在量子力学进一步的学习中,通常会遇到Schrodinger,Heisenberg,Interaction这三种绘景,在处理不同的问题时,如果选取的绘景合适,那么问题的处理会较为方便,这里合适的绘景只是可以让问题变得容易处理,本质上三种不同的绘景所得到的结果都是相同的,在这里就把三种不同绘景之间的联系与区别进行整理,并整理自己的一些经验和理解.

Schrodinger绘景

最初学习量子力学的时候,接触的其实就是Schrodinger绘景,在自然单位制下的薛定谔方程为

\[i\frac{\partial}{\partial t}\psi(t)=H\psi(t)\]

$H$是体系的哈密顿量,$\psi$则是体系的波函数,上述方程的解为$\psi(t)=e^{-iHt}\psi(0)$.在Schrodinger绘景中可以看到,波函数是跟时间相关的,而算符H则是与时间无关的,且波函数的时间依赖仅仅是在$e^{-iEt}$中.

Heisenberg绘景

Heisenberg绘景和Schrodinger绘景的区别就是现在波函数是与时间无关的,而算符则是和时间相关的

\[O(t)=e^{iHt}O(0)e^{-iHt}\]

上式中H是系统完整的哈密顿量,其中可以包含相互作用等其它外部影响.算符$O(0)$则可以认为就是Schrodinger绘景中的算符,也就是说0时刻的Heisenberg绘景中的算符就是Schrodinger绘景中的算符,而之后的时刻就不是了,因为Schrodinger绘景中的算符是与时间无关的,而对应的,此时波函数就是一个与时间无关的量,即Heisenberg绘景中波函数$\psi(0)$就是Schrodinger绘景中0时刻的波函数$\psi(0)$.对含时间的算符求导,即得到Heisenberg绘景下的运动方程

\[i\frac{\partial}{\partial t}O(t)=[O(t),H]\]

下面对算符在Heisenberg绘景中求期望值,将两个绘景中联系起来

\[\langle\psi^\dagger_1(t)O(0)\psi_2(t)\rangle=\langle\psi^\dagger_1(0)e^{iHt}O(0)e^{-iHt}\psi_2(0)\rangle\] \[\langle\psi^\dagger_1(0)O(t)\psi_2(0)\rangle=\langle\psi^\dagger_1(0)e^{iHt}O(0)e^{-iHt}\psi_2(0)\rangle\]

通过上面两个公式可以看到,虽然是不同的表象,但是算符的期望值是相同的,结果一致

Interaction绘景

相互作用绘景通常在格林函数的计算中有很大的用途,首先将哈密顿量分解为两部分

\[H = H_0 + V\]

分解成两部分之后$H_0$是无相互作用部分,$V$则是系统的相互作用部分.通常情况下$H_0$部分的哈密顿量是可以精确求解的,在相互作用绘景中通过这个可以精确求解的本征态来计算加入相互作用之后系统的各种性质.在相互作用绘景中,算符和波函数都是和时间相关的,下面就构造相互作用绘景下的算符和波函数.

\[\hat{O}(t)=e^{iH_0t}Oe^{-iH_0t}\]

这里强调一下,此时构造时间依赖的算符时利用的是无相互作用$H_0$,这与Heisenberg绘景是不同的,在Heisenberg绘景中构造时间依赖的算符的时候,利用的是系统完整的哈密顿量$H = H_0 + V$.相互作用绘景中的波函数为

\[\hat{\psi}(t)=e^{iH_0t}e^{-iHt}\psi(0)\]

在这里加一个算符的性质$e^Ae^B=e^{A+B}$成立的条件是$[A,B]=0$,因为这里处理的是算符,所以算符的指数关系并不和普通数的指数关系相同.

下面计算在相互作用绘景中算符的期望值

\[\langle\hat{\psi}^\dagger_1(t)\hat{O}(t)\hat{\psi}_2(t)\rangle=\langle\psi_1^\dagger(0)e^{iHt}e^{-iH_0t}(e^{iH_0t}Oe^{-iH_0t})e^{iH_0t}e^{-iHt}\psi_2(0)\rangle\\ =\langle\psi^\dagger(0)e^{iHt}O(0)e^{-iHt}\psi_2(0)\rangle\]

在相互作用绘景中的期望值计算又和Schrodinger绘景中的计算完全一致,所以这三种不同的绘景只是用来简化问题的处理,实际的计算中结果是完全相同的. 对相互作用绘景波函数求时间的导数可得

\[\frac{\partial}{\partial t}\hat{\psi}(t)=ie^{iH_0t}(H_0-H)e^{-iHt}\psi(0)=-ie^{iH_0t}Ve^{-iHt}\psi(0)=-ie^{iH_0t}Ve^{-iH_0t}[e^{iH_0t}e^{-iHt}\psi(0)]\] \[\frac{\partial}{\partial t}\hat{\psi}(t)=-i\hat{V}(t)\hat{\psi}(t)\]

从上面的方程可以看到,波函数满足一个和$\hat{V}(t)$相关的微分方程.

