时间反演极化
满足时间反演不变的体系, Chern数为0, 但是可以通过$Z_2$拓扑不变量描述, 任然可以通过一个物理图像来理解这个不变量和某一种极化之间的对应关系, 这里整理一下时间反演极化与$Z_2$拓扑不变量之间的联系. 虽然存在时间反演不变时, Berry曲率是个奇函数, 对BZ的积分为0, 但是任然可以通过$Z_2$拓扑不变量进行描述, 这里主要整理一下如何通过时间反演极化, 将一个具体的物理图像和$Z_2$拓扑不变量联系起来.{:.info} 考虑一个1D能带结构, 它是具有$\frac{1}{2}$自旋满足时间反演对称的系统, 此时可以不用在考察整个BZ, 而只需要考虑半个BZ即可, 另外一半可以通过时间反演联系起来. 体系存在时间反演对称性时, 能带总是成对出现的, 系统整体的性质可以通过只考虑布里渊区中Kramers对中的一支即可. 时间反演对称将$k$的能带$\alpha$变换到$-k$的能带$\beta$,这里的$\alpha,\beta$是Kramers对,它们之间会相差一个位相因子 \rvert u^\alpha_{-k,a}\rangle=e^{i\chi_{k,a}}T\rvert u^\beta_{k,a}\rangle\label{2}时间反演操作算符$T$作用后 T\rvert u^\alpha_{-k,a}\rangle=Te^{i\chi_{k,a}}T\rvert u^\beta_{k,a}\rangle=e^{-i\chi_{k,a}}T^2\rvert u^\beta_{k,a}\rangle=-e^{-i\chi_{k,a}}\rvert u^\beta_{k,a}\rangle所以可以得到 \rvert u^\beta_{-k,a}\rangle=-e^{-i\chi_{-k,a}}T\rvert u^\alpha_{k,a}\rangle从上面可以看出, 在$\rvert u_{k,n}\rangle=\sum_mU_{mn}\rvert u_{k,m}\rangle$变换下它们并不是规范不变的表示,为了计算的目的, 将要找到一个规范不变的表示进行计算. 首先对时间反演不变Kramers对中的每一支来计算计算极化 P^s=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dkA^s(k)\qquad...
反对称矩阵Pfaffian学习
在学习时间反演不变拓扑绝缘体的时候,总是会遇到要计算$Z_2$拓扑不变量,但是其中会牵扯到Pfaffian这个概念,这里就整理一下反对称矩阵的Pfaffian到底和反对称矩阵之间有什么联系. 计算$Z_2$拓扑不变量的时候, 经常会遇到计算Pfaffian的计算, 这里就仔细从反对称矩阵出发, 学习整理一下Pfaffian对于反对称矩阵到底是怎样的一个概念.{:.info} 反对称矩阵如果$M$是一个$d\times d$维的复数反对称矩阵$M^T=-M^T$, 则可以有 \text{det}(M)=\text{det}(-M^T)=\text{det}(-M)=-(1)^d\text{det}(M)从上面可以得到, 如果矩阵维度$d$是奇数, 那么一定会有$\text{det}(M)=0$, 因此矩阵$M$的秩一定是偶数$2n$, 如果$d\equiv2n$则$\text{det}(M)\neq 0$, 若$d>2n$则$\text{det}(M)=0$. 定理1如果矩阵$M$是个非奇异的$2n\times 2n$维的复数(实数)反对称矩阵, 那么一定会存在一个$2n\times 2n$维的幺正矩阵$U$满足 U^TMU=N\equiv\text{diag}\left\{ \left(\begin{array}{cc}0&m_1\\ -m_1&0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0&m_2\\ -m_2&0\end{array}\right),\cdots,\left(\begin{array}{cc}0&m_n\\ -m_n&0\end{array}\right)\right \}.这里矩阵$N$是由一系列$2\times 2$的分块矩阵构成的对角形式,$m_j$都是正实数. 而且$\text{det}(U)=e^{-i\theta},-\pi<\theta<\pi$. $N$被称为非奇异反对称矩阵的实正规形式. 如果$M$是一个$d\times d$秩为$2n$的奇异矩阵, 这里存在一个$d\times d$的幺正矩阵$U$ U^TMU=N\equiv\text{diag}\left\{...
