_x},\qquad \Omega=\sqrt{E^2-\Delta^2},v_x=\frac{\hbar k_x^F}{m}.$

因此

$q_e-q_h\approx \frac{2\Omega}{v_x}.$

干涉条件变为

$\frac{2\Omega L}{v_x}=2\pi n\Longrightarrow \Omega_n\approx \frac{\pi n v_x}{L}.$

于是

$E_n \approx \sqrt{ \Delta^2+ \left( \frac{\pi n v_x}{L} \right)^2 }.$

该表达式说明，Tomasch振荡本质上是有限超导腔内Bogoliubov准粒子的相干干涉。超导区域越长，振荡乐迷；纵向速度越小，振荡也越密。

势垒影响

在NS界面处，势垒的存在对态的传播具有比较显著的影响。当界面透明度高时，lead 与超导区强耦合，Tomasch 振荡主要由传播准粒子的相位干涉决定，此时不同配对的差异可能不强。如果界面势垒很大$Z\gg1$，此时电极与超导区域的耦合较弱，输运主要发生在超导腔本征态附近。因此在强势垒极限下，理解透射率$T(k_y,E)$的关键就是分析超导腔中的驻波模式能谱。

在$0<x<L$中取驻波

$\varphi_\alpha(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\alpha\pi x}{L}\right), \qquad \alpha=1,2,3,\cdots.$

此时在$y$方向仍然是平面波$e^{ik_y y}$，正常态能量为

$\epsilon_\alpha(k_y) = \frac{\hbar^2}{2m} \left[ \left(\frac{\alpha\pi}{L}\right)^2+k_y^2 \right] -\mu.$

定义Nambu旋量

$D_{\alpha,k_y} = \begin{pmatrix} d_{\alpha,k_y}\\ d^\dagger_{\alpha,-k_y} \end{pmatrix}.$

对于$s$波配对，因为配对是常数，它不会改变驻波模式索引$\alpha$，所以

$H_{\rm cav}^s = \sum_{\alpha,k_y} D_{\alpha,k_y}^\dagger \begin{pmatrix} \epsilon_\alpha(k_y)&\Delta_s\\ \Delta_s^\ast&-\epsilon_\alpha(k_y) \end{pmatrix} D_{\alpha,k_y}.$

不同的$\alpha$之间没有耦合，对于每个$\alpha$，本征能量为

$E_\alpha^s(k_y) = \pm \sqrt{ \epsilon_\alpha^2(k_y)+|\Delta_s|^2 }.$

因此$s$波只能给每个驻波模式单独打开主吵到能隙，而不会混合不同的驻波模式。所以在$s$波超导的孤立腔中，不同驻波模式的交叉不会打开secondary能隙。

对于$p$波超导$k_x+i k_y$，其中$k_x\rightarrow -i\partial_x$，它作用在驻波上有

$\partial_x \sin\left(\frac{\beta\pi x}{L}\right) = \frac{\beta\pi}{L} \cos\left(\frac{\beta\pi x}{L}\right).$

这会导致不同驻波模式之间存在耦合。计算

$I_{\alpha\beta} = \int_0^L dx\, \varphi_\alpha(x) \partial_x \varphi_\beta(x).$

代入$\varphi_\alpha(x)
=
\sqrt{\frac{2}{L}}
\sin\left(\frac{\alpha\pi x}{L}\right)$得到

$I_{\alpha\beta} = \frac{2}{L} \frac{\beta\pi}{L} \int_0^L dx\, \sin\left(\frac{\alpha\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{\beta\pi x}{L}\right).$

利用

$\sin A\cos B = \frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)].$

可得

$\int_0^L dx\, \sin\left(\frac{\alpha\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{\beta\pi x}{L}\right) = \frac{L}{2\pi} \left[ \frac{1-(-1)^{\alpha+\beta}}{\alpha+\beta} + \frac{1-(-1)^{\alpha-\beta}}{\alpha-\beta} \right].$

由于$(-1)^{\alpha-\beta}=(-1)^{\alpha+\beta}$，上式整理可得

$I_{\alpha\beta} = \frac{2\alpha\beta}{L(\alpha^2-\beta^2)} \left[ 1-(-1)^{\alpha+\beta} \right].$

也可以表示为

$I_{\alpha\beta} = \frac{2\alpha\beta}{L(\alpha^2-\beta^2)} \left[ 1-\cos(\pi\alpha)\cos(\pi\beta) \right].$

此时可以看到，如果$\alpha$和$\beta$同奇偶，那么$\alpha+\beta$为偶数$(-1)^{\alpha+\beta}=1$，所以这种模式之间不会发生耦合$I_{\alpha\beta}=0$。如果$\alpha$和$\beta$的奇偶性相反则$\alpha+\beta$为奇数，从而$(-1)^{\alpha+\beta}=-1$，所以$(-1)^{\alpha+\beta}=-1$。因此$p_x$配对只耦合奇偶性相反的驻波模式。

因此$p$波腔哈密顿量可以写作

$H_{\rm cav}^p = \sum_{\alpha,\beta,k_y} D_{\alpha,k_y}^\dagger \begin{pmatrix} \epsilon_\alpha(k_y)\delta_{\alpha\beta} & \Delta_p\left[ k_y\delta_{\alpha\beta}+q_{\alpha\beta} \right] \\ \Delta_p^\ast\left[ k_y\delta_{\alpha\beta}-q_{\alpha\beta} \right] & -\epsilon_\alpha(k_y)\delta_{\alpha\beta} \end{pmatrix} D_{\beta,k_y}.$

其中$q_{\alpha\beta}\sim I_{\alpha\beta}$。现在考虑两个原本交叉的驻波模式分支$|\alpha\rangle,|\beta\rangle$，如果没有耦合，它们在某个$(k_y,E)$满足$E_\alpha(k_y)=E_\beta(k_y)$。有了$p_x$配对之后，二者之间出现耦合

$V_{\alpha\beta}\sim \Delta_p q_{\alpha\beta}.$

交叉点附近的有效哈密顿量可以表示为

$H_{\rm eff} = \begin{pmatrix} E_\alpha & V_{\alpha\beta}\\ V_{\alpha\beta}^\ast & E_\beta \end{pmatrix}.$

本征值为

$E_\pm = \frac{E_\alpha+E_\beta}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{E_\alpha-E_\beta}{2} \right)^2 + |V_{\alpha\beta}|^2 }.$

在交叉点$E_\alpha=E_\beta$处产生的能隙为

$\Delta_{\rm sec}=2|V_{\alpha\beta}|.$

因此，secondary能隙是有限超导腔中驻波模式被配对诱导的耦合混合之后形成的反交叉点。

因此，在强势垒极限下，$s$波配对$\Delta_s$是常数，不混合不同的驻波，所以孤立腔中的分支交叉此时还是保持的。而对于$p$波配对$\Delta_pk_x\to-i\Delta_p\partial_x$会混合不同奇偶性的驻波模式，所以原本的交叉点就变成了反交叉点，并打开secondary能隙。这就是为什么在强势垒极限下$p$波的above能隙Tomasch振荡更加稳健，而$s$波的振荡更容易被抑制。$s$波中类似的secondary能隙结构主要依赖电极耦合，所以势垒高会使得耦合变弱，这些结构就会消失；而$p$波中的secondary能隙来自配对自身的结构，因此在强势垒下仍然存在。