接下来介绍相互作用绘景中的时间演化算符$U(t)=e^{iH_0t}e^{-iHt}$,显然当$t=0$时,$U(0)=1$,对时间演化算符求时间导数后

\[\frac{\partial}{\partial t}U(t)=ie^{iH_0t}(H_0-H)e^{-iHt}=-ie^{iH_0t}V(e^{-iH_0t}e^{iH_0t})e^{-iHt}=-i\hat{V}(t)U(t)\]

时间演化算符也满足和相互作用绘景中的波函数满足同样的微分方程,求解这个微分方程可得

\[U(t)-U(0)=-i\int^t_0dt_1\hat{V}(t_1)U(t_1)\]

利用前面$t=0$时刻的条件后:$U(t) = 1-i\int^t_0dt_1\hat{V}(t_1)U(t_1)$

从这个微分方程的解可以看到,这是一个关于$U(t)$的迭代方程,通过重复的回代,可以得到一个无穷多项的结果

\[U(t)=1-i\int^t_0dt_1\hat{V}(t_1)+(-i)^2\int^t_0dt_1\int^t_0dt_2\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)+\dots\\ =\sum_{n=0}^\infty(-i)^n\int^t_0dt_1\int^{t_1}_0dt_2\dots\int^{t_{n-1}}_0\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\dots\hat{V}(t_n)\]

编时算符

编时算符的引进目的,就是为了使得一些算符的作用是有意义的,而且可以使得一些公式在形式上可以写的很简单,使得在进行一些计算的时候很方便.编时算符通常是作用在一组与时间相关的算符上$T[\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\hat{V}(t_3)]$,编时算符作用之后展开为

\[T[\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\hat{V}(t_3)]=\hat{V}(t_3)\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\qquad if \quad t_3>t_2>t_1\]

编时算符的作用就是按照一定的时间顺序来将算符组织起来,使得时间较早的算符先作用,时间较后的算符后作用,这个是要符合因果律.将编时算符完全展开后其结果为

\[T[\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)]=\Theta(t_1-t_2)\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)+\Theta(t_2-t_1)\hat{V}(t_2)\hat{V}(t_1)\]

$\Theta(t)$是阶跃函数,可以发现利用阶跃函数之后,可以完美的控制算符作用的时间.

$\Theta(t_1-t_2)\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)$这一项必须$t_1>t_2$才不为零,所以也就保证了$\hat{V}(t_2)$是早于$\hat{V}(t_1)$作用的

接下来介绍一下便是算符引入后对表达式的一些简化

\[\frac{1}{2!}\int^t_0dt_1\int^t_0dt_2T[\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)]=\frac{1}{2!}\int^t_0dt_1\int^{t_1}_0dt_2\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)+\frac{1}{2!}\int_0^tdt_2\int_0^{t_1}\hat{V}(t_2)\hat{V}(t_1)\]

从上面的式子可以看到,编时算符$T$展开后由于阶跃函数的限制,会使得积分上下限有一些变化$\frac{1}{2!}\int_0^tdt_1\int_0^tdt_2T[\dots]\rightarrow\frac{1}{2!}\int_0^tdt_1\int_0^{t_1}dt_2\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)+\frac{1}{2!}\int_0^tdt_2\int_0^{t_2}dt_1\hat{V}(t_2)\hat{V}(t_1)$,这是因为$\Theta(t_1-t_2)$限制了此时$t_1>t_2$所以额外的积分区间表达式为0,同样的$\Theta(t_2-t_1)$限制了$t_2>t_1$所以额外的积分区间结果也为0,正是因为在那些额外的区间内积分结果为0,所以就将积分的区间直接写在了表达式不为零的区间内,这也就是表达式中积分区间有所改变的原因.将这个结果向多个算符推广之后有

\[\frac{1}{3!}\int_0^tdt_1\int_0^tdt_2\int_0^tdt_3T[\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\hat{V}(t_3)]=\int_0^tdt_1\int_0^{t_1}dt_2\int_0^{t_2}dt_3\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\hat{V}(t_3)\]

有了上面对编时算符性质的认识之后,接下来就可以对相互作用绘景中的时间演化算符进行改写

\[U(t)=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-i)^n}{n!}\int_0^tdt_1\int_0^tdt_2\dots\int_0^tdt_nT[\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\dots\hat{V}(t_n)]=Texp[-i\int_0^tdt_1\hat{V}(t_1)]\]

注意,上面的最后一个等号并不是相等,其实就只是在形式上看起来前面的内容可以写成后面的这样一个简单的形式,因为有编时算符的存在,所以它们并不是相等的,仅仅就是一个形式上的简写.

