Yu-Xuan's Blog

最近正好有些空闲的时间，发现自己对拓扑中的一些理解并不深刻，正好借这个机会重新学习一下，加深自己对其中内容的理解，也能让自己之后的研究走的更远。{:.info} Hamiltonians with parameters之前，在研究束缚Majorana链系统的拓扑态时(包括Kitaev链和纳米线)，可以通过研究体哈密顿量$H(k)$计算拓扑性不变量从而表征体系的拓扑性质。关于这个哈密顿量可以有两种视角来理解。首先可以认为它是一个具有动量守恒的无穷系统的哈密顿量 H = H(k) \rvert k\rangle\langle k\rvert ,或者可以等效地研究一个只有少量自由度的有限大小系统(对应于单个单元格)，此时它具有一个周期演化的参数$k$。当然，如果不指定$k$是实空间动量，那么在体边对应中就没有任何意义(因为边是实空间中的边)，但拓扑性质仍然可以很好的定义。有时我们想知道如果缓慢改变系统的某些参数，例如偏置电压或磁场，物理系统会发生怎样的变化。因为参数随时间变化，哈密顿量变得随时间变化，即 H = H(t).参数的缓慢绝热变化确保了如果系统最初处于基态，它在演化过程中也将保持在基态，因此拓扑性质是有用的。 拓扑要有用的另一个要求是时间演化的”周期性“： H(t) = H(t+T).只有首尾演化是闭合的，参数空间才是闭合的，否则就不能定义拓扑了。周期甚至可以变成$\infty$，在这种情况下$H(-\infty) = H(+\infty)$。要求周期性的原因有些抽象。如果哈密顿量有参数，就研究一个从参数值的空间到所有可能的有能隙哈密顿量的空间的映射。只有当参数值的空间是紧致的，这种映射才具有非平凡的拓扑性质。 对当前考虑的问题来说，这仅仅意味着哈密顿量在时间上必须是周期性的。当然，如果想要有体边对应的系统，那么除了$t$，哈密顿量还必须依赖于实空间坐标，或者动量$k$。 Quantum...

最近正好有些空闲的时间，发现自己对拓扑中的一些理解并不深刻，正好借这个机会重新学习一下，加深自己对其中内容的理解，也能让自己之后的研究走的更远。{:.info} Majorana zero modes in nanowire networks实现拓扑超导最主要的目的就是利用其中的Majorana模式进行拓扑量子计算，如果可以实现一个由Majorana零能模构成的网络，如下图所示 那么就可以对Majorana模式进行操作。在图中，可以看到一个纳米线，在几个马约拉纳零模式之间有许多$t$形结(这就是为什么我们称它为网络)。这里先不去关心纳米线网络的微观描述，因为它与Majorana的替代平台上的类似结构在一些无关的方面有所不同。为了固定想法，你可以想象系统可以Kitaev链toy model有效地描述，Majorana模式位于畴壁的位置，在那里能隙改变符号，正如前面所讨论的。 唯一能区分Majorana零模的是它们在网络中的位置。它们没有其他的“味道”可以让我们描述它们。它们彼此是相同的，就像所有的电子都是相同的。如果我们在空间中交换两个Majorana，交换后的系统看起来会和交换前完全一样。 一个由相同粒子组成的系统，在两个粒子交换的情况下，量子态$\rvert \Psi\rangle$ 的行为是非常有趣的。我们已经知道，对于玻色子和费米子$\rvert \Psi\rangle\to\pm\rvert \Psi\rangle$。要了解马约拉纳子的情况，我们首先必须学习如何写出量子态$\rvert \Psi\rangle$对应于一组Majorana费米子，如上图所示。 The Hilbert space of a set of Majoranas从现在起，重要的是要记住，如果只考虑与Majorana零模相对应的态，同时就忽略了体态(只关注边界态)。此时可以假设能谱为： 基于对Kitaev链的了解，这个假设对目前来说应该是合理的。因为有几个Majorana模式，就会有几个能量都为零的状态，形成一个“ground state mainfold”。现在让就更详细地探讨由这个简并态集定义的ground state...