学习中方法技巧记录
在这里主要整理记录一些平时在推导中可能会用到的一些公式，以及在做计算时遇到的一些小技巧，因为时间长了可能对细节问题会忘记，所以整理在这里也可以很方便的进行查阅，同时在整理的过程中也是自己对这些知识的进一步理解。 T矩阵方法介绍纯净系统的哈密顿量为$H^0(\bf{k})$，加入杂质$V$后，系统的哈密顿量为$H(\bf{k}) = H^0(\bf{k}) + V$。 加入杂质后系统的格林函数为G = G^0 + G^0 T G^0，此处$G^0$代表纯净系统的格林函数:$G^0(z) = (z-H(\bf{k}))^{-1}$，$T$矩阵可以通过杂质$V$和$G^0$计算得到:$T=V(I-G^0V)^{-1}$，$I$代表单位矩阵。 对于点状杂质，通常是是写在实空间中的表达式$V(r)=V_0\delta(\bf{r})$，那么实空间中的格林函数为:$G(r,r’) = G^0(r,r’) + G^0(r,0)T_0(z)G^0(0,r’)$，在实空间中局域的$T_0$矩阵为$T_0(z) = (V^{-1} - G^0(z))^{-1}$，$G^0(z)=\frac{1}{N}\sum_k(z-H_k^0)^{-1}$，它是纯净系统动量空间中的格林函数的傅里叶变换，公式中的N代表傅里叶变换时选取的k点的数目。 参考文献 1.Impurity-induced states in conventional and unconventional superconductors 实空间与k空间Fourier变换在固体物理的研究中通常要使用到紧束缚近似模型，而且还会用到它的实空间和k空间Hamiltonian，通常取晶格常数a=1，则实空间与k空间算符的变换关系为 ...
利用Wannier90计算能带
这里利用Wannier90得到Wannier轨道后, 通过其来计算一下对应的材料能带, 这个通常用来和vasp计算得到的能带来做对比, 二者在费米面附近通常是要吻合的非常好, 这样才能说明在Wannier90计算Wannier轨道的时候, 是比较成功的, 能带符合较好之后再用来计算拓扑相关的性质.{:.info} VASP能带这里继续$Bi_2Se_3$第一性计算结果重复这篇文章的结果为开端, 还是对$Bi_2Se_3$这个材料计算计算, 自洽计算可以参考前面这个博客, 这里来整理一下自洽计算结束后, 计算能带的过程. 自洽结束后, 可以得到收敛的电荷文件CHGCAR, 以这个文件为起点计算能带, 只需要在自洽计算的4个输入文件中, 修改INCAR,KPOINTS文件即可.123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536SYSTEM = Bi2Se3ICHARG = 11 # 利用上一步自洽得到的CHGCAR计算ISTART = 0ISYM = 0ISPIN = 2 # 这里需要考虑自旋, 但是此时并没有打开自旋轨道耦合GGA = PE# MAGMOM = 6*0 2*4 2*0PREC = NormalENCUT = 500ALGO = FASTEDIFF = 1E-4EDIFFG = -0.02LREAL = AutoISIF =0IVDW = 11NELM = 500NELMIN = 5NSW = 0IBRION = -1ISMEAR = 0SIGMA = 0.05NWRITE = 2LWAVE = .T.LCHARG = .T.LORBIT = 11##SOC##LSORBIT = .TRUE. # 打开自旋轨道耦合SAXIS = 0 0 1 # 确定自旋极化方向# NBANDS = 128LMAXMIX = 4GGA_COMPAT = .FALSE 123456789101112131415K-Path Generated by VASPKIT. 20Line-ModeReciprocal 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 G ...
