从Pauli矩阵出发构造哈密顿量
学过高量及量子场论之后,总是习惯将哈密顿量写成二次量子化的形式,但是在凝聚态的能带问题中,通常看到的只是动量$k$的一个写成Pauli矩阵的表达式,这里项把这两者之间的联系建立一下,顺便对自己也算是一个复习过程. 哈密顿量我一般在看拓扑的文章的时候,因为凝聚态关心的是低能的哈密顿量,所以会把哈密顿量表示为动量$k$的函数,里面通常还会有泡里矩阵的出现,而文章中给出的哈密顿量为 H(\mathbf{k})=2\lambda_x\sin k_x\sigma_xs_z\tau_z+2\lambda_y\sin k_y\sigma_y\tau_z+(\xi_k\sigma_z-\mu)\tau_z+\Delta(\mathbf{k})\tau_x\label{eq1}其实这是简写形式,因为做性质分析或者能带计算也确实只需要这种形式就足够了,但是是完整的形式应该为 \hat{H}=\sum_\mathbf{k}\Psi^\dagger_\mathbf{k}H(\mathbf{k})\Psi_\mathbf{k}...
拓扑绝缘体中任意方向表面态求解
最近在学习整理边界态理论的内容,虽然对于一般$x,y$方向开边界计算边界态在前面的博客中已经整理学习过,但是如何对任意方向开边界,并利用解析的方式来计算边界态还不是很明白,这里就整理一下自己学习这个方法的一些笔记.{:.info} 前言前面在四方点阵沿对角线方向开边界博客中主要是沿对角线方向将一个紧束缚模型做了开边界处理,但是如何从解析的角度来计算这个方向的边界态,自己并不是很清楚,在阅读文献的过程中恰好看到如何沿任意方向,利用解析的方法计算边界态,这里就整理一下自己对文章中主要解析结果的重复.这里主要的内容都是重复Helical Hinge Majorana Modes in Iron-Based Superconductors这篇文章. 边界态计算文章的内容就不说了,直接从哈密顿量以及边界态的计算开始,首先就是拓扑铁基超导体的哈密顿量 \begin{equation}\begin{aligned}H(\mathbf{k})&=\left(\begin{array}{cc} H_0(\mathbf{k})-\mu&-iD(\mathbf{k})\\ iD(\mathbf{k})&\mu-H^{*}_0(\mathbf{k}) \end{array}\right)\\ H_0(\mathbf{k})&=v(\sin k_x\Gamma_1+\sin k_y\Gamma_2+\sin k_z\Gamma_3)+m(\mathbf{k})\\ m(\mathbf{k})&=m_0-m_1(\cos k_x+\cos k_y)-m_2\cos k_z \end{aligned} \end{equation}$\Gamma_1=\sigma_x\otimes s_x\qquad\Gamma_2=\sigma_x\otimes s_y\qquad\sigma_x\otimes s_z\qquad\Gamma_4=\sigma_y\otimes s_0\qquad\Gamma_5=\sigma_z\otimes s_0\qquad\Gamma_{ij}=\left[\Gamma_i,\Gamma_j...
Latex 排版中的技巧记录(....ing)
这里是想通过这个博客来整理一下平时在使用Latex进行排版的时候会用到的一些特殊的方法,所以这个博客我用在自己使用Latex过程中,慢慢进行整理.{:.info} 前言平时在使用Latex排版的时候总会遇到一些特殊的排版需求,锁着就想在这里以一个长期笔记的形式来将机子遇到的这些排版方法都整理到一起,也方便自己之后再时用的时候可以反过来看看. 公式图片并排1234567891011121314151617181920212223242526272829\begin{frame}\frametitle{PRL,124,227001}\begin{equation}\begin{aligned}H(\mathbf{k})&=2\lambda_x\sin k_x\sigma_xs_z\tau_z+2\lambda_y\sin k_y\sigma_y\tau_z\\&+\left[(m_0-2t_x\cos k_x-2t_y\cos k_y)\sigma_z-\mu\right]\tau_z+\Delta_0\tau_x+\mathbf{h}\cdot\mathbf{s}\end{aligned}\end{equation}\begin{columns} \column{0.5\textwidth} \begin{equation} H_{\mathrm{edge,j}}=-i\lambda_js_z\tau_z\partial_{l_j}+\Delta_0\tau_x+h_js_x \end{equation}%After a unitary transformation...