最近正好有些空闲的时间，发现自己对拓扑中的一些理解并不深刻，正好借这个机会重新学习一下，加深自己对其中内容的理解，也能让自己之后的研究走的更远。{:.info} From Kitaev model to an experiment在前面的章节中，学习了1D Kitaev链的边界处可以实现Majorana模式，这也只是一个toy model，下面就来讨论一下如何在真实的系统中来实现这个模型。处理这个问题的方法是把Kitaev链看作一个“骨架”，用真实的物理现象“装扮”它，直到它变成真实的。首先来看我们研究的“骨架”，Kitaev模型在动量空间中为 H_{Kitaev} = (-2 t \cos k -\mu) \tau_z + 2 \Delta \tau_y \sin k.这个模型似乎可以作为一个开始，因为它存在超导电子配对$\Delta$和由$\mu$和$t$成比例的项给出的正常色散。在我们进一步讨论之前，先了解一下这些参数之间的关系。首先，我们要做一个可控的系统，这样我们就可以调节它的参数。这意味着我们需要一种半导体。在半导体中，电子密度很低，因此化学势接近能带的底部。这使得定义$\mu$相对于能带底部更容易: \mu \rightarrow \mu - 2t.其实就是将能带底作为化学势的零点参考点，这与牛顿力学里面，通常在处理问题的时候也会选定一个零势能参考点的想法是一样的。在重新定了化学势之后，那么平庸相和非平庸相的分离点就是$\mu=0$。 虽然半导体从来都不是超导体。幸运的是，这很容易解决。我们只是把超导体和半导体粘贴到一个混合结构中(异质结)，然后让超导体在半导体中诱导超导电性。从材料科学的角度来看，制造这种混合材料是极具挑战性的，但这绝对不是我们目前的问题(目前来看，实验确实在这方面遇到了很严重的问题)。 下一步就是考虑化学势与带宽相比是比较小的$\mu\ll 2t$，在超导体中同样有$\Delta\ll t$。这是因为与电子动能相比，超导电性是非常小的。将上面的这两个不等式结合起来，可以将$\cos k$项进行展开，可以在低能连续情况下处理Kitaev模型 H = (k^2/2m - \mu) \tau_z + 2 \Delta \tau_y k.这里的有效质量$m$是展开系数，在拓扑相和平庸相时体系的能带微 The need for...

最近正好有些空闲的时间，发现自己对拓扑中的一些理解并不深刻，正好借这个机会重新学习一下，加深自己对其中内容的理解，也能让自己之后的研究走的更远。{:.info} Andreev reflection要理解通过Majorana模式时电导是如何工作的，我们首先必须了解电荷是如何从金属铅转移到超导体的。一般来说，这种转移是通过一种叫做Andreev反射的机制进行的。在我们讨论Majorana零模的电导特征之前，了解一下Andreev反射是什么是有用的。让我们考虑以下两个电极的简单电路: 一个电极是普通金属，另一个是超导体，它们的电压差为$V$。在普通金属和超导体之间的界面(简称NS界面)有一个势垒。我们特别感兴趣的是，与超导体中的能隙$eV < \Delta$相比，电压差非常小的情况，其中$e$是电子的电荷。当电子到达超导体的界面时会发生什么？超导体在费米能级附近没有能量不超过$\Delta$的状态，电压也不足以提供这种能量差，此时电流如何变化？为了理解这一点，首先仔细地观察到达超导体界面的电子。有两种可能发生的过程，正常反射和Andreev反射。在正常的反射中，电子只是在与超导体的界面处被反射： 正常反射时，左电极到右电极没有净电荷转移。因此，这个过程不贡献任何净电流。显然，正常的反射甚至不需要超导体，如果右电极不是超导体，同样会发生反射。 相反，Andreev反射是NS界面特有的。在Andreev反射中，一个电子被超导体转化为空穴，在超导体中形成一个库珀对 你可以看到，一个$2e$的净电荷从左电极转移到右电极，在低电压下，Andreev反射是唯一负责电流的过程。在超导能隙之上，入射电子进入超导体的$eV > \Delta$传输也有助于产生电流。这里可以把Andreev反射看作是一个传输问题。由于超导体的存在，电子和空穴都参与了普通金属铅中的电荷转移。从概念上讲，可以想象把左边的电极分成两条，一条只带电子，另一条只带空穴。这两条引线由超导体连接，超导体将第一条引线中的传入电子转换为第二条引线中的输出空穴，反之亦然： 有了这张图，就能理解Andreev反射和通过双势垒的传输问题非常相似。 我们称$r_{eh}$为Andreev反射的振幅。它的绝对值平方，$\rvert r_{eh}\rvert...