空间群学习工具SpaceGroupIrep
这里整理一下学习空间群时候的一个Mathematica软件包SpaceGroupIrep,在学习THE MATHEMATICAL THEORY OF SYMMETRY IN SOLIDS这本书中的内容的时候, 结合这个工具可以对书中的内容有一个更深入的理解. 这个软件包也是基于这本书中的内容编写的, 而且可以对书中的一些表进行快速查询, 结合起来对学习空间群相关的知识大有帮助.{:.info} 前言自己最近一段时间在学习THE MATHEMATICAL THEORY OF SYMMETRY IN SOLIDS(Representation theory for point groups and space groups)这本书, 虽然认真的学习了一遍, 但是对第四章中的抽象表示还是有一些不明白的地方, 正好可以结合SpaceGroupIrep来对书中的内容再进行一遍学习, 相信结合这个软件包, 可以对书中的内容有进一步的理解. 首先将软件包下载, 然后复制到1$UserBaseDirectory/Applications这个目录中就可以, 记得将下载下来的软件包的名称修改为SpaceGroupIrep, 这样想要使用的话在Mathematica中执行1<< "SpaceGroupIrep`"就可以. 布里渊区(BZ)展示首先就是展示不同的布里渊区 转动操作矩阵这里可以直接通过查表的方式来确定不同BZ对应的转动操作, 也就是书中的Table3.2, 利用软件包可以得到这些操作对应的矩阵形式 双群转动操作同时也可以计算对应双群的操作表示, 对应书中的Table6.1 小群,Herring小群,高对称点群元通常我们会需要确定空间群高对称点上的操作群元有哪些, 可以利用getLGElem来计算. 而且在计算高对称点的不可约表示, 以及空间群的不可约表示的时候, 会用到小群,Herring小群的群元, 这些信息可以通过getLGElem,getHLGElem,getCentExt. 这与这些具体是什么意思, 在这个博客中就不解释了, 这里只是简单的记录并整理一下这个软件包工具性的一面. 群元乘法群元之间的运算关系同样可以通过计算得到, 主要会用到下面几个函数 抽象群在查表的时候, 抽象群是经常要用到的,...
$Bi_2Se_3$第一性计算结果重复
学习第一性计算也有一段时间了,这里利用VASP+Wannier90+WannierTools来完整复现一下$Bi_2Se_3$这个材料的一些拓扑性质.{:.info}先整理下大致的流程,首先通过VASP自洽计算,得到收敛结果. 第二步结合Wannier90得到Tight binding模型的数据信息. 第三步就是在第二步的基础上得到利用wannier90_hr.dat来计算拓扑相关的性质. VASPVASP的计算中需要分两步进行, 首先不考虑SOC进行一次电子自洽, 这里我是直接使用WannierTools文档中$Bi_2Se_3$的晶体结构来计算的, 所以并没有进行结构优化方面的计算. No-SOCVASP计算需要的文件内容如下 INCAR 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536SYSTEM = NaClICHARG = 2ISTART = 0ISYM = 0ISPIN = 2 # 这里需要考虑自旋, 但是此时并没有打开自旋轨道耦合GGA = PE# MAGMOM = 6*0 2*4 2*0PREC = NormalENCUT = 500ALGO = FASTEDIFF = 1E-4EDIFFG = -0.02LREAL = AutoISIF =0IVDW = 11NELM = 500NELMIN = 5NSW = 0IBRION = -1ISMEAR = 0SIGMA = 0.05NWRITE = 2LWAVE = .T.LCHARG = .T.LORBIT = 11##SOC### LSORBIT = .TRUE.# SAXIS = 0 0 1# NBANDS = 128# LMAXMIX = 4# GGA_COMPAT = .FALSE POSCAR 12345678910111213Bi2Se31.0-2.069 -3.583614 0.000000 2.069 -3.583614 0.000000 0.000 2.389075 9.546667Bi Se 2 3Direct 0.3990 0.3990 0.6970 0.6010 0.6010 ...