有效边界理论(spinor部分)
在有效边界这篇博客中,主要是求解了关于边界理论的微分方程,对于边界态波函数的spinor部分也只是利用Pauli矩阵的对易关系得到了spinor需要满足的本征方程,这里就来推导一下spinor部分到底如何计算,以及如何根据spinor部分来选择计算微扰时候的基矢.{:.info}这里以文章Majorana Corner Modes in a High-Temperature Platform为基础,来重复其中spinor部分的计算和基矢的选取. 边界态计算\begin{equation} H(\mathbf{k})=(m_0-t_x\cos k_x-t_y\cos k_y)\sigma_z\tau_z+\lambda_x\sin k_x\sigma_xs_z+\lambda_y\sin k_y\sigma_y\tau_z+\Delta(\mathbf{k})s_y\tau_y \end{equation}by expanding around $\mathbf{\Gamma}=(0,0)$ \begin{equation} H(\mathbf{k})=(m_0+\frac{t_x}{2}k_x^2+\frac{t_y}{2}k_y^2)\sigma_z\tau_z+\lambda_xk_x\sigma_xs_z+\lambda_yk_y\sigma_y\tau_z-\frac{1}{2}(\Delta_xk_x^2+\Delta_yk_y^2)s_y\tau_y \end{equation}replace $k_x\rightarrow -i\partial_x$ and decompose the Hamiltonian as $H=H_0+H_p$, in...
四方点阵沿对角线方向开边界
这里研究一下一个square lattice,如何沿对角线方向取开边界条件,研究这种情况下的边界态是怎样的,并介绍一下如何在一个四方点阵的基础上,变成可以沿对角线开边界的模型.{:.info} 前言在通常的研究中,我经常遇到的是一个四方点阵上的紧束缚模型,这个时候想要看边界态,只需要将哈密顿量在一个方向取周期边界条件,另外一个方向取开边界条件即可.关于这种形式的问题,可以参考Chern Insulator边界态及Chern数计算这篇博客,这里主要是研究怎么对一个正方点阵上的紧束缚模型,沿对角线方向开边界. 坐标系旋转 如图,黑色坐标系表示确定四方点阵的直角坐标$(k_x,k_y)$,红色虚线坐标系来确定一个旋转$45^o$后的坐标系$(k_x^{‘},k_y^{‘})$,从坐标系可以清楚的看到,对于$(k_x,k_y)$的直角坐标,其对角线方向正好就是$(k_x^{‘},k_y^{‘})$的$k_x^{‘}$方向. 所以这里最核心的思想就是将原来的直角坐标$(k_x,k_y)$旋转$45^o$变成对应的$(k_x^{‘},k_y^{‘})$坐标,在$(k_x^{‘},k_y^{‘})$的表示下沿着$k_x^{‘}$依照原来四方点阵的方法取开边界条件即可.{:.success} 接下来以Chern Insulator边界态及Chern数计算这篇博客中的Chern Insulator模型来作为实例来计算,在$(k_x,k_y)$的表示下 H(\mathbf{k})=(m_0+t_x\cos k_x+t_y\cos k_y)\sigma_z+\lambda_x\sin k_x\sigma_x+\lambda_y\sin k_y\sigma_y\label{eq1}在$(k_x,k_y)$旋转$45^o$变成对应的$(k_x^{‘},k_y^{‘})$坐标的时候,它们之间的变化关系为 k_x^{'}=\frac{1}{\sqrt{2}}(k_x+k_y)\qquad k_y^{'}=\frac{1}{\sqrt{2}}(k_y-k_x)将这个关系代入之后,即可以将哈密顿量(\ref{eq1})变为 \begin{equation}\begin{aligned}H(\mathbf{k^{'}})&=\left[m_0+t_x(\cos...
BdG哈密顿量基矢修改
前面有两篇博客主要关注的不同的基矢下如何构建BdG形式的哈密顿量,既然只不过是基矢的变化,那么两个哈密顿量肯定就是等价的,这里就给一个具体的实例,来看看怎么把两个不同基矢下的哈密顿量进行相互的改写,并利用程序验证其正确性.{:.info} 模型这里选用参考(5)文献中的哈密顿量 \begin{equation} \begin{aligned} H(\mathbf{k})&=2\lambda_x\sin k_x\sigma_xs_z\tau_z+2\lambda_y\sin k_y\sigma_y\tau_z+(\xi_{\bf k}\sigma_z-\mu)\tau_z+\Delta_0\tau_x+{\bf h\cdot s}\\ \xi_{\bf k}&=\epsilon_0-2t_x\cos k_x-2t_y\cos...