最近正好有些空闲的时间，发现自己对拓扑中的一些理解并不深刻，正好借这个机会重新学习一下，加深自己对其中内容的理解，也能让自己之后的研究走的更远。{:.info} Topological phases from the bulk spectrumGoing to momentum space从上面的分析可以看到，边界上的Majorana模式是受到体态能隙保护的，这是一种体边对应(bulk-edge correspondence)。这里就可以提出一个问题：能否通过体态的来预测边界上Majorana模式的存在？ 为了回答这个问题，首先需要消除Kitaev链的边界，可以想象将Kitaev链的首尾相接，形成一个闭合的环(kitaev ring)，此时就不会存在边界了，那么BdG哈密顿量就满足平移对称性$\rvert n\rangle\rightarrow\rvert n+1\rangle$，而且此时所有的参数$\Delta,\mu,t$都是与位置无关的。当存在平移对称性之后，就可以利用前面提到过的Bloch定理)将BdG哈密顿量表示在动量空间中。一个动量为$k$的态既可以通过实空间中的态表示出来 \rvert k\rangle =(N)^{-1/2} \sum_{n=1}^{N} e^{-ikn} \rvert n\rangle.这里再利用周期边界条件$\langle k \rvert n=0 \rangle=\langle k \rvert n=N \rangle$，此时动量$k$就是一个守恒量，它被允许在第一布里渊区中取值，如果此时实空间中的格点数量为$N$，那么$k$的取值为$2\pi p /N，p=0, 1, 2, \dots, N-1$。因为$k$是个好量子数，在动量空间中BdG哈密顿量就可以约化为$2\times 2$的矩阵形式 H(k) \equiv \langle k\rvert H_\textrm{BdG} \rvert k \rangle = (-2t\cos{k}-\mu)\,\tau_z + 2\Delta \sin{k}\,\,\tau_y.完整的哈密顿量就是对这些离散的子块进行求和 H_\textrm{BdG} = \sum_k H(k) \rvert k \rangle\langle k...

最近正好有些空闲的时间，发现自己对拓扑中的一些理解并不深刻，正好借这个机会重新学习一下，加深自己对其中内容的理解，也能让自己之后的研究走的更远。{:.info} Fermion parity switches通常情况下，能级发生表明此时存在一个守恒量，但是对于上面随机产生的这个BdG哈密顿量似乎不是那么直观的可以知道这个守恒量到底是什么。这里就来回想一下前面说过的：虽然在平均场处理下面，超导体中电子的数量不是一个守恒量，但是电子数量对应的宇称却是一个守恒量 。换而言之就是说，在超导联系量子点中产生或者破坏一对Cooper对并不会影响系统中电子数目是奇数个还是偶数个，简而言之就是说费米子的宇称是一个守恒量. 通过上面的分析就知道了，在BdG哈密顿量随参数演化过程中，能级交叉意味着存在费米子宇称是一个守恒量，但是费米子宇称是一个多体无量，原则上是不能通过BdG哈密顿量这种单粒子的物理图像来理解的、为了理解这里存在的能级交叉，回想一下前面在得到BdG哈密顿量的过程，我们将体系的自由度翻倍了，在基矢$C$中同时考虑的电子和空穴，因此与子晶格对称性不同，一对能量为$\pm E$的能级交叉并不对应两个不同的量子态，它其实是同一个量子态。这个量子态是电子和空穴的叠加态，即Bogoliubov quasiparticle：它的激发能量为$E$，对应的产生算符为$a^\dagger = u c^\dagger + v...