S Matrix

前面已经介绍了相互作用绘景中的时间演化算符

\[\hat{\psi}(t)=U(t)\hat{\psi}(0)\]

在这里说明一下,此时$\hat{\psi}(0)=\psi(0)$,在零时刻相互作用绘景中的波函数即为Schrodinger绘景中零时刻波函数,同时也是Heisenberg绘景中的波函数.下面在相互作用绘景中定义S矩阵,它的作用就是把波函数(相互作用绘景)$\hat{\psi}(t’)$和$\hat{\psi}(t)$两个不同时刻的波函数联系起来

\[\hat{\psi}(t)=S(t,t')\hat{\psi}(t')\qquad S(t,t')=U(t)U(t')\]

从上面的形式来看,S矩阵和时间演化算符之间是有联系的.对S矩阵求导数

\[\frac{\partial}{\partial t}S(t,t')=\frac{\partial}{\partial t}U(t)U^\dagger(t')=-i\hat{V}(t)S(t,t')\]

上面这个方程又回到了之前微分方程形式,其解可以写作$S(t,t’)=Texp[-i\int_{t’}^tdt_1\hat{V}(t_1)]$. 在相互作用绘景中有$\hat{\psi}(t)=U(t)\psi(0)$,在这里将$\psi(0)$认为是系统的积态波函数.

在零温下,我们主要关注的系统的基态波函数,也就是说我们关心的只是能量最低的本征态.但是通常因为相互作用的存在,哈密顿量的基态是不容易求解的,而这个问题也就是需要利用格林函数来解决的.现在可以将问题转化,在相互作用绘景中已经将哈密顿量分解成了$H_0$和$V$这两个部分,对于$H_0$这个哈密顿量,我们是可以对它进行求解的,可以得到其本征态$\phi_0$,在这里做一个合理的猜测,认为相互作用存在后的基态和无相互作用$H_0$的基态之间是由一定联系的.

相互作用存在的基态与无相互作用基态之间的关系,可以通过S矩阵联系起来

\[\psi(0)=S(0,-\infty)\phi_0\]

利用前面的公式

\[\hat{\psi}(t)=S(t,0)\psi(0)\]

公式逆用之后有

\[\psi(0)=S(0,t)\hat{\psi}(t)\]

对上式取$t\rightarrow-\infty$得到一个重要的关系$\psi(0)=S(0,-\infty)\hat{\psi}(-\infty)$.在这里做一个重要的声明$\hat{\psi}(-\infty)$即就是$\phi_0$.这是一个合理的猜测,在无穷远时间之前,相互作用是不存在的,随着时间慢慢的演化之后,相互作用慢慢增加,最后在0时刻的时候变完整,此时系统的哈密顿量为$H=H_0+V$.$S(0,-\infty)$的作用就是绝热的将无相互作用时的基态波函数演化到$t=0$时相互作用$V$完全存在时候的相互作用下的基态波函数$\psi(0)$

同样的可以有

\[\hat{\psi}(\infty)=S(\infty,0)\psi(0)\]

这个时候任然可以做出猜测,再$t\rightarrow\infty$的时候,$\hat{\psi}\rightarrow\phi_0$,即在相互作用存在无穷远时间之后,系统的基态波函数再次变换成了无相互作用时候的基态波函数.

结合上面的分析之后,假设无穷远时间后的相互作用系统的基态波函数和无相互作用后时系统的基态波函数之间只是相差一个简单的因子,可以表示为

\[\phi_0e^{iL}=\hat{\psi}(\infty)=S(\infty,0)\psi(0)=S(\infty,-\infty)\phi_0\]

则最终可以得到这个因子为$e^{iL}=\langle\phi_0\lvert S(\infty,-\infty)\rvert\phi_0\rangle$

上面这个因子在格林函数中是一个很重要的结论,在之后进行相互作用存在后的格林函数计算是,是一个经常出现的量,同时在计算过程中也不容忽略,关于具体的应用,我在后面也会具体整理一些内容来对这个因子的应用进行展示.